Calcolo della radice quadrata: il metodo degli intervalli

Fabrizio Del Dongo
di Fabrizio Del Dongo
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Appunto di matematica che descrive un metodo utile per estrarre la radice quadrata di un numero senza molti sforzi, ricorrendo all’intuizione e al calcolo mentale rapido.

Indice

  1. Esempio 1:
  2. Esempio 2
  3. Esempio 3

Esempio 1:

Prerequisito: conoscenza di almeno il quadrato dei numeri che vanno da
[math]1[/math]
a
[math]9[/math]
.

Vogliamo calcolare la radice quadrata di

[math]125.685[/math]
.

Strumenti a disposizione: una calcolatrice molto semplice dotata soltanto delle

[math]4 [/math]
operazioni. Occorre essere anche dotati di una buona capacità intuitiva.

Passo 1: individuiamo due numeri che, al quadrato, all’interno del cui intervallo possiamo collocare

[math]125.685[/math]
.
Esempio:
•
[math]300[/math]
al quadrato è uguale a
[math]90.000[/math]
.
•
[math]400[/math]
al quadrato è uguale a
[math]160.000[/math]
.
Quindi:
[math]90.000 .
Pertanto, la radice quadrata di
[math]125.685[/math]
sarà compresa tra
[math]300[/math]
e
[math]400[/math]
.
Passo 2: Ora che sappiamo in quale intervallo si trova radice, dobbiamo perfezionare il risultato. Per fare questo, dobbiamo fare due sottrazioni:
- La prima è tra il termine di cui stiamo cercando la radice quadrata (
[math] = 125.685[/math]
) e il termine più piccolo dell’intervallo (
[math]= 90.000[/math]
).
- La seconda è tra il termine più grande dell’intervallo (
[math]= 160.000[/math]
) e il termine di cui stiamo cercando la radice (
[math]= 125.685[/math]
).
Questi due calcoli ci permettono di capire dove si colloca il numero e quindi di avvicinarci ancora di più alla sua radice quadrata.
•
[math]125.685 – 90.000 = 35.685[/math]
•
[math]160.000 – 125.685 = 34.315[/math]
Fra i due risultati c’è solo una differenza di
[math]1.370[/math]
. Pertanto ci possiamo avvicinare ancora di più alla radice, intuendo che essa potrebbe essere compresa fra
[math]350[/math]
e
[math]400[/math]
.
Passaggio 3: abbiamo individuato l’intervallo numerico in cui si colloca la radice quadrata. Ripetiamo il procedimento del primo passaggio, utilizzando un intervallo più ristretto.
Esempio:
•
[math]350[/math]
al quadrato è uguale a
[math]122.500[/math]
.
•
[math]360[/math]
al quadrato equivale a
[math]129.600[/math]
.
•
[math]122.500 .

Passaggio 4: ripetiamo il procedimento fino a trovare il valore più vicino
Esempio:
•

[math]354[/math]
al quadrato equivale a
[math]125.316[/math]
.
•
[math]355[/math]
al quadrato equivale a
[math]126.025[/math]
•
[math]125.316 .
Proviamo a calcolare il quadrato di
[math]354,5[/math]
.
•
[math]354,5[/math]
al quadrato
[math]= 125.670[/math]
.
Data la vicinanza del risultato, possiamo considerare
[math]354,5[/math]
come radice quadrata.
Il risultato corretto è
[math]354,520[/math]

Esempio 2

Calcoliamo la radice quadrata di
[math]3025[/math]
, ossia
[math]√3025[/math]
[math]3025[/math]
è il quadrato di un numero di
[math]2[/math]
cifre
[math]5 [/math]
è la cifra che indica le unità.
Qual è il numero, compreso fra
[math]1[/math]
e
[math]9[/math]
, il cui quadrato termina per
[math]5[/math]
? La sola risposta possibile è
[math]5[/math]
. Questo significa che, intanto, la radice quadrata di
[math]3025[/math]
, termina per
[math]5[/math]
, ossia
[math]√3025 = …..5[/math]
Ora collochiamo in un intervallo ciò che supponiamo come
[math]√ 3025[/math]
. Tale radice è situata fra
[math]50 \times 50[/math]
e
[math]60 \times 60[/math]
, ossia fra
[math]2500[/math]
e
[math]3600[/math]
. Pertanto
[math]√3025 = 55[/math]

Esempio 3

[math]√3969 = [/math]
?
Prendiamo l'unità
[math]9[/math]
.
Abbiamo
[math]3 \times 3=9[/math]
e
[math]7 \times 7=49[/math]
. Pertanto l’ultima cifra della radice potrà essere un
[math]3[/math]
o un
[math]9[/math]
, ossia
[math]√3969=….. 3/9[/math]
[math]3969[/math]
si trova nell’intervallo tra
[math]60 \times 60[/math]
e
[math]70 \times 70[/math]
ma è più vicino a
[math]3600[/math]
o a
[math]4900[/math]
?
Se è vicino a
[math]3600[/math]
, la cifra dell'unità è la più piccola, quindi
[math]3[/math]
.
Se è vicino a
[math]4900[/math]
, la cifra dell'unità è la più grande, quindi
[math]7[/math]
.
Per intuizione, si arriva subito a capire che è più vicino a
[math]3600[/math]
che a
[math]4900[/math]
. Pertanto, la prima cifra della radice sarà
[math]6[/math]
Quindi la risposta è
[math]√3969 = 63[/math]

Domande da interrogazione

  1. Qual è il primo passo per calcolare la radice quadrata di un numero senza l'uso della funzione specifica su una calcolatrice semplice?

    2. Il primo passo consiste nell'individuare due numeri che, elevati al quadrato, definiscano un intervallo all'interno del quale si colloca il numero di cui si vuole calcolare la radice quadrata.

  2. Come si affina la stima della radice quadrata una volta individuato l'intervallo iniziale?

    3. Si affina la stima eseguendo due sottrazioni: la prima tra il numero di cui si cerca la radice e il quadrato del numero più piccolo dell'intervallo, e la seconda tra il quadrato del numero più grande dell'intervallo e il numero di cui si cerca la radice. Questo aiuta a capire meglio dove si colloca il numero e a restringere ulteriormente l'intervallo.

  3. Qual è il metodo per calcolare la radice quadrata di un numero che è il quadrato di un numero di due cifre, la cui ultima cifra è 5?

    4. Si osserva che l'ultima cifra della radice quadrata sarà 5, poiché solo il quadrato di un numero che termina per 5 ha come ultima cifra 5. Quindi, si colloca il numero in un intervallo tra il quadrato di 50 e il quadrato di 60 per determinare che la radice quadrata termina in 5.

  4. Come si determina l'ultima cifra della radice quadrata di un numero il cui quadrato termina per 9?

    5. Si considera che l'ultima cifra della radice quadrata potrebbe essere 3 o 7, poiché 3 al quadrato è 9 e 7 al quadrato è 49. La scelta tra 3 o 7 dipende dalla vicinanza del numero a un quadrato noto più grande o più piccolo.

  5. Qual è il risultato finale del calcolo della radice quadrata di 125.685 utilizzando il metodo degli intervalli?

    6. Il risultato finale, dopo aver affinato l'intervallo e calcolato il quadrato di numeri sempre più vicini al valore cercato, è che la radice quadrata di 125.685 può essere considerata 354,5, con il risultato corretto che è 354,520.

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