Calcolo numerico

Reali in base b = 2: base del calcolatore

Ogni x ∈ ℝ si può scrivere come:

x = sign(x) {Σ_j=0^m c_ibⁱ + Σ_i=1^∞ c_ib^-i}

• Parte intera ∈ N
• Parte frazionaria ∈ [0,1]

Qual è l'errore dell'approssimazione?

Dato x = sign(x) {Σ_j=0^m c_jbⁱ + Σ_i=1^∞ c_jb^-i}, definiamo:

x_~n = sign(x) {Σ_j=0^m c_ibⁱ + Σ_i=1ⁿ c_jb^-i}

x_~n = parte frazionaria troncata a n cifre - Troncamento a n cifre

Definiamo errore_~ = |a-ā| = | 5_-ō| errore assoluto. Stimiamo |x - x_~n|.

|x - x_~n| = Σ_j=n+1^∞ c_ib^-i → l'errore di troncamento è il resto della serie che definisce la parte frazionaria.

Da stima dell'errore è, |x - x_~n| < b^-n.

Quante cifre dopo la virgola per garantire che l'errore non superi una tolleranza ε>0?

|x - x_~n| < b^-n < ε → log b^-n < log ε → n > log ε/log b.

Errore per arrotondamento

Definiamo x_~n = sign(x) {Σ _j=0^m c_jbⁱ + 0. c_' c₂ ... c_n} dove c_n-Difetto c_n+'_Eccesso

Nel caso di basi pari, l'errore di arrotondamento è: |x - x_~n| < b^-n / 2 moltip del max err di troncamento.

Nuova sezione 1

Reali in base b = 2: base del calcolatore

Ogni x ∈ ℝ si può scrivere come:

x = sign(x) {Σ_j=0^m c_jb^j + Σ_i=1^∞ c_ib^-i}

• Parte intera ∈ N
• Parte frazionaria ∈ [0,1]

Qual è l'errore dell'approssimazione?

Dato x = sign(x) {Σ_j=0^m c_j b^j + Σ_i=1^∞ c_i b^-i}, definiamo:

◯_n = sign(x){Σ_j=0^m c_j b^j + Σ_i=1ⁿ c_j b^-i}

◯_n = parte frazionaria tagliata a n cifre - Troncamento a n cifre

Definiamo errore: errore = |a - â| = |î - î| errore assoluto. Stimiamo |x - ◯_n|.

|x - ◯_n| = Σ_i=n+1^∞ c_i b^-i → l'errore di troncamento è il resto delle cifre che definisce la parte frazionaria.

Da stima dell'errore è, |x - ◯_n| < b^-n.

Quante cifre dopo la virgola per garantire che l'errore non superi una tolleranza ε>0?

|x - ◯_n| < b^-n < ε → log b^-n < log ε → −n log b < log ε ⇒ n > − log ε

Errore per arrotondamento

Definiamo ◯_n = sign(x) Σ_j=0^m c_j b^j + â.â,â,â...

Nel caso di basi pari, l'errore di arrotondamento è: |x - ◯_n| < ¹/₂ b^-n molto del max err di troncamento.

Floating-point, precisione di macchina

x ∈ ℝ in base b: x = sign(x)(0.d₁d₂...d_t...)b^p , p ∈ d₁ ≠ 0

d_j con 1 ≤ j < ∞ sono le cifre di mantissa. La mantissa non è la parte frazionale.

L'insieme di reali-macchina F è un insieme definito da 4 parametri:

• b = Base
• t = n° cifre di mantissa
• L = Lower
• U = Upper

→ F (b,t,L,U)

Le macchine lavorano in 64 bit in base 2 → b = 2, t = 53, L = -1023, U = 1023

Errore di approssimazione da ℝ a F (assoluto)

x = sign(x)(0.d₁d₂d₃...d_t...)b^p

fl^t(x) = sign(x)(0.d₁d₂...d_t)b^p

d_t = d_t Detto d_t + 1 = Giusto

→ Errore = |x - fl^t