Calcolo di limiti con Maxima

_antoniobernardo
di _antoniobernardo
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Erectus
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Scopri come utilizzare Maxima, un software open source per il calcolo di limiti matematici. Impara a eseguire operazioni simboliche e numeriche, esplorando esempi pratici e comandi utili per risolvere limiti indeterminati e notevoli con facilità.

Concetti Chiave

  • Maxima è un software gratuito e open source che esegue calcoli numerici, simbolici e grafici, offrendo risposte esatte anziché approssimazioni.
  • Fa parte dei Computer Algebra System (CAS), consentendo di simulare passaggi e calcoli matematici in modo intuitivo.
  • La funzione limite si utilizza con la sintassi limit(funzione, variabile, valore, verso), dove il verso è facoltativo per calcolare il limite da destra o da sinistra.
  • Maxima non riesce a risolvere tutti i limiti, ma offre metodi alternativi come gli sviluppi in serie di Taylor per affrontare casi complessi.
  • Guide e risorse per Maxima sono disponibili online, comprese introduzioni e manuali, e il software può essere scaricato dal sito del progetto o da Sourceforge.net.

Maxima è un software gratuito e open source in grado di eseguire calcoli numerici, simbolici, grafici e altre operazioni tipiche della matematica. Fa parte dei software detti CAS (Computer Algebra System) in quanto è in grando non solo di eseguire calcoli matematici passando attraverso le approssimazioni numeriche ma anche e soprattutto di simulare molto bene passaggi e calcoli matematici così come siamo abituati a farlo. In altre parole le risposte che dà il programma non sono approssimazioni numeriche ma risposte 'esatte'.

Il software può essere scaricato dal sito del progetto o anche da Sourceforge.net. Esistono in rete diverse guide anche in italiano: una introduzione del prof. Vitolo, istruzioni per l'uso del prof. Centenaro, esempi d'uso di Milla Lacchini, un corposo manule in inglese. maxima-ico.jpg

Questo programma è molto utile per risolvere i limiti o meglio per controllare se avete risolto correttamente gli esercizi sui limiti. Non vi dice però come si risolve il limite.

La funzione limite si usa con la seguente sintassi

limit(funzione,variabile,valore,verso)

il verso è facoltativo e indica se il limite va calcolato da destra o da sinistra.

Cominciamo con un esempio semplice, semplice

[math]lim_{x o 1}5x-1[/math]

Nella barra di comando Ingresso scrivere come riportato in figura

limite01.png

Un limite in forma indeterminata

[math]lim_{x o1}(x^2-1)/(x-1)[/math]

limite02.png

Un limite che vale infinito

[math]lim_{x o 1}1/(x-1)^2[/math]

limite03.png

Un limite indefinito

[math]lim_{x o 1}1/(x-1)[/math]

limite04.png

und sta appunto per indefinito. E infatti occorre calcolare separatamente il limite destro e il limite sinistro

[math]lim_{x o 1+}1/(x-1)[/math]
e
[math]lim_{x o 1-}1/(x-1)[/math]

limite05.png

plus e minus indicano il limite da destra e da sinistra. Il primo vale

[math]+\in fty[/math]
, il secondo
[math]-\in fty[/math]

Un limite notevole:

[math]lim_{x o 0}frac{senx}{x}[/math]

limite06.png

Un altro limite notevole

[math]lim_{x o \in fty}(1+1/x)^x[/math]

limite07.png

Il risultato è "e".

Un limite con radici in forma indeterminata

[math]lim_{x o \in fty}(\sqrt{x^2-1}-\sqrt(x^2+1))[/math]

limite09.png

[math]lim_{x o 0+}(\\log(1-\\cosx)-\\log(senx))[/math]

limite10.png

Il programma vi chiede se l'argomento del logaritmo è positivo. Rispondete positive e avrete la soluzione.

[math]lim_(x->+oo) ((e^{2x}+3)/(2+e^{2x}))^{x+e^x}[/math]

limite11.png

Per questo limite Maxima non ce la fa a risolverlo

[math]lim_{x o +\in fty} frac{\\sin(frac{1}{x})}{\sqrt{3x^2 + 1} - \sqrt{3x^2 - 1}}[/math]

infatti restituisce il limite riscritto in maniera più elegante ma non dà alcun risultato. In questi casi si possono attivare altri metodi per risolverlo. In particolare in questo esercizio ho consentito al programma di usare gli sviluppi in serie di Taylor, con il comando tlimswitch:true; In questo modo è riuscito a trovare il risultato:

limite12.png

Un'altra possibilità che avete è usare l'opzione limsubst:true; che abilita la sostituzione di varibile.

Purtruppo Maxima no è in grado di risolvere tantissimi limiti, fa quel che può. Se non ce la fa a darvi il risultato numerico potete sempre sperare nel farvi fare un grafico dal quale si possa capire il valore verso cui tende la funzione.

Domande da interrogazione

  1. Che cos'è Maxima e quali sono le sue principali funzionalità?

    2. Maxima è un software gratuito e open source che esegue calcoli numerici, simbolici e grafici, tipici della matematica, e fornisce risposte esatte, non approssimazioni numeriche, come parte dei sistemi di algebra computazionale (CAS).

  2. Come si utilizza la funzione limite in Maxima?

    3. La funzione limite si utilizza con la sintassi `limit(funzione, variabile, valore, verso)`, dove il verso è facoltativo e indica se il limite deve essere calcolato da destra o da sinistra.

  3. Quali risorse sono disponibili per imparare a usare Maxima?

    4. Sono disponibili diverse guide online, tra cui un'introduzione del prof. Vitolo, istruzioni del prof. Centenaro, esempi di Milla Lacchini e un manuale corposo in inglese, accessibili dal sito del progetto o da Sourceforge.net.

  4. Cosa fare se Maxima non riesce a risolvere un limite?

    5. Se Maxima non riesce a fornire un risultato numerico per un limite, è possibile attivare metodi alternativi come gli sviluppi in serie di Taylor o la sostituzione di variabile, oppure si può generare un grafico per comprendere il comportamento della funzione.

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