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Calcolo della quantità minima di propellente necessaria a raggiungere la Luna
di Marco Giancola
Un aspetto molto importante della progettazione di una missione spaziale è rappresentato dalla minimizzazione della quantità di propellente di cui deve essere dotato il veicolo spaziale. Infatti la massima massa che può essere trasportata dal veicolo costituisce uno dei principali vincoli della missione.
Un veicolo spaziale, per modificare la sua traiettoria, ad esempio per passare da un’orbita circolare ad una ellittica, deve eseguire delle manovre impulsive, ossia deve azionare il proprio propulsore, il quale genera una spinta che modifica bruscamente la velocità del veicolo e lo porta sulla nuova traiettoria desiderata.
Ad ogni manovra impulsiva corrisponde quindi una certa variazione di velocità, detta anche impulso, che è pari a
ΔV = V2 − V1
dove V1 e V2 sono le velocità dell’astronave rispettivamente prima e dopo la manovra, con V, in genere, si indica la velocità del veicolo rispetto ad un sistema di riferimento concentrico e solidale con il corpo celeste che, col proprio campo gravitazionale, influenza maggiormente il moto del veicolo.
La somma dei ΔV associati alle varie manovre impulsive, che il veicolo deve compiere, costituisce il ΔV totale di cui necessita il veicolo per poter percorrere la sua traiettoria.
È ovvio che il consumo di propellente è direttamente proporzionale al ΔV totale, quindi minimizzare il ΔV totale equivale a minimizzare il consumo di propellente.
Noto il ΔV, la quantità di propellente di cui necessita il veicolo si ricava dall’equazione di Tsiolkovsky:
ΔV = vp ln (mp / m + 1)
Dove mp è la massa del propellente, m quella del veicolo privo di propellente, mentre v è la velocità, rispetto al veicolo, con la quale viene espulso il propellente combusto.
Nel 1991, il matematico Theodore H. Sweetser, ricercatore del Jet Propulsion Laboratory, calcolò il ΔV totale minimo teorico necessario per realizzare un trasferimento lunare. Il suo calcolo è basato sull’analisi della costante di Jacobi.
La formula che esprime tale costante è uno dei risultati che ha ottenuto Jacobi, nella prima metà del 19° secolo, studiando il problema ristretto dei tre corpi, problema che approssima quello del trasferimento Terra-Luna.
Il lavoro di Sweetser faceva parte della progettazione di una missione lunare della NASA, che consisteva nel trasferire una sonda, chiamata Lunar Observer, da un’orbita circolare terrestre di 167 km di altitudine ad un’orbita circolare lunare di 100 km di altitudine.
Il problema ristretto dei tre corpi
Consideriamo il moto di un veicolo spaziale diretto verso la Luna. Supponiamo che tale moto si svolga esclusivamente nel piano dell’orbita lunare e che le uniche forze agenti sul veicolo siano l’attrazione gravitazionale terrestre e quella lunare.
Ipotizziamo inoltre che l’orbita della Luna sia perfettamente circolare. Grazie a queste ipotesi, il calcolo della traiettoria del veicolo si traduce in un problema ristretto dei tre corpi.
Utilizziamo un sistema di riferimento cartesiano xy individuante il piano nel quale si svolge il moto dei tre corpi, la cui origine coincide col baricentro del sistema Terra-Luna, con l’asse x passante per i centri dei due corpi celesti e orientato verso la Luna.
Tale sistema di riferimento viene denominato sinodico.
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(x(t), y(t)) = posizione del veicolo nel sistema sinodico all’istante t;
v⃗ = (ẋ(t), ẏ(t)) = velocità rotazionale = velocità del veicolo nel sistema sinodico;
v = √(ẋ2 + ẏ2) = modulo della velocità rotazionale del veicolo;
ω = velocità angolare con cui il sistema Terra-Luna ruota intorno al proprio baricentro
ω = 2,66 · 10−6 rad/s;
ρ = √(x2 + y2) = distanza del veicolo dal baricentro del sistema Terra-Luna;
rT = distanza del veicolo dal centro della Terra;
rL = distanza del veicolo dal centro della Luna;
μT = costante gravitazionale terrestre = 398600,49 km3/s2;
μL = costante gravitazionale lunare = 4902,79 km3/s2.
L’integrale di Jacobi
Se l’astronave non esegue nessuna manovra propulsiva, e quindi le uniche accelerazioni che subisce sono quelle causate dall’attrazione gravitazionale del sistema Terra-Luna, la quantità
ω2ρ2 + 2μT/rT + 2μL/rL − v2,
che prende il nome di integrale di Jacobi, rimane costante lungo tutta la sua traiettoria, ovvero
ω2ρ(ti)2 + 2μT/rT(ti) + 2μL/rL(ti) − v(ti)2 = ω2ρ(tf)2 + 2μT/rT(tf) + 2μL/rL(tf) − v(tf)2 ∀ ti ≤ t ≤ tf
o, più semplicemente,
ω2ρ2 + 2μT/rT + 2μL/rL − v2 = C (1)
dove ti è l’istante in cui l’astronave comincia a percorrere la sua traiettoria, tf è l’istante in cui termina il percorso e C è la costante di Jacobi.
Ponendo:
J = ω2ρ2 + 2μT/rT + 2μL/rL
la (1) diventa:
2J − v2 = C (2)
che, per v = 0, si riduce a
2J = C
Quest’ultima è l’equazione della curva di Hill, o curva a velocità zero, corrispondente al valore C della costante di Jacobi.
Le condizioni iniziali del moto del veicolo, posizione e velocità iniziali, determinano il valore di C tramite la (1). Di conseguenza, rimane anche individuata la curva di Hill corrispondente e la zona > 2 dello spazio nella quale, essendo v2 ≥ 0, può avere luogo il moto del veicolo e dalla quale esso non può uscire.
Un aspetto particolarmente importante della progettazione di una missione spaziale è la minimizzazione della quantità di propellente di cui deve essere dotato il veicolo spaziale, poiché la massa che può essere trasportata dal veicolo costituisce uno dei principali vincoli della missione. Un veicolo spaziale, per modificare la sua traiettoria (ad esempio per passare da un’orbita circolare ad una ellittica), deve eseguire delle manovre impulsive, ossia deve azionare il proprio propulsore, il quale genera una spinta che modifica bruscamente la velocità del veicolo e lo porta sulla nuova traiettoria desiderata.
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