Calcolo della probabilità e statistica matematica, Malvestuto

Corso di Calcolo di Probabilità e Statistica Matematica di V

Corso in Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica (V. Malvestuto)

Lezione 1

Gli inizi: Cardano, Pascal, Newton e il gioco dei dadi

Gerolamo Cardano (Pavia 24/9/1501 – Roma 20/9/1576) è il primo intellettuale di statura europea nel mondo occidentale a considerare la materia di questo corso degna di attenzione da parte di un erudito (prima di lui esistono solo sporadici accenni ad alcuni problemi sul gioco dei dadi, come nella Summa di Luca Pacioli). Cardano raccoglie le sue riflessioni sull’argomento in quello che può riguardarsi il primo trattato della storia sul calcolo delle probabilità (Liber de ludo aleae, 1524).

Non si tratta solo di riflessioni teoriche. Cardano, di umili origini, usò effettivamente nel gioco d’azzardo le sue scoperte per procurarsi i mezzi necessari a finanziare gli studi alla scuola medica di Pavia. Il suo contributo alla teoria della probabilità è il fondamento stesso del calcolo delle probabilità su basi matematiche. Egli ebbe chiare le quattro nozioni basilari di quella che è stata poi chiamata la “teoria classica” della probabilità:

1. La frequenza con cui si verifica ognuno dei possibili esiti di un esperimento, non esattamente prevedibile ma ripetuto in condizioni controllate (com’è il lancio di un dado), può essere prevista a priori con buona approssimazione ricorrendo ad un calcolo matematico che sfrutti accortamente le simmetrie implicite nelle modalità dell’esperimento;
2. Il risultato di questo calcolo è un numero fra 0 e 1, definito probabilità del dato evento, che allo stesso tempo esprime il grado di fiducia che riponiamo nel verificarsi del dato evento e fornisce una buona stima della frequenza per un numero elevato di prove;
3. Il passo essenziale per eseguire con successo il calcolo di una probabilità è individuare correttamente il novero degli esiti possibili equiprobabili di un dato esperimento; per esempio, nel lancio di due dadi gli esiti possibili della somma sulle due facce sono undici (2,3,4,…12), ma Cardano sapeva che non si tratta di eventi equiprobabili, mentre tali sono i 36 eventi definiti dalle coppie ordinate dei risultati che compaiono sulle facce dei due dadi: (1,1), (1,2), …, (1,6), (2,1), (2,2), …, (2,6), (3,1) ... ………..(6,6).
4. La probabilità di un evento è il rapporto fra il numero dei casi ad esso favorevoli e il numero totale dei casi possibili (purché tutti equiprobabili, secondo quanto detto al punto 3).

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Bisogna aspettare più di un secolo prima che un altro intellettuale europeo di grande levatura torni a dedicare la sua attenzione a questo ordine di problemi. E ciò si deve ancora all’interesse suscitato dalla pratica del gioco dei dadi e dalla necessità da parte di un giocatore di battere la concorrenza.

Intorno al 1654, uno sfaccendato cavaliere francese dedito al gioco, tale cavalier De Méré, che aveva delle idee alquanto sbagliate sulla probabilità, ma cui non mancava lo scrupolo di annotare le percentuali con cui uscivano nel gioco reale le varie combinazioni, si accorge che certi eventi, da lui ritenuti più probabili di altri, escono in realtà meno spesso di quanto egli si aspetta.

Egli conosce un giovane di talento, Blaise Pascal (Clermont 19/6/1623 – Port Royal 19/8/1662) che ha stupito con la precocità del suo genio il circolo degli intellettuali parigini (a 16 anni pubblica un Trattato sulle sezioni coniche, a 18 inventa una macchina calcolatrice, intorno ai 20 pone le basi della statica dei fluidi), un genio destinato tuttavia ad un’altrettanto precoce decadenza psicofisica (poco dopo i 32 anni sprofonderà nella melma delle disquisizioni teologiche, seppure conservando lo stile di fine letterato e la vena di polemista mordace, discetterà per lo più di bagattelle stantie come la grazia divina e la salvezza eterna e dedicherà gran parte del suo tempo a scrivere un’Apologia del cristianesimo, pubblicata, postuma e incompiuta, sotto il titolo di Pensieri, perché la morte lo coglierà a 39 anni).

A questo giovane di talento, poco prima della sua conversione al giansenismo, De Méré sottopone quelli che, per colpa delle sue erronee nozioni sulla probabilità, ritiene dei veri e propri paradossi. Ecco due dei quesiti posti dal giocoso cavaliere a Pascal.

Primo quesito

Se si lanciano 3 dadi, è un fatto che la somma 11 tende a uscire più spesso del 12. Invece, secondo il cavaliere, i due eventi hanno le stesse chances, dal momento che entrambi si possono formare in sei soli diversi modi:

11 = 6+4+1 = 6+3+2 = 5+5+1 = 5+4+2 = 5+3+3 = 4+4+3

12 = 6+5+1 = 6+4+2 = 6+3+3 = 5+5+2 = 5+4+3 = 4+4+4

Allora perché l’esperienza al tavolo da gioco mostra che conviene scommettere sull’11 piuttosto che sul 12? La risposta di Pascal si lascia come esercizio al lettore.

Secondo quesito

A un giocatore si offre la possibilità di vincere un “miliardo” se realizza un punteggio ai dadi. Egli può optare per l’una o l’altra fra due modalità per tentare la sorte: può lanciare una sola volta 4 dadi e in tal caso vincerà se compare almeno un 6 su qualcuna delle quattro facce; oppure può scegliere di lanciare per ben 24 volte 2 dadi, e in tal caso vincerà il miliardo se e non appena otterrà 6 su entrambe le facce.

Se voi foste quel giocatore, quale modalità di gioco scegliereste? Pascal anche in questo caso diede la risposta esatta, che è quella controintuitiva. Ma Biagio non sapeva che Gerolamo aveva già affrontato e risolto lo stesso problema 130 anni prima di lui. E veniamo ora al grande Isacco.

Circa 40 anni dopo, la storia sembra ripetersi. Un altro nobile sfaccendato, dedito al gioco d’azzardo, con idee ancor più erronee sul calcolo delle probabilità, ma altrettanto coscienzioso nell’annotare i fatti al tavolo da gioco, un certo Samuel Pepys, noto nei circoli londinesi dell’epoca, ha la fortuna di conoscere Newton (Woolsthorpe 25/12/1642 – Londra 20/3/1727) sicché nell’anno 1693 gli sottopone un altro “paradosso”:

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È più facile ottenere un 6 (almeno uno) lanciando 6 dadi o due 6 (almeno due) lanciandone 12?

Newton, “after an easy computation”, diede la risposta giusta, che è di nuovo quella controintuitiva. Ma Mr. Pepys non accettò la conclusione e sfidò Newton a fornire argomenti. Allora Newton gli mostrò i calcoli, ma poiché nemmeno questo servì a convincerlo, il buon Samuele continuò impeterrito a sostenere le sue tesi nei suoi fitti carteggi, il che ci consente ancora oggi di additarlo ad esempio di testarda ottusità.

A sua parziale discolpa, si deve del resto riconoscere che questa ostinazione nel perseverare nei propri errori è tipica nell’ambito del calcolo delle probabilità, la cui storia è costellata di abbagli clamorosi presi anche da personalità insigni. La maggior parte di questi errori sono dovuti o all’ambiguità delle formulazioni o all’incapacità di riconoscere la non equiprobabilità degli eventi elementari posti alla base del calcolo; la parte restante a fraintendimenti del significato della così detta “legge dei grandi numeri” o alla confusione fra probabilità a priori e probabilità a posteriori. Tutto ciò sarà oggetto delle successive lezioni.

Bibliografia

Feller W., 1957: An introduction to probability theory and its applications - Vol. 1. J. Wiley & Sons, 3 edition.

Penrose R., 1994: Shadows of the mind. Tradotto da E. Diana: Ombre della mente, Rizzoli, 1996 (557 pp.)

Rozanov Y.A., 1969: Introductory probability theory. Prentice Hall (traduz. dal russo di R.A. Silverman)

Per la figura di Cardano si veda, oltre alla rievocazione nel citato testo di Penrose (pp. 310-8):

• Boyer C.B., 1968: Storia della matematica. Mondadori (pp. 327-336).
• Loria G., 1950: Storia delle matematiche. Hoepli (2.a ediz., Cap. XVI°)
• Singh S., 1997: L’ultimo teorema di Fermat. BUR (p. 61).

E, in lingua inglese:

• Kline M., 1953: Mathematics in western culture. Oxford Univ. Press (p 99-100).
• Ore O., 1953: Cardano, the gambling scholar. Princeton Univ. Press.

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Esercizi proposti

1. Due giocatori, A e B, scommettono poste uguali sul lancio di 2 dadi. A vince se esce un totale di 6, 7 oppure 8. B vince in tutti gli altri casi. Quale giocatore vorreste essere, A o B?
2. Un’urna contiene 3 palle bianche e 4 nere. Si estrae una palla e poi un’altra, senza rimettere dentro la prima. Qual è la probabilità che le due palle siano di colore diverso? Cambia la risposta se prima della seconda estrazione si rimette dentro la prima palla estratta?
3. Si lanciano in aria 4 monete. Qual è la probabilità di ottenere testa su tutte e quattro? Cambia la risposta se si lancia quattro volte consecutive una stessa moneta?
4. Si estraggono 2 carte a caso da un mazzo di 52 carte francesi. Qual è la probabilità che le due carte siano la donna di cuori e il fante di picche? E qual è la probabilità di beccare 2 assi? Di quanto aumenta la probabilità di prendere almeno 2 assi se invece che 2 si estraggono dal mazzo 3 carte? 4 carte?
5. Un’edizione della Divina Commedia (3 volumi) deve essere collocata su uno scaffale. Qual è la probabilità che disponendo i 3 volumi a caso, essi si trovino in ordine sequenziale (non importa in che verso)? E qual è la probabilità che i 3 volumi si trovino indivisi se vengono sistemati a caso sullo scaffale insieme a Iliade ed Odissea?
6. Nel gioco della roulette russa (raccomandabile solo agli aspiranti suicidi con un debole per il gioco d’azzardo) si inserisce una pallottola nel tamburo di un revolver che ne può contenere otto. Poi si fa ruotare ripetutamente il tamburo, si punta la canna alla tempia e si preme il grilletto… Se il colpo va a vuoto, si ruota il tamburo prima di sfidare di nuovo la sorte. Qual è la probabilità di rimanere vivi dopo il primo colpo? Dopo il secondo? Dopo il terzo? Come cambiano le risposte se l’aspirante suicida è anche un pigro, cioè non ruota mai il tamburo dopo un colpo andato a vuoto?
7. In un cassetto del comodino sono stati messi alla rinfusa 10 pedalini blu, 8 rossi e 6 grigi. L’uomo si alza, come al solito, in stato comatoso e al buio apre il cassetto e prende a caso dei calzini. Qual è la probabilità di prenderne un paio buono da indossare, se ne prende due? Tre? Quattro?
8. Nella borsa di una donna ci sono, dispersi nel caos totale, 5 accendini di cui 3 ormai esauriti. Nel tentativo di accendere una sigaretta lei riesce ad afferrare 3 accendini. Qual è la probabilità che nessuno dei 3 funzioni? Che uno solo funzioni? Che più di uno funzioni?

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9. Si lancia un dado fino a che non appare il 6. Qual è la probabilità che ciò accada al primo colpo? Al secondo? Al terzo? Al decimo? Quanti lanci servono per essere sicuri a priori di vedere comparire il 6?
10. Stai giocando una mano di poker con 3 amici (carta minima = 7). È in corso la distribuzione delle carte. Qual è la probabilità che tu ti veda servire:
    • Una scala reale massima di cuori?
    • Una scala reale di cuori qualsiasi?
    • Una scala reale qualsiasi?
    • Un poker qualsiasi?
    • Un full?
    • Un tris d’assi?

Suggerimento: ignorare la presenza degli altri giocatori, quello che conta è che si estraggono 5 carte a caso da un mazzo che è composto in un certo modo.

Nota: Le risposte a questi dieci problemi saranno date nella lezione n. 2 insieme al procedimento risolutivo.

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Lezione 2

La definizione classica generale di probabilità e il paradosso di Bertrand. Le tre scuole: assiomatica, frequentistica, soggettivistica. Chi ha ragione?

La definizione classica originaria di probabilità di un evento come rapporto fra numero di casi favorevoli e numero di casi possibili, purché tutti equiprobabili, è carente sotto vari punti di vista. Esaminiamo tre obiezioni di cui solo le ultime due sono significative.

1. La definizione classica sottintende un circolo vizioso. Infatti nel definire la probabilità di un evento si invoca il concetto stesso che si vuole definire, nell’istante in cui si parla di eventi equiprobabili. In realtà questa obiezione è sofistica e accademica. È vero che il termine equiprobabile richiede già una certa conoscenza del concetto di probabilità. Ma si può facilmente rispondere con un postulato preliminare: N eventi diconsi equiprobabili se non esiste alcun motivo, né fattuale né di principio, per pensare che qualcuno di essi si verifichi con una frequenza maggiore di qualsiasi altro. Come si vede, in questa definizione non si fa ricorso al concetto di probabilità, bensì a quello di frequenza. Il suddetto postulato è generalmente noto come “principio di indifferenza”.

A ben riflettere, anche il concetto di temperatura viene definito presupponendo che si sappia almeno riconoscere in anticipo se due corpi hanno la stessa temperatura. Nell’apparato logico della termodinamica la definizione di corpi isotermici viene presupposta e precede la definizione operativa di temperatura, quella cioè che mette in grado il fisico di associare un numero alla grandezza stessa. La verifica che due corpi siano isotermici si può fare infatti senza misurarne la temperatura, ma semplicemente mettendoli in contatto termico e controllando che non vi sia passaggio di calore fra loro né in un senso né nell’altro.

2. La definizione classica di probabilità ha un ambito di applicabilità troppo angusto. Per esempio, non sarebbe possibile valutare la probabilità che un ago, libero di ruotare in un cerchio, si fermi casualmente all’interno di un qualsiasi assegnato settore del cerchio. Qui il problema nasce dal fatto che sia i casi possibili, sia casi i favorevoli sono infiniti, tanti quante sono le diverse possibili posizioni finali dell’ago all’interno di un angolo prescelto comunque piccolo. Per giunta tali infinità sono infinità con la potenza del continuo. Ma anche l’intervento di infinità di tipo numerabile vanifica l’applicabilità della definizione classica. Qual è la probabilità che un intero positivo, scelto a caso, sia multiplo di 5?

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Sa che tale probabilità è 1/5, ma tale risposta, in sé banale, non può ricavarsi usando semplicemente la definizione classica originaria di probabilità, perché sia la totalità dei numeri interi (i casi possibili) che la totalità dei multipli di 5 (i casi favorevoli) sono un’infinità di numeri. Come si possa superare questa limitazione si dirà più avanti, il che ci consentirà di arrivare alla definizione classica estesa ed anche al paradosso di Bertrand. Per ora, esaminiamo la terza obiezione, il che ci darà modo di discutere il punto di vista della scuola frequentistica.

3. Un altro limite troppo restrittivo insito nella definizione classica di probabilità è la richiesta che gli eventi elementari usati come casi possibili siano tutti equiprobabili. Facciamo qualche esempio. Qual è la probabilità che durante il 2002 qualche fulmine cada all’interno del Grande Raccordo Anulare di Roma? Possiamo dare una risposta convincente a questa domanda solo esaminando le statistiche per esempio dell’ultimo secolo. Se dal 1901 al 2000 sono stati 25 gli anni nei quali si è registrato almeno un fulmine caduto nell’area delimitata dal GRA, allora è ragionevole pensare che la probabilità richiesta sia ¼, cioè 25%, dato su cui si baseranno le compagnie di assicurazione per stipulare le loro polizze di assicurazione che coprono i casi di infortunio e di incendio.

La definizione classica invece non ci è di alcun aiuto per determinare il suddetto valore di probabilità. Infatti non è possibile per un evento del genere individuare a priori dei casi possibili, né dei casi favorevoli, contando i quali valutare la probabilità richiesta. È vero che il valore ottenuto si presenta ancora come il rapporto fra due numeri: il numero di anni in cui è caduto qualche fulmine, e il numero totale di anni presi in esame. Ma questi numeri non possono considerarsi come numero di casi favorevoli e numero di casi possibili secondo la definizione classica, perché questi andrebbero determinati a priori, indipendentemente dai fatti osservati.

Quello che invece si è fatto è calcolare semplicemente una frequenza relativa su un numero elevato di fatti osservati e assimilarla alla probabilità. Difatti una frequenza relativa per un dato evento è definita proprio come il rapporto fra il numero di volte in cui un evento si è effet