Biomeccanica dei Solidi - Appunti

Politecnico di Torino - Laurea Magistrale in Ingegneria Biomedica

A.A. 2021/2022

Biomeccanica dei solidi

Appunti del corso

Professore del corso: Prof. Alberto Audenino

Appunti di: Fabrizio Sciscenti

Sommario

• Sistemi lineari ad un grado di libertà .................................................................. 4
  • Sistemi massa – molla non smorzati ad un grado di libertà ............................................................ 4
    • Soluzione omogenea ....................................................................................................................... 5
    • Equazioni di stato ............................................................................................................................ 7
    • Soluzione (Integrale) particolare ..................................................................................................... 8
    • Soluzione completa ....................................................................................................................... 10
    • Esercizio: Sistema lineare non smorzato forzato armonicamente ................................................ 10
  • Funzioni di risposta in frequenza ................................................................................................ 13
    • Deformabilità dinamica ................................................................................................................. 13
    • Rigidezza dinamica ........................................................................................................................ 13
    • Mobilità ......................................................................................................................................... 14
    • Impedenza meccanica ................................................................................................................... 14
    • Inertanza ........................................................................................................................................ 14
    • Massa dinamica ............................................................................................................................. 15
  • Sistemi smorzati ad un grado di libertà ....................................................................................... 17
    • Soluzione omogenea ..................................................................................................................... 18
    • Traiettoria nel piano degli stati delle oscillazioni libere ................................................................ 21
    • Decremento logaritmico ................................................................................................................ 22
    • Soluzione (Integrale) particolare ................................................................................................... 23
    • Metodo dei punti di metà potenza................................................................................................ 32
    • Smorzamento strutturale .............................................................................................................. 33
    • Smorzamento coulombiano .......................................................................................................... 47
  • Risposta ad un eccitazione non armonica ................................................................................... 50
    • Eccitazione non armonica con andamento periodico ................................................................... 50
    • Risposta ad un’eccitazione impulsiva ............................................................................................ 52
    • Risposta ad un’eccitazione a gradino ............................................................................................ 56
  • Risposta ad un eccitazione casuale ............................................................................................. 60
    • Integrale di Duhamel ..................................................................................................................... 60
    • Trasformata di Laplace e Funzioni di Trasferimento ..................................................................... 62
    • Vibrazioni casuali ........................................................................................................................... 63
    • Esercizio: Eccitazione casuale definita statisticamente ................................................................. 69
• Sistemi lineari a più gradi di libertà .................................................................. 70
  • Sistemi con molti gradi di libertà a parametri concentrati ........................................................... 70
  • Equazione di stato ..................................................................................................................... 71
  • Coefficienti di influenza e matrice di deformabilità ..................................................................... 72
  • Oscillazioni libere di un sistema non smorzato ..................................................................... 73
    • Disaccoppiamento delle equazioni del moto ................................................................................. 75
  • Oscillazioni forzate del sistema non smorzato ..................................................................... 79
  • Oscillazioni libere del sistema con smorzamento viscoso ......................................................... 81
  • Oscillazioni libere del sistema con smorzamento strutturale ................................................ 84
  • Oscillazioni forzate del sistema con smorzamento non proporzionale ................................ 84
  • Calcolo iterativo della risposta di sistemi smorzati ...................................................................... 90
  • Oscillazioni forzate del sistema con smorzamento strutturale ........................................... 91
    • Risposta ad un’eccitazione non armonica .................................................................................... 91
  • Smorzatore dinamico ............................................................................................................... 92
    • Smorzatore dinamico con smorzatore viscoso ............................................................................. 97
• Tema d’esame 24-01-2022 ............................................................................. 100

Sistemi lineari ad un grado di libertà

Sistemi massa–molla non smorzati ad un grado di libertà

Un sistema lineare ad un grado di libertà, non smorzato, può essere ricondotto ad un oscillatore armonico (come in figura). Nel caso generico preso in esame, il sistema è posto in un campo gravitazionale e, in più, gli sono applicati una generica forzante e un’eccitazione del vincolo. Il bilancio delle forze agenti sulla massa (trattata come un punto materiale) è:

\( \ddot{x} + (x - x_0 - y = f(t) - f_0 \) (1. 1))

\( \ddot{x} + \omega_n^2 x = \omega_n^2 (x_0 + x(t) - f_0 \) (1. 2))

Il sistema può essere usato per schematizzare sistemi più complessi, commettendo un errore di approssimazione accettabile. In realtà, i sistemi ad un grado di libertà non esistono. Nell’equilibrio di forze possiamo raccogliere i termini costanti definendo il termine:

\( x' = x_0 + y - f_0 \) (1. 3)

\( \ddot{x}' + \omega_n^2 x = \omega_n^2 (x_0 + f(t)) \) (1. 4)

Si ottiene una equazione differenziale del II ordine non omogenea (in un sistema di riferimento inerziale). Se volessimo considerare il sistema di riferimento non inerziale riferito al vincolo A scriveremmo:

\( x = x' + x'' \rightarrow \ddot{x} = \ddot{x}' + \ddot{x}'' \) (1. 5))

\( (\ddot{x}' + \ddot{x}'' + (x - x_0 = f(t) - f_0 \) (1. 6))

\( \ddot{x} + \omega_n^2 x = -\ddot{x} + \omega_n^2 (x_0 + f(t) - f_0 \) (1. 7))

\( \ddot{x}' + \omega_n^2 x' = -\ddot{x}'' + \omega_n^2 (f(t) - f_0 \) (1. 8))

Riepilogando i due equilibri per un sistema inerziale e non inerziale sono:

\( x' = f(t) \ddot{x}' + \omega_n^2 x = \omega_n^2 (x_0 + f(t)) \) (1. 9)

\( \ddot{x}' + \omega_n^2 x = -\ddot{x}'' + \omega_n^2 (f(t) - f_0 \) (1. 10)⁴

Il numero di contributi è il medesimo, in questo caso, per questo risolvere l’equilibrio in un modo o nell’altro è indifferente (dal punto di vista della difficoltà della soluzione analitica). Si vedrà poi che considerare un sistema di riferimento relativo in sistemi lineari smorzati porta ad una formulazione dell’equilibrio con un termine in meno, il che semplifica i calcoli. Ritornando all’equilibrio del sistema lineare ad un grado di libertà:

\( \ddot{x}' + \omega_n^2 x = \omega_n^2 (x_0 + f(t)) \) (1. 11)

È una equazione differenziale del II ordine non lineare, quindi la soluzione sarà la somma della soluzione dell’omogenea associata e la soluzione particolare:

\( x(t) = x_h(t) + x_p(t) \) (1. 12)

Soluzione omogenea

\( \ddot{x} + \omega_n^2 x = 0 \) (1. 13)

La soluzione omogenea riguarda il moto oscillatorio libero del sistema; questa può essere scritta in più modi.

Soluzione omogenea come somma di armoniche

\( x(t) = A \cdot \cos(\omega_nt) + B \cdot \sin(\omega_nt) \) (1. 14)

\( \dot{x}(t) = -A \cdot \omega_n \sin(\omega_nt) + B \cdot \omega_n \cos(\omega_nt) \) (1. 15)

\( \ddot{x}(t) = -A \cdot \omega_n^2 \cos(\omega_nt) - B \cdot \omega_n^2 \sin(\omega_nt) \) (1. 16)

Sostituendo l’espressione della soluzione nell’equazione differenziale di partenza si ottiene:

\( \ddot{x} + \omega_n^2 x = 0 \) (1. 17)

\( -A \cdot \omega_n^2 \cos(\omega_nt) - B \cdot \omega_n^2 \sin(\omega_nt) + A \cdot \omega_n^2 \cos(\omega_nt) + B \cdot \omega_n^2 \sin(\omega_nt) = 0 \) (1. 18)

\( (A \cdot \omega_n^2) \cdot \cos(\omega_nt) + (B \cdot \omega_n^2) \cdot \sin(\omega_nt) = 0 \) (1. 19)

L’espressione è nulla se e solo se i coefficienti delle ormoniche sono nulli:

\( \omega_n^2 A - \omega_n^2 B = 0 \leftrightarrow A = B = \omega_n^2 \) (1. 20)

Chiamiamo “pulsazione naturale del sistema lineare non smorzato”; corrisponde alla pulsazione delle oscillazioni del sistema libero. Le costanti A e B sono determinate dalle condizioni al contorno.

Soluzione omogenea come sinusoide modulata e sfasata

\( x(t) = C \cdot \sin(\omega_nt + \phi) \) (1. 21)

Dalle formule trigonometriche si riottiene la formulazione come somma di armoniche. Ricordando la formula di addizione del seno:

\( \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta \pm \cos\alpha \cdot \sin\beta \) (1. 22)

\( x(t) = C \cdot \sin\omega_nt \cdot \cos(\phi) + C \cdot \cos\omega_nt \cdot \sin(\phi) \) (1. 23)

\( \omega_n = \sqrt{\frac{A^2 + B^2}{C^2}} = C \cdot \sin\omega_n \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = C \cdot \cos\phi \\ \phi = \tan^{-1}(\frac{B}{A}) \end{array} \right. \) (1. 24)

Soluzione omogenea come esponenziale complesso

\( x^*(t) = C \cdot e^{(i\omega_nt)}, \; i \in \mathbb{C} \) (1. 25)

\( \dot{x}^*(t) = C \cdot i\omega_n \cdot e^{(i\omega_nt)} \) (1. 26)

\( \ddot{x}^*(t) = C \cdot (-\omega_n^2) \cdot e^{(i\omega_nt)} \) (1. 27)

Sostituendo l’espressione della soluzione nell’equazione differenziale di partenza:

\( C \cdot (-\omega_n^2) \cdot e^{(i\omega_nt)} + \omega_n^2 \cdot C \cdot e^{(i\omega_nt)} = 0 \rightarrow (\omega_n^2 - \omega_n^2) \cdot C \cdot e^{(i\omega_nt)} = 0 \) (1. 28)

\( x^*(t) = C \cdot e^{(i\omega_nt)} \)

Ci sono due possibili soluzioni, tra cui una sarebbe quindi il sistema fermo; l’altra soluzione sarà:

\( \omega_n^2 + k = 0 \rightarrow C = \pm i \omega_n = \pm i \sqrt{\omega_n^2} \) (1. 29)

Osserviamo che, nel caso non smorzato, l’esponente della soluzione è un numero immaginario puro.

\( x^*(t) = C \cdot e^{i(\omega_nt)} + C \cdot e^{-i(\omega_nt)} \) (1. 30)

Nota bene: \( C_1 \) e \( C_2 \) sono “complessi coniugati”:

\( \mathbb{R}(C_1^*) = \mathbb{R}(C_2^*) = \mathbb{R}(C_1^*) = \Im(C_1^*) = -\Im(C_2^*) = \Im(C_2^*) \)

Ricordiamo e applichiamo la formula di Eulero alla soluzione (1.30):

\( e^{\pm i\theta} = \cos(\theta) \pm i \cdot \sin(\theta) \) (1. 31)

\( x^*(t) = \mathbb{R}(C_1^*e^{i\omega_nt} + C_2^*e^{-i\omega_nt}) + i\Im(C_1^*e^{i\omega_nt} - C_2^*e^{-i\omega_nt})\) (1.32)

Osserviamo che la soluzione è puramente reale (come ci si dovrebbe aspettare poiché è solo un altro modo per scrivere la stessa soluzione trovata nei sottoparagrafi precedenti). L’ultimo modo per esprimere la soluzione del sistema suggerisce che una qualsiasi armonica (somma di più armoniche) può essere espressa come la proiezione sull’asse reale di un vettore rotante di modulo complesso nel piano di Argand-Gauss. Relativamente alla soluzione (1.30) osserviamo che è analoga alla somma di due vettori controrotanti (pulsazione opposta) con i moduli complessi coniugati. La somma è puramente reale, poiché le parti immaginarie si elidono.

Equazioni di stato

Lo stato di moto di un sistema dinamico è noto, in un qualsiasi istante, quando in tale istante sono noti la posizione e la velocità del punto materiale. Il numero di variabili di stato in un sistema è: (con numero di gradi di libertà del sistema). Il piano degli stati è il piano in cui, per ogni istante, vengono riportate la posizione e la velocità del punto materiale. Una delle possibili traiettorie del moto è quella a lato: \( x(t) = A \cdot \sin(\omega_n t + \phi) \).

\( x(t) = A \cdot \sin(\omega_n t + \phi + \pi/2) \)

La traiettoria che si ottiene è, in generale, un’ellisse che, se si scalano opportunamente gli assi (in questo caso \(\dot{x}/\omega_n\) sull’asse delle ordinate è stata plottata \(x\)), è una circonferenza. Per definire l’equazione di stato introduciamo il “vettore di stato”:

\(\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ \dot{x} \end{bmatrix} \) (1. 34)

Quindi il sistema studiato, caratterizzato dalla equazione (1.10) (per semplicità poniamo \(\omega_n^2 = 1\)) è modellizzato dall’equazione di stato matriciale:

\(\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u} \) (1. 35)

\(\ddot{x} + \omega_n^2 x = -\ddot{x} + \omega_n^2(x_0 + f(t) - f_0) \)

\(\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \ddot{x} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -\omega_n^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ \dot{x} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} f(t) \) (1. 36)

Con:

• \(\mathbf{x}\): vettore di stato
• \(\mathbf{A}\): matrice dinamica
• \(\mathbf{B}\): matrice dei guadagni degli input
• \(\mathbf{u}\): vettore degli input

Soluzione (Integrale) particolare

Esprime la risposta del sistema all’applicazione di forzanti. In generale, per il sistema considerato, ci sono due forzanti: la forzante esterna e l’eccitazione del vincolo. Si trattano le due soluzioni particolari separatamente e si applica il principio di sovrapposizione degli effetti (principio valido per la “linearità” del sistema).

\( x(t) = x_h(t) + x_p(t) = \sum_i x_{pi}(t), \) (1. 37)

Forzante armonica

Consideriamo il primo contributo della forzante esterna nel caso particolare in cui sia una armonica:

\( f(t) = F_1 \cos(\omega t) + F_2 \sin(\omega t) \) (1. 38)

Consideriamo il caso ancor più particolare in cui la forzante è una sinusoide di pulsazione \(\omega_0\):

\( f(t) = F_0 \sin(\omega_0 t) \) (1. 39)

La soluzione particolare relativa all’i-esima forzante avrà la stessa “forma” di quest’ultima: in questo caso, l’integrale particolare sarà una sinusoide con la stessa pulsazione della forzante:

\( x_p(t) = A \cdot \sin(\omega_0 t) \) (1. 40)

\( \dot{x}_p(t) = A \cdot \omega_0 \cdot \cos(\omega_0 t) \) (1. 41)

\( \ddot{x}_p(t) = -A \cdot \omega_0^2 \cdot \sin(\omega_0 t) \) (1. 42)

Sostituendo la soluzione nell’equazione differenziale:

\( \ddot{x}_p(t) + \omega_n^2 x_p(t) = F_0 \sin(\omega_0 t) \) (1. 43)

\( -A \cdot \omega_0^2 \cdot \sin(\omega_0 t) + A \cdot \omega_n^2 \cdot \sin(\omega_0 t) = F_0 \sin(\omega_0 t) \) (1. 44)

\( (-A \cdot \omega_0^2 + A \cdot \omega_n^2) = F_0 \) (1. 45)

Osserviamo il rapporto:

\( \frac{A}{F_0} = \frac{1}{\omega_n^2 - \omega_0^2} \) (1. 46)

La risposta del sistema può essere in fase o in controfase ma in ogni caso sarà massima nello stesso istante in cui lo