Appunti Statistica IV

Verifica delle ipotesi

Le tecniche della verifica delle ipotesi permettono di controllare la validità di alcune affermazioni sulla popolazione utilizzando dati campionari.

Prendere decisioni in condizioni di incertezza fornendo un giudizio probabilistico circa le decisioni prese.

Per la verifica delle ipotesi si utilizzano statistiche campionarie basate su campioni casuali.

Abbiamo un popolazione, non conosciamo tutti i dati della popolazione.

Test parametrici: si parte da parametri della popolazione, media, varianza, ...

Test non parametrici: non fanno ipotesi su parametri ma sulla forma della distribuzione.

Un test è una regola istituito sullo spazio campionario che ci permette di rifiutare o non rifiutare una ipotesi.

Tale ipotesi viene detta ipotesi nulla.

Ipotesi nulla e ipotesi alternativa

Iniziamo il processo di verifica delle ipotesi considerando il valore di un parametro.

E formulando un’ipotesi sul parametro, la cosiddetta ipotesi nulla, che verrà mantenuta a meno che non ci sia una prova evidente contro la sua veridicità.

Se non viene mantenuta, sarà accettata una seconda ipotesi, la cosiddetta ipotesi alternativa.

Se viene mantenuta l’ipotesi nulla, non dobbiamo per forza concludere che sia corretta.

Se vale l’una non vale l’altra, sono esaustive e disgiunte.

Esempio sulle barrette di cioccolato

Un’azienda produttrice di barrette di cioccolato afferma che, mediamente, il peso di ognuna è di 16 g. Per verificare l’affermazione si può estrarre un campione casuale di barrette e calcolarne il peso medio.

Ipotesi nulla. L’ipotesi nulla afferma che il parametro media della popolazione è uguale a 16.

Ipotesi semplice.

Ipotesi alternativa.

Ipotesi alternativa unilaterale.

Ipotesi composta.

Ipotesi alternativa bilaterale.

Ipotesi composta.

Ipotesi semplice

Ipotesi semplice.

Ipotesi che specifica un singolo valore per il parametro della popolazione considerata.

Un’affermazione che specifica completamente la distribuzione di probabilità.

Ipotesi composta

Ipotesi composta.

Un’affermazione che specifica parzialmente la distribuzione di probabilità.

Ipotesi che specifica uno o più intervalli di valori per il parametro della popolazione considerata.

Ipotesi alternativa unilaterale e bilaterale

Ipotesi alternativa unilaterale.

Ipotesi alternativa che considera tutti i possibili valori del parametro della popolazione a destra oppure a sinistra, cioè maggiori o minori, rispetto a quelli specificati dall’ipotesi nulla.

Ipotesi alternativa bilaterale.

Ipotesi alternativa che considera tutti i possibili valori del parametro della popolazione diversi dal valore specificato dall’ipotesi nulla semplice.

Regola di decisione

Cerchiamo una regola che ci porti ad accettare o meno l’ipotesi nulla in funzione dello spazio campionario.

Dividiamo lo spazio campionario in due regioni.

La decisione di scegliere l’una o l’altra delle ipotesi segue lo schema rigoroso.

Questa corrispondenza è vera ma non una certa probabilità non è certo.

• Accettare H0 quando è vera.
• Accettare H0 quando è falsa.
• Rifiutare H0 quando è vera.
• Rifiutare H0 quando è falsa.

Statistica test

Il processo decisionale usa una statistica test costruita a partire dagli stimatori puntuali del parametro oggetto di studio.

Dalla distribuzione della statistica test si determinano i valori della statistica test che avrebbero una bassa probabilità di verificarsi se l’ipotesi nulla fosse vera.

Se la statistica test relativa al campione assume uno tra questi valori, rifiutiamo l’ipotesi nulla.

Oppure non rifiutiamo l’ipotesi nulla.

Accettiamo l’ipotesi alternativa.

Esempio di decisione sull’ipotesi nulla

Es. Per verificare l’ipotesi nulla che il peso medio delle barrette sia al massimo di 16 g, estraiamo un campione casuale di barrette e ne calcoliamo la media campionaria.

Se questa è sostanzialmente superiore a 16 g.

Possiamo rifiutare l’ipotesi nulla e accettare quella alternativa.

Più la media supera i 16 g più è alta la possibilità di rifiutare l’ipotesi nulla.

Sappiamo che la media campionaria non sempre riflette la metà della popolazione.

Dunque, calcolando solo una volta la media campionaria, la regola di decisione potrà determinare conclusioni errate.

Errori e probabilità

Es. Per verificare l’ipotesi nulla che il peso medio delle barrette sia al massimo di 16 g, estraiamo un campione casuale di barrette e ne calcoliamo la media campionaria.

Idealmente vorremmo ridurre il più possibile le probabilità di entrambi gli errori.

Purtroppo c’è un trade-off tra queste due probabilità.

In presenza di un particolare campione.

Ogni riduzione della probabilità del primo tipo determina un aumento della probabilità dell’errore di secondo tipo.

La probabilità dell’errore di primo tipo si fissa.

Si stabilisce la regola di decisione.

E la probabilità dell’errore di secondo tipo viene poi determinata di conseguenza.

Potenza di un test e livello di sig

Potenza di un test. Si calcola per particolari valori della media che soddisfano l’ipotesi alternativa.

Regola di decisione. In base alla sua formulazione si rifiuta o non si rifiuta l’ipotesi nulla sulla base dell’evidenza campionaria.

Livello di sig