Appunti Statistica

Statistica 28 probabilità lezione 1

Esercizio 11 28-08-2014

Urna con 15 dadi: 5 regolari, 10 con solo facce pari (22,44,66).

Estraendo un dado a caso e lanciandolo:

• P che esca il 6
• P che esca il 6 e che il dado sia regolare
• Dato che è uscito il 6, qual è la prob. che il dado sia regolare
• Abbiamo estratto un dado regolare, qual è la P che estraendo un altro dado esca il 6

• Individuo eventi
• S = {esce il numero 6}
• R = {il dado è regolare}
• Relazione tra eventi → Influenza
• In questo caso il fatto che esce 6 è influenzato dal dado che pesco
• R → S
• Albero probabilità

1/6 SR 5/15 ↑ R 10/15 5/15 R ↑ R 10/15 S 1/6 ↑ 5/6 S ↑ 1/6 5/90 25/90 20/90 60/90

Tabella risultati

R | SR | S 25/90 65/90 60/90 30/90

Statistica 28 probabilità lezione 1

Esercizio 11 28-08-2014

Urna con 15 dadi, 5 regolari, 10 con solo facce pari (22,44,66).

Estraendo un dado a caso e lanciandolo:

• P che esca il 6
• P che esca il 6 e che il dado sia regolare
• Dato che è uscito il 6 qual è la prob. che il dado sia regolare
• Abbiamo estratto un dado regolare, qual è la P che estraendo un altro dado esca il 6

• Individuo eventi
• S = { esce il numero 6 }
• R = { il dado è regolare }
• Relazione tra eventi → Influenze
• In questo caso il fatto che esce 6 è influenzato dal dado che pesco.
• R ⇒ S
• Albero probabilità
• Tabella risultati
• P(R ∩ S)

a) L'evento esce il 6 è l'unione di 2 intersezioni di eventi

S = (R∩S) ∪ (R∩S̅)

P(S) = P(R∩S) + P(R∩S̅)

P(S) = P(S|R) · P(R) + P(S|R̅) · P(R̅) = ¹/₆ · ⁵/₁₅ + ²/₆ · ¹⁰/₁₅ = ²⁵/₉₀ = 0.2778

b) P(S ∩ R̅) = P(S̅|R) · P(R) = ¹/₆ · ⁵/₁₅ = ⁵/₉₀ = 0.0556

P(R|S) = ^{P(R ∩ S)}/_P(S) = ^5/90/_25/90 = ¹/₅ = 0.2

d) Se tolgo un dado regolare qual è la prob. che esca il 6?

Unione di 2 intersezioni

P(S) = P(R∩S) + P(R̅∩S) = ⁴/₈₄ + ²⁰/₈₄ = ²⁴/₈₄ = 0.2857

Esercizio 2 10/07/2015

% Laureati in economia con voto ≥ 100/110 è 10%

Tra questi i dirigenti d'azienda è del 20%

Tra i laureati L con voto

• Sapendo che uno è dirigente qual è la prob. che il voto sia
• P che individuo a caso sia dirigente e voto

Eventi:

L = { Laureato con voto ≥ 100/110 }

D = { Laureato è dirigente d'azienda }

L influenza D

P(L) = 0.1, P(L̅) = 0.9, P(D|L̅) = 0.2, P(D|L) = 0.03

Albero probabilità

Tabella

a) P(_L|_D) = P(_L∩_D) / P(_D) = 0.027 / 0.047 = 0.5745

b) P(_L∩_D) = P(_D|_L) . P(_L) = 0.027

Differenza tra condizionata & congiunta

Condizionata = dato che (_L|_D) caso a

Congiunta = P che 2 eventi si verifichino entrambi (_L∩_D) caso b

Binomiale & ipergeometrica

Elementi di calcolo combinatorio

Binomiale

(Con reinserimento)

Struttura del testo:

• N Tentativi
• P Probabilità
• X Successi

Urna con 81 palline

54 verdi

Estraggo 8 palline

Qual è la P che tra le 8 palline estratte, 7 siano verdi?

→ n = 8   x = 7   P = ?

Formula:

P(X = x_c) = ⁿC_x · p^x · (1-p)^n-x

→ ( ⁸C₇ · (54/81)⁷ · (1 - 54/81)^8-7 ) = 0.156

N.B. → nella calcolatrice

→ 8 nCr 7

Ipergeometrica

(Senza reinserimento)

Struttura del testo:

Generalmente ho i colori

N "Neri presenti"

n "Neri estratti"

B "Bianchi presenti"

b "Bianchi estratti"

17 palline

9 nere = N

8 b