Appunti Statistica

Statistica descrittiva

25 Settembre

La statistica fornisce gli strumenti che consentono di analizzare un fenomeno nella popolazione oggetto di studio e il suo obiettivo è quello di individuare le caratteristiche fondamentali di tale fenomeno.

La statistica descrittiva prende in considerazione un’intera popolazione di cui, attraverso un censimento, vengono raccolti dei dati che saranno poi analizzati.

Popolazione o Collettivo Statistico (U) = insieme delle unità statistiche.

Unità statistiche ( ) = singole unità della popolazione mi.

Fenomeno o Variabile Statistica (X) = fenomeno di interesse distribuito presso le unità statistiche.

Insieme dei dati grezzi o Insieme dei dati elementari = insieme degli N dati Xi X Yinmln ultimi raccolti presso le unità statistiche.

Supporto della variabile ( ) = insieme delle modalità possibili della variabile Sx inXi.

Scale di misura

Le scale di misura sono modi attraverso i quali si rileva il fenomeno all’interno della popolazione. Dalla tipologia di scala di misura utilizzata derivano le classificazioni delle variabili statistiche in quanto le 4 fondamentali scale di misura differiscono in base al loro grado di precisione. scaledimisurati

Le principali scale di misura sono:

1. Scala nominale
   È la scala che stabilisce solo se due variabili sono uguali o diverse. X2 X'e Ha
2. Scala ordinale
   È la scala che in aggiunta alla scala nominale, stabilisce anche se una delle due osservazioni precede o succede l’altra. X12 X'e Ha InElia3
3. Scala intervallare
   È la scala che in aggiunta alla scala ordinale, quantifica anche la differenza tra due osservazioni. Nota: è necessario che le variabili siano numeriche. Xi t'aX'a Xi1 4X'e2 HaEliaIn3
   Inoltre in questo caso l’origine della scala viene fissato in modo soggettivo (non naturale).
   Esempio: X = temperatura città; considero le città A e B. Per misurare la temperatura si possono usare più metodi come Celsius o Kelvin Eio domanda: la temperatura in B è doppia rispetto ad A? NO, perché dipende dalle scale di 273 278 283 t t misura utilizzate Bacittà città.
4. Scala proporzionale (o di rapporto)
   È la scala che, in aggiunta alla scala intervallare, stabilisce il rapporto tra le osservazioni cioè l’intensità di quanto una differisce dall’altra. Xi t'aX'a Xi41 ti2 Ha 53 1h E
   Nota: il rapporto è calcolabile perché in questo caso l’origine è fissata in modo naturale.

Classificazione delle variabili statistiche

26 Settembre

In base alla scala di misura utilizzata seguono due categorie di variabili:

• Variabili qualitative: esse esprimono una qualità dell’unità statistica. Si distinguono tra:
  • Nominali
  • Ordinali
• Variabili quantitative: esse esprimono una quantità dell’unità statistica. Si distinguono tra:
  • Discrete: sono frutto di un conteggio. Presentano un numero di modalità finito oppure infinito ma numerabile.
  • Continue: sono frutto di una misurazione. Presentano un numero infinito di modalità e non numerabile. Esse posso essere:
    • Raggruppate in classi
    • Teoriche

Strumenti e operazioni

2iSTRUMENTieopen.TO sonnatoRiaEPRodutc

Sommatoria

La sommatoria è un modo sintetico per indicare la somma di n numeri. Xi In12,113 lafinedella indica somma IfXsXaXi in ti l'inizioe della indica somma.

PROPRIETÀ DELLA SOMMATORIA:

1. Xese tn ÈXi a a maAnniuna
2. Se È Èanniix a xixia xn.in ma
3. Se 1pm pin ftp.t Xnl p.ffXiplX1tpXi pXni
4. Xe YiXm tnse e ÈFINI milinklyreHa iynl.mxlxnyi ri yi
5. Htmlse pt3Xnl nuoveÈ fXiapud im pXixdi napa

NOTA BENE: È È I • YillXi ÈFINII t.isxiyiiÈXi • YiXi.yi

Produttoria

La produttoria è un modo sintetico per indicare il prodotto di n numeri. Prodottonialgia

Essa non gode di proprietà generiche come la sommatoria tranne nel caso: Xml lgf.fiti Èti18 bohÈlenti egli µ

Analisi dei dati

L’analisi statistica inizia con la rilevazione cioè con la misurazione del fenomeno X rispetto alla popolazione.

Dopo la rilevazione si effettua la sistemazione dei dati cioè si va ad organizzare i dati dell’insieme dei dati grezzi e questa operazione comprende 3 fasi:

1. Distribuzione di frequenza
2. Rappresentazione grafica
3. Funzione di ripartizione

Distribuzione di frequenza

ANAUSIDEIDATINDISTRIBUZIONEDIFREQUENZAVILa distribuzione di frequenza di un’indagine statistica è una tabella di due colonne:

• Colonna sx: sono presenti i distinti elementi (cioè non si possono ripetere) dell’insieme dei dati grezzi. L’insieme dei distinti elementi è detto supporto della variabile o del fenomeno mentre il generico elemento del supporto della variabile è detto modalità della variabile;
• Colonna dx: sono presenti le frequenze assolute che indicano il numero delle volte che viene osservata la i-esima modalità all’interno dell’insieme della variabile.

Frequenze assolute

FREQUENZE ASSOLUTEXii4oSUPPORTODELLA 8 X: numero di figli per famiglia VARIABILE X. {1,1,2,1,0,1,0,1,2,2,2,1,2,0,1,2,3,2,01} N=20eMODALITÀ DELLA VARIABILE

PROPRIETÀ FREQUENZE ASSOLUTE:

• 70miEImi n
• (Condizione di normalizzazione) mipi

Frequenze relative

FREQUENZE RELATIVEn NXini.nu La frequenza relativa è una frequenza normalizzata ed è utile per ai4o confrontare l’incidenza di una determinata modalità del supporto quando si 1 p o analizzano popolazioni con N differenti.

1 0,0512 PiaoÈ (condizione di normalizzazione) 1pi

Dimostrazione della condizione di normalizzazione per frequenze relative: È Èn neIoI 1piD

Rappresentazione grafica

rappresentazionegratiti

• Variabile qualitativa:
  • Diagramma circolare (A)
  • Diagramma a rettangoli distanziali (B)

miXi angolo = frequenza relativa x 360c µo.gl ofa ono µ0µg µ Ooo230,4 21,63600,06252 cnp asocc

• Variabile quantitativa discreta:
  • Diagramma per ordinata

mipiXi ono io oro orononea io oa 0,08 ii ii is aae

• Variabile quantitativa continua:
  • Istogramma osservato

finoxifi.fiXiiimiXi pi ai.xi.n opso arianoi 2.8 ftp.ff.fip ppnon sonmago io a60 oasiass140,28 Xio io ho cofi è la densità di frequenza detta così perché esprime quanto è concentrata la frequenza all’interno della classe.

Proprietà funzione di densità

• fisok
• Cioè l’area sottostante la funzione di densità è pari a 1fE rfideiverificare la densitàdidelladi funzioneesempio normalizzazionecondizionenexusai ÈÌÈdx di8neil caos Iei Iaiaora iaostais0,2 q.ir14iae.zoo.z.io qos.is aosqq.on.xa.i.r.irag

La proporzione è un intervallo generico di valori della variabile. = somma di tutte le frequenze relative all’interno dell’intervallo.

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione F(x) fa riferimento solo alle variabili numeriche. Essa è la funzione che associa ad ogni valore la somma delle frequenze accumulate da a.

Dunque, la funzione di ripartizione è definita su tutto l’asse dei reali.

È necessario, per il calcolo della funzione di ripartizione, che il supporto della variabile sia ordinato in modo crescente.

Def: F(x) è una funzione definita nell’insieme dei Reali che associa ad ogni elemento di questo insieme un numero tra 0 e 1. La funzione di ripartizione è la proporzione dei casi più piccoli o al massimo uguali al soggetto considerato.

La funzione di ripartizione F(x) di variabile discrete è una funzione a gradini e presenta dei salti in corrispondenza dei valori cui è associata frequenza relativa non nulla.

Dall’esempio sottostante si vede che F(x) è calcolata per intervalli. Nel primo intervalli vale sempre F(x)=0 mentre nell’ultimo intervallo F(x)=1. Ue Fui fetidefunziomedinipartizionedivariabili

In generale per le variabili continue su dustinguono 2 casi:

• Se i dati elementari sono noti allora si va ad utilizzare lo stesso medoto valido per le variabili discrete;
• Se la distribuzione di frequenza è nota ma i dati elementari non sono noti si utilizza l’integrale.

alcasocasoB 4ottobre

Proprietà funzione di ripartizione

PROPRIETÀ FUNZIONE DI RIPARTIZIONE: È

• F(x) è monotona non crescente Finishedexxsedimostrazione Patriarchipnlxsxd.pnlxc.nlFini IHai èsempre
• him fine lim 1Fino eXiao r 00
• Continuità da destra: hm Fui haiat Nota: se la variabile è continua allora F(x) è continua anche da sinistra se la variabile è discreta allora si può verificare la continuità solo da destra.
• Legame con le frequenze relative: FIXFiniPhil XiX discreta Pala ti findX continua b FiaFibe fai

Esempio iartso noaix ones aa a_111 ha i l Il biasPalacio FigiRichiesta flute6,5 0,475Xi Xiii Fuit fi

• Per Fuit devixii valeix fi.fichewI iRenawennata coeficienteangolarePositivamenteQuasi

Quantile e indici di posizione

Il quantile è una costante indicata con Xp 0C poi.

Il quantile divide la distribuzione in 2 sottoinsiemi: nel primo sottoinsieme c’è una frequenza di casi pari a mentre P nel secondo sottoinsieme c’è una frequenza dei casi pari a 1pP pi asp.o.sx.is 2se sottoinsiemiesempio asio anp.orsxo.rs ase sottoinsiemi 1 0,750.25

Dati grezzi → Distribuzione di frequenza → Indice di posizione

L’indice di posizione è una sorta di compressione totale cioè un unico valore che esprime la totalità dei dati.

Argomenti:

• Medie potenziate
• Media aritmetica
• Media geometrica
• Media armonica
• Media quadratica...
• Medie Lasche:
• Quantili (mediana, quartili)
• Moda
• Momenti della variabile
• Metodo di Chisini per la scelta della media potenziata

La media è una costante che ha lo scopo di sintetizzare la distribuzione di un fenomeno e deve anche rispondere a una Indicidiposizionenserie di vincoli imposti dalla natura del problema.

Esistono 2 approcci per la determinazione della media:

1. Metodo del minimo danno;
2. Metodo di Chisini.

Metodo del minimo danno

Il metodo del minimo danno si occupa di determinare la costante di sintesi c in modo tale che la perdita di informazioni (cioè il danno) sia la più piccola possibile.

Esempio: X={occ, occ, occ, occ, occ}

c = occ in questo caso c’è sempre coincidenza tra le 5 osservazioni e la c quindi la costante c riassume perfettamente il problema. Si dice che la sintesi è avvenuta in modo perfetto senza perdita di informazioni.

X={occ, occ, occ, occ, dis}

c = occ in questo caso non si ha una sintesi perfetta.

DANNO = g (Xi, c) 2 casi:

• DANNO = g (Xi, c) = 0 se X’i=c Se gh'idanno c
• DANNO = g (Xi, c)>0 se X’i≠ c totale

X= {occ, occ, occ, dis, cnp, cnp, cnp, cnp}

esempiorimino S= g(occ, c)+ g(occ, c)+ g(occ, c)+ g(dis, c)+ g(cnp, c)+ g(cnp, c) +g(cnp, c) +g(cnp, c)=3 = 3g(occ, c)+ 1g(dis, c)+ 4g(cnp, c)µ 4ne e genericanosauia.aeuavaaaa.eeoperazione xsn nS'È Ègivi giri miccquindi È ÈS glxi.cl qui pic cioè invece che minimizzare su c si preferisce usare S’2casi ci iigiri esei gcxi.ci ti eso se

A questo punto è necessario esplicitare il valore del danno. Esistono vari metodi.

Primo metodo per esplicitare il danno

Primo metodo per esplicitare il danno (segue: moda) 9ottobre giù iio sec egiri vi ee sec 1esempio ISoccasi 1 o agis.aisdisseoraS'egiocose 0,50diso.is c isis 0,37 0,87casogicnp.usriposo i 1 oasoS'egiococnet.asa aiscup gldis.cnai.qis.io oa3ae se a dannatominorevalore

Nota: ogni S’ è dato dalla differenza tra la somma di tutte le frequenze relative (=1) e la frequenza della modalità che è stata scelta come costante c: ÈS 1pise ci PoXp Funzionedannoglobale ii siS’ è minima quando si sceglie la costante c con la frequenza relativa massima a pièmaxminimo MODAModa: variabili qualitative

La moda è il valore della X tale che la sua frequenza relativa è massima.

Essa è l’unica costante che può essere calcolata per le variabili qualitative.

Difetti:

1. Ci possono essere distribuzioni con più mode;
2. Ci possono essere distribuzioni senza moda perché la moda corrisponde a tutto il supporto.

Moda: variabili continue

La moda di una variabile continua è la classe che ha la densità di frequenza più alta detta classe modale.

Moda: variabili teoriche

La moda di una variabile teorica è il massimo della funzione di densità f(x). È dunque necessario studiare la funzione f(x).

Metodo grafico: disegnare il grafico della f(x) e vedere dov’è il massimo.

Metodo analitico:

1. Calcolare la derivata prima cioè f’(x)
2. Risolvere f’(x)>0

Secondo metodo per esplicitare il danno

Secondo metodo per esplicitare il danno (solo variabili numeriche) (segue: mediana) ctigiri oc se rZhiS ci pii i4giri Xic ti eseIn questo secondo metodo il danno viene calcolato in modo proporzionale.

Per semplificare le derivate viene tolto il valore assoluto: ti e ti eselti.cl riseseXi cLl In XxS'e d Hixi Èpic È piPKlxi.ci.pe c c pi0c.pificxi.pi pipiu eri eeun e'unnumero ac numero numero numeroaeriuataaimmumoo.ioMMII Èfierio oai cderivata numero f Di0,5Fccpi medianaQuantileaspipongostudio Dellai segni derivataprimaÈ.fi sEpi cose as s'aEpi seise soxixvia asEpi sei sse aena na

Mediana

La mediana è il valore del supporto che taglia a metà la distribuzione.

Essa è un quantile.

La mediana è il primo valore del supporto per cui la funzione di distribuzione è pari o superiore a 0.5.

Def: sia X una variabile numerica il cui supporto è ordinato in maniera crescente. La mediana della variabile X è il più piccolo valore del supporto tale che la funzione di ripartizione in quel punto è maggiore o uguale a 0,5.

Analiticamente si ha che: sx fintoeè xi 5minmediana

Mediana: variabili continue

Procedimento:

1. Individuare la classe dove cade la mediana
2. F(x)=0.5 cioè eguagliare la funzione di ripartizione a 0.5

Nota: tale procedimento vale per tutti i quantili nel caso di variabili continue cioè bisogna eguagliare la funzione di ripartizione con il valore della frequenza cumulata espressa dal quantile stesso.

Mediana: variabili discrete

caso: infiniti valori di mediana I 4 521 c=mediana= 3 ma in generale vale che la mediana è qualsiasi infinito valore tra 3 eit 4 cioè [3,4) perché in tale intervallo vale F(x)=0,5 nota: in questi casi conviene sempre scegliere il valore più piccolo di mediana.

caso: non esiste la mediana Xiiipi condizionenormalizzazione1ftpororor ororf isisiasis'cos'io1 1ti primavoltasputa3 tassoanchedoveede èminimo3e mediana

Terzo metodo per esplicitare il danno

Terzo metodo per esplicitare il danno (segue media aritmetica) giti c o ti ese tigiri ec so se ÈSci Ivi.clIiigiri pigixi.cic pidaIfki pitD pic2 2 flxi cII aio pi.coÈ poixi.pi.cic'i.fm.pe Ehiaritmeticamedia µ

Media aritmetica

Media aritmetica

• È la media potenziata di ordine S=1; mi m
• È il valore atteso (expected) della variabile. Eni

Calcolo media aritmetica noti i dati grezzi taxiµ 24 ne4,51112,2in 2esempio somma

Calcolo media aritmetica nota la distribuzione di frequenza miXi È tipi vinixinipixiµ esempio 33 asori E 2,7µ ioos oa o82 or4 ore ios eoaiv io zia

Calcolo della media aritmetica di variabili teoriche fia

Inizialmente si svolge un calcolo approssimato che poi viene raffinato. Ir1111)

1. Divido il supporto in classi contigue h=numero di classi i