appunti Scienza delle Costruzioni 1 (parte 2)

Lezione video: Pressoflessione

Lo ricordiamo unica forza applicata nel "punto di pressione".

d=0     l=0

E = 0    nel cilindro

θ = a t + b r             ↓ θ(r)

e           θ(0) a: N - b ra b: J4 (U_f - Nr_a)

Significato statico (fisico(?)):      a = θ(0)      b = grado

Traslazione nell'origine punto nello spazio in cui σ cresce ➟ Significato cinematico?

Nota T

Nota T = (   ( 0  0  0     0  0  0  )   ( 0  θ  θ_nota))

Abbiamo risolto il problema in termini di tensioni, ➟ vogliamo risolverlo c.a. le deformazioni e quindi risolvendo usando le equazioni         symmetric         E misurando gli spostamenti.

Relazioni costitutive

Usando relazioni costitutive

E = (  -Ⴥ            /y    0    0                -Ⴥ'/y                  U₁, U₂, U₃/y  , ) di derivata non uguale a 1.

Ricordiamo U = [U₁, U₂, U ]

Nomi diversi

Ogni volta che abbiamo un grandezza □ scriviamo □₁ = (ξ₁,) ➟ ( U₁,      (U₂,      (U₃)

Lezione video: Pressoflessione

Lo ricordiamo

d = 0   l = 0 ε = 0   nel cerchio

θ = a + b ⋅ r

σ(r)

a = N ⋅ b ⋅ r_α

b = J_r⁴(V_f - Nr_α)

Significato statico (fisico(?))

a = θ(0) b = grado

Significato cinematico

Nota T = 0 0 0 0 0 θ 0 0 θ

Abbiamo risolto il problema in termini di tensioni, → vogliamo risolverlo nelle E deformazioni, e quindi risolvendo E   esprimendo "degli spostamenti".

Usando E

Usando

• E = −νθ/y   0   0
• 0   − νθ/y
• θ/y   θ/y

(U₁, U_1,2 + U_2,i   U_1,3 + U_3,2

U_2,2   U_2,3

U_3,2   U_3,3

Ricordiamo

u = UVW

U_i = [U₁, U₂, U₃] = [u₁, U₂, W]

Ogni volta che abbiamo una grandezza → (*)

• ε₁
• U_1,1
• U_2,2
• U_3,3

Possiamo riscrivere:

w' = \(\bar{\sigma}\)/y

v' + gradw = 0

Symgrad v = - \(\nu\) σ₁₁/y

Nota \(\bar{\sigma}\): se risolviamo queste equazioni otteniamo:

il campo di spostamento assiale w

lo spostamento trasversale v

\(\bar{\sigma}\) = a±b·z

Ponendo b = 0

Ponendo b = 0

w' = \(\bar{\sigma}\)/y = a/y

v' + gradw = 0

SymGrad v = \(\nu\) a σ₁₁/y

Risolvendo:

W(r,z) = a/y z

e sostituendo a ②

v'(r,z) = - gradw = - grad\((a/y z)\) = 0 ⇒ v(r,z) = \(\hat{v}(r)\)

che sostituisco nella ③

SymGrad \(\hat{v}(r)\) = - \(\nu\) a σ₁₁/y

poiché \(\hat{v}(r)\): - \(\nu\) a σ₁₁/y

Soluzioni:

• W(r,z) = a/y z
• V(r,z) = - \(\nu\) a σ₁₁/y

Disegno e allungamento

Disegno:

\(\epsilon_0\)

\(-\nu \epsilon_z\)

\(\epsilon_1\)

\(L\) nuova lunghezza

l = lₒ + a lₒ

allungamento del cilindro = _{L - L} / L = a / γ_{Spostamento Trasversale}

ν = - ψ ar / γ

Contrazione della sezione per effetto Poisson

Cilindro si allunga ma sezione si contrae

Significato "cinematico" delle soluzioni

Ponendo Ψ_{a = 0}

ponendo Ψ _{a = 0}

W' = b γ r

ν' + grad w = 0

SymGradν = - ψ b r I / γ

Risolviamo

w (r, z) = b r - _{r z} / γ

ν' = - Grad w = - Grad ( b r - _zγ

⇒ ν (r, z) = - _bz² / 2γ + ƒ(r)

SymGradν = - ψ b r I / γ

Soluzione: ƒ(r) = ν ( r ⊗ r - _{r ⊗ r} ) b / γ

Esercizio (A casa) Verificare che SymGradν = - ψ b r I / γ

Soluzioni

• W (r, z) = b r - _{r z} / γ
• ν(r, z) = - _{b z²} / 2γ + ψ ( r ⊗ r - _{r ⊗ r}) b / γ

Disegno e curvatura delle fibre medie

disegno

X = 0

bΖ = L

ν ≠ 0

PT 1 (indipendente da l)

Funzione parabolica quadratica

in ζ

Notare che se carico

q" = -b_z/y    =>    q" = -b/y

"curvatura delle fibre medie"

e la direzione di inflessione