Appunti rielaborati per il corso di Fisica

Corso di Fisica

Ottobre 2021 - Dicembre 2021

Indice

1 Introduzione 3
2 Calcolo vettoriale 5
3 Meccanica 10
3.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Energia 20
4.1 Lavoro e Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Energia Meccanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Urti 23
6 Moti Periodici 25
6.1 Moti Rotatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.2 Moto Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7 I Fluidi 32
7.1 Fluidi Ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2 Fluidi Reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.3 Fenomeni Superficiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8 Termodinamica 50
8.1 Grandezze Termodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.2 Comportamento Microscopico dei Gas . . . . . . . . . . . . . . 56
8.3 Principi della Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9 Soluzioni 65
9.1 Diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10 Fenomeni Elettrici 69
10.1 Elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
10.2 Circuiti Elettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
11 Magnetismo 82
11.1 Fenomeni Magnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.2 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12 Onde 88
12.1 Caratteristiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12.2 Fenomeni Acustici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
12.3 Onde Periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.4 Onde Acustiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
13 Ottica 96
13.1 Ottica Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
13.2 Lenti Sottili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
13.3 Ottica Ondulatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1 Introduzione

Una grandezza fisica è una proprietà di un fenomeno che può essere descritta quantitativamente da un numero e qualitativamente da un’unità di misura.

Per la descrizione quantitativa dobbiamo procedere con una misura, che può essere di due tipi:

• Diretta: quando si mette direttamente a confronto la grandezza fisica in questione con un campione.
• Indiretta: quando si misura la grandezza fisica in questione mediante una funzione che la lega al campione.

Inoltre, per facilitare la comprensione dei fenomeni si è pensato di ideare il Sistema internazionale (S.I.), in modo tale da definire uno standard internazionale di unità di misura base.

Tabella 1: unità di misura fondamentali del S.I.

Da esse si possono ricavare anche altre grandezze fisiche dette derivate. Nell’analisi di un fenomeno è sempre utile svolgere l’analisi dimensionale, che consiste nell’individuare le grandezze fisiche in questione e ricondurle a quelle fondamentali.

Teoria dell’errore

La teoria dell’errore è una branca della metrologia che si occupa della classificazione degli errori durante una misura di una proprietà fisica, ovvero quanto la misura ottenuta si discosta dal reale valore.

Durante una misurazione possono presentarsi due tipi di errori:

• Sistematici: sono dovuti a un errore nel procedimento oppure a un difetto nello strumento. Sono difficilmente eliminabili perché spesso riguardano le 4 caratteristiche strumentali, che sono:

1. Accuratezza: è la capacità di produrre una misura quanto più fedele al valore reale.
2. Precisione: è la capacità di riprodurre, a parità di condizioni, 2 misure identiche.
3. Sensibilità: rappresenta il valore minimo misurabile dallo strumento.
4. Risoluzione: rappresenta la minima differenza misurabile tra due valori.

• Accidentali: sono errori causati da fenomeni incontrollabili e casuali che influenzano negativamente la corretta raccolta dei dati.

Se consideriamo uno strumento di misura pressoché perfetto, l’unico errore sistematico che possiamo considerare è la risoluzione dello stesso. Invece per diminuire l’incidenza degli errori casuali dobbiamo aumentare il numero di misurazioni. Per calcolare l’errore nel caso di più misure dobbiamo utilizzare la media e la deviazione standard così espresse:

(1) Media / x̄ / M(x_i) = (x₁ + x₂ + · · · + x_n) / n = 1 / n ∑_i=1ⁿ x_i

(2) Deviazione Standard / DS(x_i) / σ = √(1 / n ∑_i=1ⁿ (x_i − x̄)²)

Per cui l’errore sarebbe così espresso:

(3) x = x̄ ± σ

Per fare delle valutazioni sugli errori compiuti dobbiamo considerarne di 3 tipi:

• Errore assoluto = Incertezza misura.
• Errore relativo = Errore assoluto / misura.
• Errore percentuale = Errore relativo · 100.

Cifre significative

Le cifre significative sono i dati numerici che contribuiscono alla corretta descrizione quantitativa del fenomeno fisico e dipendono dalla sensibilità dello strumento.

Per identificarle sono state introdotte alcune regole:

1. La cifra più significativa è il primo numero da sinistra.
2. La cifra meno significativa è l’ultima cifra a sinistra diverso da zero.
3. Gli zeri a sinistra della cifra più significativa non sono significativi.
4. In un numero decimale, gli zeri a destra della cifra meno significativa sono significativi.
5. In un numero intero, gli zeri alla fine del numero potrebbero essere significativi.
6. Nell’Addizione/Sottrazione il risultato deve avere lo stesso numero di decimali del numero che ne ha di meno.
7. Nel Prodotto/Quoziente il risultato avrà lo stesso numero di cifre significative di quello che ne ha di meno.

Un metodo per evitare equivoci riguardanti le cifre significative è l’utilizzo della notazione scientifica, ovvero quando un numero viene espresso come il prodotto di un numero (con una sola cifra prima della virgola) per una potenza di 10. È utile per compattare numeri molto grandi o molto piccoli e per facilitare le operazioni con essi. Inoltre la cifra che compare come esponente di 10 determina anche l’ordine di grandezza della misura.

2 Calcolo vettoriale

Esistono grandezze di due tipi:

• Scalari: grandezze descrivibili in metodo esaustivo mediante la sola unità di misura (massa, tempo, temperatura).
• Vettoriali: grandezze descrivibili mediante dei vettori (velocità, forza, accelerazione).

Il vettore è uno strumento matematico essenziale per la comprensione delle grandezze vettoriali ed è definito come un segmento orientato, individuato da 4 elementi che sono:

1. Direzione: retta parallela o coincidente a quella cui appartiene il vettore.
2. Verso: 2 possibilità indicate dalla freccia.
3. Punto di applicazione: punto iniziale.
4. Intensità/Modulo: lunghezza del vettore, sempre positiva.

Nella famiglia dei vettori ne esistono due che sono di particolare importanza: il vettore nullo, che è un vettore senza direzione e verso, con modulo uguale a 0, e il versore, ovvero un vettore con intensità uguale a uno.

Se inseriamo il vettore in un sistema di riferimento di assi cartesiani, può essere definito da tre versori:

1. ī → per l’asse x.
2. j̄ → per l’asse y.
3. k̄ → per l’asse z.

I versori ci permettono inoltre di considerare i vettori non più solo come oggetti geometrici, ma anche nella loro forma algebrica.

(4) v̄ = (X_finale, Y_finale, Z_finale) Coordinate cartesiane; v̄ = (V_x, V_y, V_z) Componenti di v̄; V_x ī + V_y j̄ + V_z k̄ Forma algebrica.

Somma di vettori

La somma di due vettori può essere definita in due modi:

1. Somma geometrica:

• Vettori generici: (5) V · V → V; (6) (~u, ~v) → | ~u + ~v = w~. Uso la regola del parallelogramma. (7) |~u + ~v| ≤ |~u| + |~v|.

Figura 1: esempio di Regola del Parallelogramma.

• Vettori paralleli.

Figura 2: somma di Vettori Paralleli.

(8) |~u + ~v| = |~u| + |~v|.

2. Somma algebrica:

Dati due vettori ū e v̄, la somma algebrica dei due è data dalla somma delle componenti.

(9) ū + v̄ = (u_x + v_x)ī + (u_y + v_y)j̄ + (u_z + v_z)k̄

Inoltre, la somma di vettori presenta molte proprietà:

1. Commutativa → ū + v̄ = v̄ + ū.
2. Associativa → ū + (v̄ + ū) = v̄ + (ū + ū).
3. ∀u ∈ R, ∃0̄ | ū + 0̄ = ū.
4. ∃ −v̄ opposto di v̄ | v̄ + (−v̄) = 0̄.

−v̄ è un vettore che ha modulo e direzione uguali a v̄, ma verso opposto.

Prodotto di uno scalare per un vettore

Anche il prodotto di un vettore per uno scalare può essere definito in due modi:

1. Prodotto geometrico:

(10) |R · V → V

(11) (k, v̄) → | kv̄

Moltiplicando un vettore per uno scalare otteniamo quindi un vettore che ha:

• Direzione: uguale a quella di partenza.
• Modulo: moltiplicato di un fattore |k|.
• Verso: k > 0 ugual verso; k < 0 verso opposto.

2. Prodotto algebrico:

Dato il vettore v̄ e lo scalare k, il prodotto tra i due è un vettore che ha per componenti il prodotto delle componenti di v̄ moltiplicate per k.

(12) v̄ · k = (u_x · k)ī + (u_y · k) j̄ + (u_z · k)k̄

Questo tipo di operazione presenta le seguenti proprietà:

1. Distributiva.

• Distributiva rispetto a somma di vettori → k(ū + v̄) = kū + kv̄.
• Distributiva rispetto a somma di scalari → (k + h)v̄ = kv̄ + hv̄.

2. Associativa → k · h · v̄ = h(k · v̄) = k(h · v̄) = v̄(k · h).
3. v̄ · 1 = v̄.
4. v̄ · 0̄ = 0̄.

Prodotto scalare/interno

Possiamo intendere questa operazione in due modi:

1. Prodotto scalare geometrico:

(13) • → |R V V

(14) (v̄, ū) → v̄ • ū

Dal prodotto scalare di due vettori otteniamo un numero, così espresso:

(15) v̄ • ū = |ū| · |v̄| · cos α

Sapendo che α è l’angolo compreso tra i due vettori e che può variare tra 0 e π, possiamo osservare che:

(16) v̄ • ū = 0 ⇔ cos α = 0 ⇔ α = π / 2 ⇔ v̄ ⊥ ū

2. Prodotto scalare algebrico:

Dati due vettori v̄ e ū, il loro prodotto scalare è un numero ottenuto sommando il prodotto delle singole componenti.

(17) v̄ • ū = v_x · u_x + v_y · u_y + v_z · u_z

Prodotto vettoriale/esterno

Anche questa operazione può essere intesa come:

1. Prodotto vettoriale geometrico:

(18) × → V V V

(19) (v̄, ū) → | v̄ × ū = w̄

Dal prodotto vettoriale otteniamo un vettore che ha:

• Direzione: perpendicolare al piano individuato da ū e v̄.
• Modulo: |ū| · |v̄| · sin α.
• Verso: segue la regola della mano destra.

Figura 3: esempio della Regola della Mano Destra.

Sapendo che α è l’angolo compreso tra i due vettori e che può variare tra 0 e π, possiamo osservare che:

(20) |v̄ × ū| = 0 ⇔ sin α = 0 ⇔ α = 0 ∨ α = π ⇔ v̄ ∥ ū

2. Prodotto vettoriale algebrico:

Dati due vettori v̄ e ū, il loro prodotto scalare si ottiene risolvendo il determinante della seguente matrice.

(21) | ī j̄ k̄ ; v_x v_y v_z ; u_x u_y u_z |

Questa operazione presenta una sola proprietà:

1. Anticommutativa: v̄ × ū = −(ū × v̄).

3 Meccanica

La meccanica è quella branca della fisica che si occupa dello studio del moto e dell’equilibrio dei corpi. Scendendo nello specifico, essa si divide in:

• Cinematica: studia il moto dei corpi indipendentemente dalle cause.
• Dinamica: studia il moto dei corpi in relazione alle cause che lo producono.
• Statica: studia l’equilibrio dei corpi sottoposti a forze.

In questa sezione approfondiremo, però, solamente le prime due.

3.1 Cinematica

Nella descrizione del moto di un corpo bisogna per prima cosa definire un sistema di riferimento, ovvero un sistema di assi cartesiani in cui può essere tradotto matematicamente il moto di un oggetto. In cinematica, per semplicità, l’oggetto non viene considerato nella sua complessità, ma considerando un sistema di riferimento di dimensioni molto maggiori rispetto a quelle dell’oggetto, viene approssimato a un punto materiale.

Altre definizioni essenziali per lo studio di un moto sono:

• Traiettoria: è la curva che definisce l’insieme dei punti occupati dall’oggetto durante il moto.
• Legge oraria: è una funzione del tipo x(t), che definisce come varia la posizione nel tempo.
• Distanza: è una quantità scalare sempre positiva che definisce la lunghezza totale dello spostamento.

Vettori in cinematica

Per definire il moto di un oggetto, soprattutto in due dimensioni, è fondamentale l’utilizzo dei vettori e l’introduzione di grandezze vettoriali in grado di tradurlo graficamente e matematicamente. Alcune di esse sono:

• Posizione: questo vettore è definito da una coppia di coordinate cartesiane e stabilisce la posizione dell’oggetto rispetto al centro degli assi. Matematicamente è definito come: (22) ~r : (x_i, y_i).

Figura 4: vettore Posizione.

• Spostamento: questo vettore stabilisce lo spostamento dell’oggetto da una posizione a un’altra. Matematicamente è descritto come la differenza di due vettori posizione: (23) ~s = Δ~r = ~r_P2 − ~r_P1.

Figura 5: vettore Spostamento.

• Velocità: è una misura della rapidità con cui avviene il moto. Si possono, però, riscontrare due tipi di velocità:

1. Velocità media: è un vettore che ha lo stesso verso e la stessa direzione del vettore spostamento e fornisce delle informazioni non su tutta la durata del moto, ma su due istanti precisi. Matematicamente è definita come: (24) ~v_m = Δ~r / Δt = (~r₂ − ~r₁) / (t₂ − t₁).

Figura 6: velocità Media.

2. Velocità istantanea: è un vettore che è tangente alla traiettoria in ogni istante e dà indicazioni sulla velocità in quel preciso momento. Matematicamente è descritta come: (25) ~v_i = lim_Δt→0 Δ~r / Δt = dr / dt.

Figura 7: velocità Istantanea.

• Accelerazione: è un indicatore di quanto velocemente varia la velocità e, analogamente a essa, può essere intesa come:

1. Accelerazione media: è un vettore che ha la stessa direzione e verso del vettore velocità ed esprime la variazione della velocità tra due momenti specifici. Essa può essere espressa come: (26) ~a_m = Δ~v / Δt = (~v₂ − ~v₁) / (t₂ − t₁).

Figura 8: accelerazione Media.

2. Accelerazione istantanea: è un vettore tangente alla velocità in ogni punto e descrive la variazione della velocità in un istante ben preciso. Essa è definita come: (27) ~a_i = lim_Δt→0 Δ~v / Δt = dv / dt.

Figura 9: accelerazione Istantanea.

Tipologie di moti

Sfruttando lo studio vettoriale del paragrafo precedente, siamo ora in grado di analizzare alcuni tra i più semplici tipi di moti, tra cui:

• Moto rettilineo uniforme: è un moto le cui peculiarità sono quelle di possedere una traiettoria rettilinea e una velocità istantanea pressoché costante, quindi un’accelerazione nulla. La sua legge oraria può essere espressa matematicamente come: (28) x = x₀ + v_0x · t; y = y₀ + v_0y · t; oppure ~r = ~r₀ + ~v₀ · t.
• Moto rettilineo uniformemente accelerato: è un moto le cui peculiarità sono di possedere una traiettoria rettilinea e un’accelerazione istantanea pressoché costante. La sua legge oraria è definita come: (29) x = x₀ + v_0x · t + 1/2 · a_x · t²; v_x = v_0x + a_x · t; y = y₀ + v_0y · t + 1/2 · a_y · t²; v_y = v_0y + a_y · t; oppure ~r = ~r₀ + ~v₀ · t + 1/2 · ~a · t²; ~v = ~v₀ + ~a · t.