Appunti Propulsione aerospaziale

Richiami di aerodinamica comprimibile

Fluidi e gas ideali

Per rappresentare le fasi di una sostanza si usa il diagramma di fase, il gas ideale vale per alte temperature e basse pressioni.

Legge di gas ideale

\[\frac{V}{n} = \frac{R \, T}{P}\]

8.3 J/mol K

R = 8.1 K

Deriva dalla legge di Boyle: V ∝ \[\frac{1}{P}\] \[(T, n)\]

V ∝ T \[(P, n)\]

V ∝ n \[(T, P)\]

Lo stesso volume dello stesso gas contiene lo stesso numero di moli con \[m = n \cdot \omega\]

Posso scrivere che PV = nRT = \[\frac{m}{\omega}\] R T = m R_g T_g

P = \[\varepsilon\] eRT

Si definisce \[Z = \frac{P}{eRT}\]

Fattore di comprimibilità misura il discostamento da 1

Gas caloricamente perfetto: C_p, C_v costanti

Gas termodinamicamente perfetto: C_p, C_v funzione di T

Gas reale: C_p, C_v (T, P) per cui PV ≠ nRT

Vale PV = nRT

Energia interna e calori specifici

Conoscendo l'energia interna trovo le definizioni di calori specifici:

u = u(T, v) con v = 1/ρ=> du = (∂u/∂T)_v dT + (∂u/∂v)_T dv

dW = -pdv=> dq + dW = dq - pdv=> dq = (∂u/∂T)_v dT = c_v dT

U = 3/2 nRT = 3/2 mRT

Attraverso l'entalpia specifica:

dh = du + pdv + vdp = dq + vdp

Richiami di aerodinamica Compressibile

Trasformazioni isentropiche, velocità del suono, moto 1-D

Gas e Termodinamica

Le leggi dei gas mettono in relazione grandezze estensive e intensive.

Sapendo dh = du + RdT => C_p = C_v + R

C_p > C_v perché un sistema per rimanere a p costante compie lavoro verso l'esterno, quando assorbe più energia per unità di grado K.

Trasformazioni isentropiche

du = dq - pdv

Trasformazione reversibile: ds = dq/T=> du = Tds - pd(1/e)=> C_v dT = Tds - p d(1/e)=> ds = C_v dT/T + ρRd(1/e) = C_v dT/T - R de/e

L'equazione di stato si può scrivere in forma differenziale: dp/ρ = dT/T + de/e

Da cui ds = C_v dp/p - C_v ω de/e - R de/e=> ds = C_v (dp/p - _γ de/e)

Definiamo il processo isentropico ds = 0, quindi dp/p = -de/e

Integro: ln p = g ln e + c = ln c e^g=> p e^g = c^g (oppure p α e^1-d) quindi pV^r = cost

Processi isotermici

Nel piano p-V si descrivono con pV = cost

Tds = C_p dp/p - C_p de/e = -C_p RT dα(P/RT) = C_p dT/T=> dT/ds = T/C_p

Disegno nel piano (T,s)

Importante per i cicli turbogas

Velocità del suono

Considero un'onda di compressione (processo isentropico) nel SDR del fluido e dell'onda

P/e | Pr/e | u = 0

P/dp / e+de | p+dP / e+de

P+dp / e+de | | P / e

Considero un VC intorno all'onda e esprimo la conservazione della massa:

ṁ = e Q = (e+de)(a-dv)= e Q - e dv + e de => ade = edv

Data la conservazione della quantità di moto pongo la somma delle forze esterne e di pressione sul VC pari al flusso della quantità di moto attraverso SVC

ρ · (r + dp) (a) = (r a) a - (r a) (a - dv)=>          dp = ra dv

Unendo le due condizioni si ottiene aρa = _dp/_de=>                      a² = (_dp/_de)_s

Per un gas ideale in processo isentropico quindi possiamo scrivere            a = √ƒ RT

Fluido incomprimibile

Non subisce variazioni di densità a causa di variazioni di pressione il che significa a = ( de/ dp) => ∞

Numero di Mach

Dato un campo convettivo si definisce il numero di Mach M = _u/_a (per fluido incomprimibile M => 0)

Le onde acustiche viaggiano per M elevato                                                 M < 0,3

Quasi 1-D formulation

Considero un volume di controllo in ipotesi stazionaria.

Conservazione della massa

(_IN) ρuA + dṁ_IN = (ρ + dρ)(u + du)(A + dA) (_OUT)=> d(ρuA) = dṁ

Conservazione della quantità di moto

(_OUT) (ρuA + dṁ_OUT)(u + du) - (ρuA)_IN