Appunti Probabilità parte 4

Variabili doppie discrete

Definizione

La coppia di v.a. (X,Y) è detta variabile doppia discreta se può assumere un numero finito di punti di R² o una infinità numerabile di punti di R².

Densità discreta congiunta

Definizione: P(x,y) = P((X=x) ∩ (Y=y))

Proprietà

1. P(x,y) è compresa tra 0 e 1 ∀ (x,y)∈R²
2. P(x,y) = 0 quasi ovunque, cioè P(x,y) = 0 in tutti i punti di R² tranne che su un insieme S costituito da un numero finito o da una infinita numerabile di punti
3. ∑_{(x,y) ∈ S} P(x,y) = 1

Esempio

P(x,y) = ¹/₉ se (x,y) ∈ {(0,0), (1,0), (0,1), (0,-1)}

                                                      ²/₉ se (x,y) = (1,1)

                                                      ³/₉ se (x,y) = (1,-1)

                                                                                0 altrove

Supporto

Definizione: P(X,Y) = P{(X=x) ∩ (Y=y)}

Proprietà

• P(X,Y) è compreso tra 0 e 1 ∀ (X,Y) ∈ R²
• P(X,Y) = 0 quasi ovunque, cioè P(X,Y) = 0 in tutti i punti di R² tranne che su un insieme S costituito da un numero finito o da una infinita numerabile di punti
• Σ_(x,y)∈S P(X,Y) = 1

Esempio

P(X,Y) = ¹/₉ (X,Y) ∈ {(0,0), (1,0), (0,1), (0,-1)}

                                              ²/₉ (X,Y) = (1,1)

                                              ³/₉ (X,Y) = (1,-1)

                                                                    0 altrove

Distribuzioni marginali

Trovare le distribuzioni marginali della X e della Y:

• I_m:X = {0, 1}
• P(X = 0) = p(0,0) + p(0,1) = 2/3; p(1,3) = 1/3 = 1/3
• P(X = 1) = p(1,0) + p(1,1) = p(1,2) = 1/3
• I_m:Y = {1, 2, 0}
• P(Y = 0) = 1/3 = 1/9 = 2/9
• P(Y = 2) = 1/3 = 1/9 = 2/9
• P(Y = 1) = 3/9 = 3/9

Indipendenza

Ricorda che A e B sono indipendenti: P(A ∩ B) = p(A) · p(B).

Definizione: Due v.a. discrete X e Y sono stocasticamente indipendenti se: P(X = x) · P(Y = y) = P(X, y) ∀ (x,y) ∈ R.

Cioè, la congiunta è uguale al prodotto delle marginali.

Verifica dell'indipendenza

Nell'esempio di prima, X e Y sono indipendenti?

Prendo i (x,y) = (0,0):

P(x,y,o) ≠ P(X = o) · P(Y = o)

1/3 ≠ 3/3

X e Y sono dipendenti.

Distribuzione condizionata

Supponiamo di sapere Y = -1; trovare la distribuzione di X condizionata a Y = -1:

P(X = 0 | Y = -1) = P(x,y = 0 | Y = -1) = P(Y = :,1) = P(X|Y) = P(x,1) = 1/4

P(X = 1 | Y = -1) = P(X = 1) · P(X = 0) = P(x,y,0) = P(X = 0 | Y = :) = 1/4

P(X | Y = -1) = 3/4 = x = 4pX| Y (x = 1,) = 3/4 | Y = x = 1/4

P(X | Y = 1) = p | p(X | x = :) = 1/4 | XE (X | Y = -1) = 3/4 + 4 | 1/4 = 3/4

Valore atteso condizionato

Esempio:

P(x, y) = 1/12  (x, y) = (1,0)

     1/10  (x, y) ∈ {(1,1),(2,0),(0,1),(1,2),(0,2)}

     0   altrove

Calcolo delle distribuzioni marginali

1. Trovare le distribuzioni marginali di X e Y:

• Im _X = {0, 1, 2}
• P(X = 0) = 1/10 + 1/10 + 2/10 = 4/10
• P(X = 1) = 1/12 + 1/10 = 7/10
• P(X = 2) = 1/10⇒ P₁(x) = ∑ P (x, y) somma lungo la colonna
• Im _Y = {0, 1, 2}
• P(Y = 0) = 1/12 + 1/10 + 1/10 = 3/10
• P(Y = 1) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10
• P(Y = 2) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 4/10⇒ P_Y(y) = ∑ P(x, y) somma lungo la riga

Distribuzione condizionata

2. Trovare la distribuzione di Y condizionata a X=1:

• P(Y = 0 | X = 1) = P(X = 1 ∩ Y = 0) / P(X = 1) = 1/10 / 7/10 = 1/7
• P(Y = 1 | X = 1) = P(X = 1 ∩ Y = 1) / P(X = 1) = 1/12 / 7/10 = 1/7
• P(Y = 2 | X = 1) = P(X = 1 ∩ Y = 2) / P(X = 1) = 0 / 7/10 = 0

Indipendenza delle variabili

3. Capire se X e Y sono indipendenti:

Sì, vede immediatamente che non lo sono.