Appunti Metodi quantitativi per le decisioni aziendali

Metodi quantitativi per le decisioni aziendali

Prima lezione

Progetto: costruzione un dataset, adattare i codici che vediamo a lezione, con commenti e codici che trascriviamo anche su un file Word. Alla fine, dopo la consegna, il giorno dell’esame si fa una discussione orale del progetto, per spiegare come è stato svolto.

Se utilizzassimo dei Data Set preconfezionati, bisogna approfondire come è stato costruito quel data set.

Quella attuale riguarda i fenomeni di cui le manifestazioni si sono già realizzati, come i fenomeni demografici, le caratteristiche degli individui del campione, l’età degli studenti dell’aula per esempio.

Quella virtuale, fenomeni per cui non tutte le manifestazioni si sono realizzate, come le lampadine prodotte con un certo processo, non solo quelle già prodotte, ma anche quelle che si produrranno.

A seconda del fenomeno di interesse si riferisce un tipo di statistica:

• Statistica descrittiva → Ripetibilità attuale → posso procedere ad una rilevazione totale ed analizzare l’universo di interesse.
• Statistica inferenziale → Ripetibilità virtuale → non potrò mai osservare tutte le manifestazioni del fenomeno, posso limitarmi ad osservare una parte del tutto, ad esempio le lampadine prodotte in un mese, osservo solo una parte di tutta la popolazione, il campione.

Osservo un campione, in base alle informazioni che traggo da esso e cerco di generalizzare i risultati delle analisi su quel campione su tutta la popolazione, quindi parto da un campione per generalizzare le informazioni raccolte a tutta la popolazione.

In genere con gli studi statistici siamo interessati allo studio di fenomeni che presentano variabilità. Se tutti gli individui fossero alti allo stesso modo, non esisterebbe neanche la necessità di misurare gli individui. Alla statistica interessano i fenomeni che variano.

Raccolta dei dati e rilevazione

La raccolta dei dati si ottiene attraverso la rilevazione, dove:

Per raccogliere informazioni sul carattere oggetto di interesse mi posso limitare a rilevare il voto di laurea triennale degli studenti presenti in aula. Il carattere è il voto della triennale, l’unità statistica sono gli studenti. La modalità potrebbe essere un’intervista uno ad uno, sono le modalità con cui si può rappresentare e rilevare un carattere.

Il carattere è la variabile di interesse, osservata sull’unità statistica.

Se sugli individui dell’aula rilevo non solo il voto della triennale, ma anche l’età. Avrò 70 osservazioni riferite al voto della laurea triennale e l’età. Per ciascuno dispongo dell’informazione sia del carattere del voto e del carattere dell’età, quindi, il mio data set sarà composta da 140 informazioni, dato da due variabili osservate su 70 unità.

Fenomeni statistici e variabili

I fenomeni statistici, le variabili, si suddividono in:

• Qualitative: quelle le cui modalità si verificano in modo naturale tramite attributi. Per esempio, il carattere “colore degli occhi”, può essere marrone, verde, grigio, quindi le modalità sono gli attributi, ovvero i colori, un fenomeno qualitativo. Oppure il settore economico di una certa azienda, dove i settori sono attributi.

Si possono misurare su:

• Scale nominali: le modalità non sono suscettibili di alcun tipo di ordinamento → il colore degli occhi, non possono mettere in ordine marrone, verde, al massimo a livello soggettivo.
• Scale ordinali: le modalità presentano in via naturale un ordine → ci sono delle modalità che possono essere oggettivamente ordinate. Il titolo di studio è sì qualitativo, ma può essere ordinato.

• Quantitativo: sono rappresentati da numeri che derivano da operazioni di conteggio o di misurazione. Un esempio può essere l’età, numeri derivanti da un conteggio del tempo, degli anni. Oppure il numero di telefonate di un call center in un’ora, che può essere determinato dal conteggio delle telefonate.

Si distinguono in:

• Discreti: per esempio il numero di telefonate operate in un’ora da un call center. Caratteri numerabili, modalità ottenibile tramite un’operazione di conteggio, classe dei numeri naturali.
• Continui: per esempio l’altezza degli individui, quella precisa, quindi con tanti numeri dopo la virgola. Caratteri misurabili, modalità ottenuta tramite un’operazione di misurazione, classe dei numeri reali.

Possono essere misurati su:

• Scale di intervalli: si può valutare la differenza tra due intensità, ma non è sensato stabilire rapporti, non sono sensibili a cambiamenti di origine.
• Scale di rapporti: sono articolate in modalità ordinate la prima delle quali è in via naturale lo zero, consentono di valutare il rapporto esistente tra due modalità.

Strumenti sintetici della statistica

Otteniamo le informazioni sulla popolazione di interesse tramite la rilevazione. Una volta raccolte le informazioni cosa ci faccio? La statistica ci fornisce gli strumenti → per riassumere queste informazioni e darci degli indicatori che siano in grado di rappresentarci la distribuzione dei caratteri, dei voti dell’esempio, nel campione.

Distinguiamo:

• Indici di posizione: sono misure sintetiche, valori caratteristici, che descrivono la tendenza centrale di un fenomeno. La tendenza centrale è, in prima approssimazione, ossia il baricentro della distribuzione.

• Moda → modalità della variabile alla quale è associata la maggior frequenza, cioè cosa si manifesta più volte.
• Può essere calcolata su qualsiasi distribuzione di frequenza, sia per caratteri qualitativi e quantitativi, indipendentemente dalla loro natura, se misurata su scale ordinali o nominali.
• Mediana → la modalità che occupa la posizione centrale nella distribuzione di una variabile.
• Può essere calcolata solo su caratteri che possono essere ordinati. Devo poter ordinare le modalità, quindi non può essere calcolata per caratteri qualitativi sconnessi.
• Percentili → quelle modalità che dividono la distribuzione di frequenza per cento parti tendenzialmente di uguale numerosità.
• Se divido in due parti, il percentile di 50 corrisponde alla mediana.
• I quartili se divido la distribuzione in quattro.
• Media aritmetica → rappresenta una misura di tendenza centrale, ci dà informazioni sul baricentro della distribuzione.
• Rappresenta la parte del totale delle intensità che spetta a ciascuna modalità. Si fa la somma delle informazioni raccolte, le divido per il numero di elementi del campione ed è come se ciascun elemento prendesse una parte del totale. Una somma delle modalità, quindi esse devono essere espresse con dei numeri, quindi non posso calcolarla per caratteri qualitativi.

La media aritmetica di una trasformazione lineare è uguale alla trasformazione lineare della media.

Indici di posizione: ci dicono verso quale valore tendono le modalità del carattere rilevato.

Alla statistica interessa studiare i fenomeni che variano, quindi gli indici di posizione non ci danno informazioni sulla variabilità di un fenomeno.

Indici di variabilità

Senza variabilità non ci sarebbe la statistica: se tutti votassimo lo stesso partito alle elezioni, moda, non ci sarebbero i sondaggi, né le previsioni elettorali… Il voto politico sarebbe una unica modalità.

Distinguiamo mutabilità e variabilità in senso stesso. Si parla di mutabilità per fenomeni qualitativi e variabilità per fenomeni quantitativi. Ci occuperemo di più della seconda.

Indici di variabilità:

• Globale: si basano sulle differenze tra i valori delle modalità. Ovvero per esempio, il campo di variazione o range. Per avere una idea di come variano i voti, un’indicazione su come variano i voti può essere data dal range, ovvero una differenza tra il valore minimo ed il valore massimo degli studenti dell’aula. I voti variano all’interno di un range.

Altro è la differenza interquartile, ovvero la differenza tra il primo quartile ed il quarto quartile. Questi indici sono sempre positivi. Sono uguali a zero quando tutte le unità osservate assumono la stessa modalità, in questo caso la variabile statistica si dice degenere.

• Indice di dispersione varianza: va a calcolare i valori delle modalità di ciascuna unità rispetto alla media, tizio ha preso 102, la media è 105.

Caratteristiche della varianza:

• Limiti: elevando al quadrato si perde l’unità di misura del fenomeno, se si considera la variabile peso, la varianza risulta espressa in kg².
• Ecco perché si fa la radice e si calcola lo scarto quadratico medio.
• È un indice assoluto cioè risente dell’unità di misura del fenomeno, e ciò impedisce di fare confronti di variabilità. Le distanze, quindi la loro somma, per il fatturato nel settore automobilistico sono sicuramente più grandi di quelle nel settore abbigliamento, ciò non implica che ci sia maggiore variabilità. L’ordine di grandezza è completamente diverso, quindi non possiamo mai confrontare la variabilità di caratteri diversi o la variabilità dello stesso carattere su campioni diversi ricorrendo alla varianza, ma dobbiamo ricorrere al coefficiente di variazione.
• Si calcola il coefficiente di variazione.

Proprietà:

• La varianza di una costante è uguale a 0. Se non varia, ovviamente la variabilità è nulla. Si parla di costante e non di variabile.

Rappresentazioni grafiche

Le rappresentazioni grafiche, vedi slide.

In particolare, ricordiamo il Boxplot.

Il Boxplot viene utilizzato per rappresentare le principali caratteristiche delle distribuzioni dei caratteri. È una scatola con dei baffi e a ciascuna delle altezze della scatola, ovvero delle linee orizzontali, rappresenta una caratteristica della distribuzione. La linea che chiude la scatola è data dal venticinquesimo percentile. La linea che taglia la scatola in due parti è la mediana. Quella che chiude la scatola in alto è il 3 quartile o il settantacinquesimo percentile.

I puntini sono i valori anomali ovvero i valori lontani dagli altri, ovvero manifestazioni del fenomeno con modalità molto diverse dagli altri. L’altezza della scatola è data dalla differenza interquartile ed è una indicazione sulla variabilità del carattere. I valori estremi sono quelli più lontani di 3 volte la differenza interquartile. Le linee orizzontali lontane dalla scatola sono i valori anomali.

Esempio numerico

Immaginiamo 7 individui, che hanno le seguenti età:

• 23
• 50
• 65
• 85
• 20
• 27
• 35

Costruiamo una tabella di rilevazione.

Ogni numero è una modalità.

Possiamo iniziare calcolando valore minimo e massimo della distribuzione.

Minimo: valore inferiore che compare all’interno della distribuzione.

Min: 20.

Massimo: valore superiore della distribuzione.

Max: 85.

Range o campo di variazione: 85 – 20 = 65.

Media aritmetica | Ma: (23+50+65+85+20+27+35) /7 = 43.57.

Moda: in questo caso abbiamo osservato le modalità tutte una sola volta. In questo caso non ha senso calcolare la moda.

Mediana | Me: carattere che occupa la distribuzione ordinata delle modalità. Quindi dobbiamo ordinarle → 20 23 27 35 50 65 85.

La modalità che occupa la posizione centrale è 35. Volendo calcolarlo con le formule (n+1)/2, se n=7 → 8/2 = 4, quindi è la modalità che occupa la quarta posizione.

Possiamo calcolare la base del Boxplot, il primo quartile.

Dobbiamo dividere in 4 parti uguali, quindi Q1 sarà dato da (n+1)/4 → 8/4 = 2, la modalità che occupa la seconda posizione è il primo quartile.

Per il terzo quartile, Q3, ovvero la chiusura del Boxplot. La posizione la ottengo facendo ((n+1)/4)*3 = 6, la modalità che occupa la sesta posizione sarà il mio terzo quartile.

A questo punto posso calcolare la differenza interquartile (DI), ovvero Q3-Q1. Ovvero 65 – 23 = 42.

65 e 42 sono quindi indici globali.

Ora calcoliamo la varianza.

[(23 – 43.57)² + (50 – 43.57)² + (65 – 43.57)² + … + ] /7 = 506.24.

Lo scarto quadratico medio è la radice della varianza, indicato solo con Sigma. Quindi 22.5 approssimando.

Il coefficiente di variazione è uguale allo scarto quadratico medio diviso il valore assoluto della media aritmetica. Si prende il valore assoluto perché la Ma può assumere sia valori positivi che negativi, prendiamo quindi il valore assoluto perché gli indici di dispersione, la variabilità, deve essere una quantità positiva.

A questo punto possiamo costruire una parte del Boxplot. Non tutto perché dobbiamo calcolare ancora i valori anomali ed i valori estremi.

Valori anomali. Sono quelli che sono più lontani di 1.5 la differenza interquartile. Valori estremi distano invece più di 3 volte.

Calcoliamo i valori anomali:

Valore anomalo inferiore: Q1 – 1.5DI → 23 – (1.5*42) = - 40. Guardando le nostre modalità, non abbiamo nulla che va oltre il – 40, quindi non abbiamo valori anomali inferiormente.

Valore anomalo superiore: Q3 + 1.5DI → 65 + (1.5*42) = 128. Non avendo valori che vanno oltre 128, non abbiamo valori anomali superiori.

Non avendo valori anomali, uscirebbero valori ancora più grandi quelli estremi → non ci sono valori anomali, non ci sono valori estremi.

Ora possiamo costruire il Boxplot.

Iniziamo disegnando la base, che corrisponde a Q1, quindi 23.

La chiusura della scatola è in corrispondenza di Q3, quindi 65. Possiamo procedere a chiudere la scatola.

Il Boxplot è tagliato in due parti dalla mediana, che è in corrispondenza di 35.

Non avendo valori anomali ed estremi, i due baffi corrispondono al valore minimo ed al valore massimo osservati nelle modalità. Quindi il minimo è 20 ed il massimo è 85.

Se la mediana cade più vicina al primo o al terzo quartile, parliamo di asimmetria positiva o negativa.

Nel nostro esempio, avremo una asimmetria positiva, perché la mediana è più vicina al primo quartile.

Nel caso in cui corrispondesse alla mediana il centro del grafico, la faccia destra e sinistra corrispondono. Sono speculari.

Seconda lezione

Per cercare un comando su internet un comando di R: r cran nome del comando → la prima voce riportata è la scheda dell’help che si trova anche in R Studio.

Salvare i file come nomefile.R → R grande così da salvarlo come script.

Esercizio con tabella di frequenza

Esercizio con tabella di frequenza, invece della tabella di rilevazione.

Abbiamo sempre una rilevazione dell’età di un gruppo di individui, nell’esercizio 30.

Di essi osserviamo l’età, di cui ci sono 7 modalità diverse.

Individui:

• 5 → nj = frequenza assoluta, hanno 20 anni.
• 8 → 23 anni.
• 4 → 27 anni.
• 6 → 35 anni.
• 3 → 50 anni.
• 2 → 65 anni.
• 2 → 85 anni.

= 30, somma di nj, il numero di individui osservati.

Minimo: minima età osservata → 20.

Massimo: massima età osservata → 85.

Moda: frequenza assoluta più alta → 23.

Media aritmetica → 35.07 circa.

Range: massimo – minimo: campo di variazione → 65.

Calcoliamo primo, secondo e terzo quartile:

possiamo calcolare le frequenze cumulate e le frequenze relative cumulate.

Frequenze cumulate → cumulo le frequenze assolute (Nj).

Ovvero in presenza della prima modalità, non ho nessuna modalità precedente, quindi scrivo la stessa. Quindi quanti individui hanno fino a 20 anni? 5. Dopo quanti individui hanno fino a 23 anni? 8+5=13 → procedo così.

Calcoliamo a questo punto le frequenze relative, cioè quanti individui sul totale hanno almeno 20 anni, oppure meno di 23 o 23, oppure 27 anni o meno ecc.

Per farlo calcolo Nj/Tot individui osservati → 5/30, 13/30 ecc.

Calcoliamo adesso la mediana, quindi la modalità che occupa la posizione centrale tra le modalità osservate, ovvero a destra ed a sinistra ha il 50% delle osservazioni.

Quindi il secondo quantile. Dobbiamo andare a cercare la modalità a cui corrisponde la differenza relativa cumulata pari al 50%.

Essendo che il 57% degli individui ha meno o 27 anni → quindi la mediana è 27.

Andiamo a trovare il primo quantile, il 25-esimo percentile, ovvero P0.25. Vediamo dov’è la frequenza relativa cumulata pari a 0.25. Alla prima modalità arriviamo a 0.17, quindi no, la seconda modalità abbiamo 0.43, quindi è qui dentro. Allora Q1 sarà 23.

Allo stesso modo ragiono per il terzo quartile, il 75-esimo percentile. Alla modalità 35 corrisponde 0.77, quindi il 75% è qui dentro.

La differenza interquartile sarà 35-23=12.

Per disegnare il Boxplot dobbiamo andare a verificare che ci sono valori anomali.

Limite inferiore = Q1 – 1.5DI → 23 – 1.5*12 = 5 → non ho valori anomali inferiori, visto che non c’è nessun numero più piccolo di 5.

Limite superiore = Q3 + 1.5DI → 35 + 1.5*12 = 53 → la distanza che cerchiamo. Ci chiediamo, abbiamo valori che superano 53? Sì, 65 ed 85, che potrebbero essere due valori anomali.

Andiamo a calcolarci i limiti per i valori estremi:

Limite inferiore: Q1 – 3DI = 23 – 3*12 = -13 → non ci sono età negative.

Limite superiore: Q3 + 3*DI = 35 + 3*12 = 71 → abbiamo 85 che è maggiore, che non è anomalo, ma è addirittura estremo.

Quindi:

• 65 è un valore anomalo.
• 85 è un valore estremo.