Appunti Metodi matematici

Metodi matematici probabilità 1 richiami sulla probabilità

Probabilità, eventi inmappa di probabilitàsemplicespazio algebra misurag. pyternaDefiniamo ) doveP( Eruna &d.: E ", , , r.ws r.ws%w % %. , , ,. .rappresentaR )dettovuoto• semplicespazioinsieme non ( in;un ' in} IPw } }• w• ,W ,D= { } WIWWI •WzE }rappresenta algebra ,6- ,di r• una "•; : :: :; ;• W Wz} •IP probabilitàdirappresenta E ↳•misurauna su• . pPCRconsideriamo possibilidi sottoinsiemivuoto ) la famiglia tuttiI chiamiamoIn particolare iinsieme eun non, EEPCR )di G-dice algebraAllora dir famiglia 1siuna se :. ,,¢ E1) REEC- ; diacomplementare, ←e A'AV' AEE E2) REERIA edabbiamo c- )( con ;= ÙANEEco V-n.CN ANEE )}{numerabile alloraAn ha3) contenuta chedata Efamiglia in si(una ovvero , .:On h :O ÀANEEProp ?vuoto E alloraE numerabilealgebra ed contenutaG- diè inAn{insieme }R è famigliaunase una: nonun , ., =DhAEEelemento dellaDefiniamo algebraEVENTO E6-un come un .IP :{Una Misuradicefunzione 0 si E)tu ( r sesu :,,PIO1) ) :O ; ÈIPCÙAN Plan!ti { V-n.tkAnnanAn} )0 )tale.EE hasiche2) = =, :On :Oh IP ProbabilitàIPLRcondizioni DI PMisura laoltre Pdice) ( )alloraanche ternaquesteN.B. r1 ) EEverifica (si rase si esu: = ,, , ,.dice Probabilispaziosi Zzato .Pè probabilitàProprieta' alloradi )P(r Ese misurauna: su :,, ,Platt1) [0,1] HA EE . PCA DIPCA PCB PCAIBed2) )A.Se BEE )BEA i B)))ed allora +=, .PLAUB =P)3) IPCAMBIPCBBEEA. )allora (A)Se )+ -, .AIPLÙAN £"4) PlanE{ allora )se A } )Ec-" , .h :O:O n h 0=" " Borella generata "dagli 6-IR algebra )indica6- dichiamaaperti IR BLIRDato allora di algebra sisi e con, ." CA{EA 3- }AEIR dice / BcxtaleapertoBv. chesi EA )✓ ( )0rcx >) Il ovverose I/: ✗ = y ry ✗ ., -, contienela contiene tutti chealgebra6-particolare piùpiccola coincide algebrala piccolaapertichepiù 6-gliIn con,,rettangoli { /tutti dimensionali rappresentarePerciò"IR lati } 6-possiamo algebra} (i )( bi 1✗n ✗in Ec- ai× ni=- = ,. , .. ., .. ,, ,, , .quadreparentesile esserepossonodi Borel attraverso rettangoli chiusoconsiderasise.

Probabilità legge delle totali

Legge delle totali• D= D=se 0 }IN :{se 0n io..., , -..,Sia numerabileeventi( Zzato Allorafinita diceD) {probabili di laR famiglia}E Di chisispazio siae unauno ] o; e ,., ,{ } Partizione eventifamiglia Di è di rinuna se :; ,e a]'tiEDi1) ec- DaDaDiU2) =D]I ☐'E 3Da=D3) ]'V-i.IEDin D; i j a#con A Da"eventipartizione{Teorema ZatoprobabiliD)totaliprobabilità inDidelle } ""( E) spazior 2-Legge sia( ariasia e unauno: ,; .e ., , AND }Dz^^& Plan DIPIA DAllora TIAEE abbiamo }che Di) ) ,=, .IEJ

Continuità della misura

Continuità della misura• co{ }nsia numerabileD) AnZzatoprobabili di eventifamiglia( r spazioE siaeuno una ::O. , PIÙ A) PlanANE V-n.CNAnta allora lim )Se )( Aaaaaovvero =}• , a-0 nn - →. FanIP // Plantti allora lim )EINAntas An• se 1( A A.Aovvero =} , lon o n- →-

Probabilità condizionata

Probabilità condizionata• PlanB)IPCAIBIPCB Perevento definiamosia BEED) AEEZzatoprobabili ))( siar spazio 0E ogni>e conununo : =. ,. , PIB)Plan B)'AEEPBl'eventoprobabilitàed dell' evento datoindica Perciò ][la A B c- 0,1: .. IPIBI aPBOtteniamo Bquindi ABEprobabilitàZatoche IPB Inoltre) probabili' è( E sur spazio 2- unaee uno :. ., 2A=D PB Ballora• OAMB (A)se =, aAZB IPse allora 1• (A) B=,, IPIB PCB=Pallora Plandalla definizione (B))B /A B)v. )0se >: , ., evento EPIBPCB IPIAMBVAE AMBE PlanSupponiamo BEE OE 0 :O)Eche B) )quindiB daallora (abbiamoO) ) cuiper un e == , .PCAPCB PCBadil valore questov. modo/quandoB B) )questo -01 In riscriverein ( ) assegnano zero possiamocaso: . ,, &V-AEE.ieIPLDIPCA PLAIDtotalileggela delle probabilità );))come = ]'

Legge di Bayes

Legge di Bayes• BAYESDI PCAIIPLBsia A alloraDI eventi talidue cheZzatoprobabili BEE )( sianor spazioE. 0>euno :,. ,PIA IPCBIAIPCA )B)/ = IPCB ) estesoIR

Variabili aleatorie legge di X

Variabili aleatorie Legge ✗DI• e ✗ IR IRUlprobabiliDI ZatoSia { v1r })spazio }E. 2-R sia( funzione : ioiounae +:-.uno -, .V-t.IRdiceSi P)( }/{Aleatoriavariabile EE twerabbiamoche ( ✗ra.) c-è wi(sev. suuna .,.condizioniche seguentiSi equivalentidimostra le sono :IR1) { ttet EE}wer ( wi , IR{ ttet EE2) }wer ( wi , IR{ ttet EE}wer3) ( wi , IR{ ttet EE}wer ( wi4) , ÙAEBCIR A{ eventi){ {edwer5) wer } }} wer( )( ) ( ) E+ co sonoco == ww w-, .{ { { A{{{:{ } }} ed} }scrittureprecedenti }}leabbreviare seguentiv. tmodiB tpossiamo tt c-nei co co: +- - -,, , ,, .FEIRPoiche DIIPt' calcolare t.IRt){ lachepossibile ]Ciòè (abbiamo }t' allora t [)funzioneimplica sia0,1c-.,ben distribuzioneil cumulativadefinita prende Legge didi ripartizione ✗ didi )XDI funzioneX (nome oppuree o .Prop FxDISia P IR Allora) [✗probabilispazio ]zzatoE.R laE( legge>R 0,1( siasia: ea suuno sua:una v. :, . ,, .,EltFx V-S.tt/RFxls { }tali1) decrescente {( questo 'che }monotona t tperche ✗' ES ✗) ))ovvero se non , lim Els UtFxFx EIRdestradacontinua (2) )e- ) tovvero =tt, s → limFx IRIP3) Elscontinua Fxcalcolareda sinistra ttee- possiamo )( tma ( )non ✗) t= =, t -s →lim =PElt4) ( col✗) = -t-s.colim IPIX1-5) Elt -101) = =c- +→ ioSia allora }vistoP)( { BUR /{ YAEotteniamo edEE eventi} EE) A) {Er abbiamo EEche ✗✗ ✗suuna c-a.v. ( -10 co sonocome = = -. , ., , PxPossiamo dimostrareVogliamoPx IP BUR)AEBIIR lala chedefinirequindi funzione ) A) misura( [ ]✗ c- 0,1 comec- su: ,. PxPeroltre PCXEIRIR)dobbiamo (probabilità 'ad )che =Lè verificareanche faremisura 1ciounaessere una ovvero =, . .,{ P -101=0( ✗ =Sapendo PIXEIRKIPCXEIR IRU {IR) solovale}che v1 allora}1 io se+ io se econ= = -, , p ,,, ✗ io == -Perciò IPIX =P 117Pxa) Zato dicea)( ) DistribuzioneBUR probabili edIR( )allora✗ 0 DI2- X' sispaziose + e uno= = =- , ,, , .v. ✗adesso probabilitàB lacheda ✗quindi nullacheche siaioassumeremo: + e io= = - .,Sia D)( probabili IR finitospazio dettar diZzato valorisoltanto✗E chein Ca (sia Cncauna assume numeroa.v.uno un, ,. . ..,, ,ed )Eiconsideriamosemplice {tti partizione eventi(quindi{ di{✗N { Rin) ✗ 'funzione Ea} ✗} Enn } una1 c-ci ci eci: = == . .... ., ., . .dimostra cheAllora si :, N ( ){ WEEIsedove la caratteristica)( ' funzioneCi )ilwW e):(= )[ :(w =[ we [o se ¢i. w i1Tale scrittura dice Rappresentazione semplice canonica Xdella funzionesi .N NWIIPIDW/ PiaciPIEDa otteniamo Atteso✗ [ ValoredettoE-che ]) )cio' ;) ×( ci ci:= = = .i. i, 1 1=Sia IR talinegativeIR :L✗ ;D di funzioni )chenegativa insieme )lflwsempliciY (sianoeuna via un wnon non.Allora wilpldwV-w.ch { PIDW{ [ ]/ E-=p/)Yin ) ×sup ✗: ) ( =. diceil integrale divalore semplicidegli integrali delle( funzionisuperiore si 1yovvero , . 3Sia IR allora definiscea sia.una v. :,{ Positiva) Parte didice• ✗ ×sima 01✗ ( ew ;, Parte{ Negativadice• } di✗ ×sima 01 e✗ ( w ;, +si le Alloravalgonoentrambe relazionidimostra cheedche negativev. sesono a enon. , ,./ {IPIDW IPIDW✗ ✗ finitoalmeno integrali eddegli )) ) definire( ) possiamo'(w ewuno :a ,E- [ ]//✗ Xiwlpldw IpldwPlldw ×XiwXiw) )) )) =aa { /Lemma Levi SupponiamoP)D) (( diprobabilispazio rr)di ZzatoBeppo sia EE sia V. a.Una successione su( e: uno .nen ,, .. V' WER{che )la decrescente} monotona 0successione cheXn ( )sia nlw)11W )zlwovverononnein . .. .. ..E limDefiniamo Allorafingo✗ P{ / ( ) ed)( rIN Eè( su Sup) )sup nlw a.) una v.nlw NE:=w n= h", -. ,. 1Nn neco{ /di P)didominata SupponiamoLebesgue (Teorema chersia Edi ) successione suV.convergenza una a.( :: n ne .,.{fro Pinotale Io )E che eventoesista probabilitàche1) ) 1=L ( ovvero un con .V-wc.ro lim2) 3- )()nlw w, n io+ tale tlwtro]3) IR negativa:D che ( wi)nlweio+auna conv. non. .limattesoAllora valore valeP( ) finitoed 'ilè runa Ev. SUa. e esuo n,. n coalloravalore dice Sommabileha atteso finitoNB quando una siav.: . ., =PIP (( Px( IRtale a)che allora) ))D) BURB ( ✗v. ✗abbiamo chevisto 're- E =Dse una -10a.: spazioesuv. = uno= - ,, ,,.Zato diEIRprobabili diconoIRIRquesto BorelEBLIR ft}4 tali2- { tle )In che funzionicaso y sifunzioni : -. ., IRIR IR YIlaparticolare alloradi Borel wer èIn )è 4composizione ( )funzione E9 una:se una w:, ,P)(V. r ESua . .,. falliti #YIXIWIIPIOIW/9negativa4 particolarealloraInoltre ) ott ) sceglieIne- si(se non -=p :_, ,., ttlpxidt1) /{ } ))Ylt t.coma ✗= =p,2) / lpxldtt'{ } )t)Ult 0ma ✗= - =p ter -, iv.ttlpxidt tt-t-lpxidtl-p.lt/Pxidt/Perciò /otteniamo / tipxidt) ( )che )=p - =p, pa

Variabili aleatorie discrete con distribuzioni

Variabili aleatorie discrete Distribuzionialeatorie discretecon• discreto numerabilefinitoInnanzitutto definiamo insiemeinsieme o numerabileunun Finito, . D= )P) sull'( INsia D=/ ( {{discreto dover dice }E concentratache tjSi Nè insieme 1sua.una v. oppurejey,. ., ... , ,PI EU P 0EIR UIt / )) tjf-1 (se seoppure, .jey j.CI IR{AEBIIR) IR{Consideriamo eventiDa ti} delle partizioni diti}Dzchiamiamoqualsiasi ine eun = = ., ,U=P { =P{ { IPCXEIPIXEA (( {)Elanti}VIA (Allora } )) ti ti}An✗ / ti}A) )(✗ )E )-1, i. ]' , { }{ Uti ti AIPCXEUU { {Dove PCXE Anft){ ( c-se)( / titi} }¥An} )ti (An Arlt) perciò 1)scriviamo: • con= ; = =-,ie ,ie A] o] '' g. ,¢se JEI tj.CAER { }¥IPCXE Ajue ti{ { ti /poichéti}A )( ) 0• = tale che, ,, DensitàU( DI{ PJ/ ;) detta Discreta}ti=PPerciò P×( tV-AEB.GR)otteniamo allora A)che = = ., IEI tjeaJEI IEI tjeatj.ca PC / PÈ=P ti=P )particolare (Fxltallora1-In ] ](t t=L ElE)scegliamo iose ) ✗io =- =- ,,, , jegIEI t g.t;N NSe PIIconsideriamo I allora /titi tjpj{ } finito )N e-1 ( se