Appunti Metod. Matem. Fis.

Tensor in uno spazio pseudo...

... per ogni ... ∈ D... , T ∑ x,∑ = i, j ∑ ...1 ... ... n ∑ p... ... ∑,sarà le ... di un ... di ...(per p = s, g = 2, si ottiene il termine ...)

Tensor in un spazio pseudo... ∑l’... ... tra vettori e ... nel caso di uno spazio euclideo ... essere ... al caso di tensor ... a coordinate ... ... ...... per ... di matrice, e ... il tensore doppio ... ricordando che per l’... ... tre ... l’età su ... è una matrice futtive ... ... = g...′Φ(... g.) = ... l’... l’... tra D2e D 2 ... ... :

Se ... ∈ D..., ... ... a T il tensore,...Φ(...) &otimes Φ(...) = = ... &otimes ...= ... &otimes ... ... ,con... ... = g... f... ...

Osserviamo che:... &otimes ( &otimes ... ) = (... &otimes w′)= c... v v′.... &otimes ( &otimes )= (... l.. ...: &otimes, )= ... = ¨∂ ∂= ...in ... ,(... e g... ) = ...1.

Per ogni λ Є Ṛ^p, con ρ≤.s, q≤σ,λ₁-i₁ ... λ₂-i_pμ ... x₂ y₁ ... f_ρsiano le componenti di un tensore di(( per p=s, q=2, si ottiene il teorema precedente))

Tensori in uno spazio pseudo-euclideo

L’isomorfismo stabilito tra vettori e coentori nel caso di uno spazio euclideo può essere esteso ai casi di tensori covarianti e controvarianti dello stesso ordine.

Redingendo^per quantità di mutazioni, le caste di tensori derivati “colpo” nel caso di uno spazio pseudo-euclideo, matrice per l’isomorfismo compiuto tra lo spazio euclideo sui cui la nota matrice forzata introdotto da φ_i(xⁱ)=g_ijφ_j(y^j), stabilirono l’isomorfismo tra D₂ e D_t nel, modo seguente:

Se Г=Т^ijЄ^σi0Єⁱ0Є², allora associamo a Г il tensore:

Г^ijΦ(aⁱ)⊗Φ(b_ij)== t^ij g^ik dx^kϹ∂^gjγ dx^r = t^ijg_ijg_ijdx^kdx^r.=T_κлdxⁱdxⁿ,conT_κл =g_κлТ^ij

Osserviamo che:Т_ijdx² dx^/т (ονvⁱ) = t^ij ..ν ‘T ^l..1T^ijЄ^οi0Є^ξ_j. φ(ω²), φ(ω^r)) =Т^ijλ_є0Є_iλ (ν^κραg_κр dx^Р, ν^τροg_τo dx^q)= Т^Є ЄЄ g_..ρν g_οq g_ιq ..t(..scindiamo.. ḥ e dx^,ס')

Si può quindi stabilire un isomorfismo canonico tra ₂ e ¹e tra ⁴ e ₄ come segue.

Definiamo l'isomorfismo_i ^j = _k ⁱk

Si _i = _{c e} ^jdefiniamo l'isomorfismoquesta volta con _i ^jg_kl^k

Annetto visto si estende in maniera naturale al tensore di rango qualisasi.

Se lo spazio è euclideo, g_ij se intrecci (equivalentemente con un cambiamento di base) e g_ij non vi è differenza tra componenti covarianti e controvarianti, il tensore g viene detto in questo tensore metrico euclideo.

Un esempio di tensore metrico non euclideo (brevimenta, metrica non euclidea) :

Legge di composizione costrutt

² Legge di composizione costrutt

Siano _s+1 e ⁿ⁺¹ allora la costruzione di ¹ sottintesaa ⁴ e _n+1

Il tenore ¹ si chiamano composizione costrutte di ¹(v. matrice a pag. 82)

Tensor doppio

Siano E ⊂ \({\Phi}\), V ⊂ V; applicando la legge di composizione interna si ha che T_ij ⊂ V è un vettore, e per cui, T si può vedere come un endomorfismo di V.

Diciamo allora che λ è un autovalore di T se esiste v ≠ 0, tale che lv = v; v è l'autovettore relativo all'autovalore λ e T si può applicare tutta la teoria degli autovalori e autovettori per gli endomorfismi.

Def. T è simmetrico se T_ij = T_ji.

Def. T è antisimmetrico se T_ij = -T_ji.

In uno spazio vettoriale di dimensione n un vettore doppio simmetrico ha \(\frac{n(n+1)}{2}\) componenti, mentre un tensore doppio antisimmetrico ne ha \(\frac{n(n-1)}{2}\).

Di un tensore doppio simmetrico si possono vedere come prodotti scalari per quali sono di fondamentale importanza i seguenti teoremi noti della teoria degli autovalori:

Teorema spettra

Th. 1: Teorema spettra