Appunti Geometria e Algebra Lineare

Geometria e algebra lineare

Geometria e algebra lineare ^)(ternele pensateesserepossono× 4,2, rettoricome punti nello spazio oppure comeÈ ( >IT lunghezza) 2+42+22IU✗ 2= = = ✗,,

Dimostrazione del modulo

Dimostrazione del modulo: ail i ↑vettore i. 'zk vettoredella somma✗ yj+ + ei perpendicolari questidellfj Sonovettore✗ k+ e 2- z. yvettori primoperchè ildue è parallelo ✗a 4 ✗ ;i siil 'Quindisecondo ile a per Teorema 'E - - -<. - '- - -.112112Pitagora .di iv41 .Il .-1112kIl yj✗= + _ .±. . .xie poichéi vettori perpendicolarinj sonoil il' direttoprimo l' dellecome asse ee × 112 ZKIÌVIP 112Pitagorasecondo quindicome iIl Il4 Ilsempre Yjcon; ✗ -1 -1 Il= ZAÌUAÌPUNTI '('DUE datiDISTANZA (TRA (a)dApunti distanza -1B UB: 2 la loro =e zae ✗ +× +--,ÀB È Èsarà pariVettoriA delpensati EB distanza vettoreloro modulola al - -_( '' itÈÙ tTEOREMA COSENO arcosdunqueDEL ✗= .. = > > 1tu t.twÈ>li //1 .

Retta

Retta fsigniesplicita sempliceForma verticaliinclude retteNON: levi >+mx a= -: ,.implicita dueForma include rette Che sianotermesett b Caxtbytcz unaa→o- ,, ,.dell'MUTIDLO la stessasono tettaaltro ÈÈstessa retta -1È→ 2×-4+1=0 4-4×+24-2=0 ✗> 0=> == - ,Po . iltv Colle+ R rettaappartengono alla angolarete →7 . di7 :TI lf Q)( b)caPo -1rettoreil = MXyo= ✗ ,☐ ,Indica direttoreIndicaposila lae . PARAMETRICAEQUAZIONE YB 4Am:tempo t ial -=g ✗ ✗{ -BESEMPIO aat✗ i: ✗=. ◦→ +3)(Po bt+1 y no== →, ^t'È 1)12 , " to' multipli. i hosostituendo nuovacon una1{ t2+✗ =3)(1) 1)( ( ) rettalat31 stessa+ -12T per2 EQE1- ma+ t== 3 +4 =, ., 4✗1- :-( c)mi ba. |, at✗ Determina✗ +> =ti ◦ passanteParamESPo della tettaeqte IR per+ :ParEQ>= . ...- 3)4 bt )40 ( (+=( 1) -1APo e B2Zo 6,1no =✗ -= ,,◦ ,,, al tempoPosizione ? ABT 1)Ù )il (2-2- (ct -44,2-3= + direrettoretrovo 1+16 =: -2Cioneti =o - ,,,discelgo ottengoportarlaA come punto :e{ ✗ → t"+ )1):( (tformapoichépossibili vettorialedelleè -4Questa scelte 4,2-1unasolo 2In +⇐ ,4=-1+2 ,,edidiverso partenza 2-posso utilizzare punto 4T1-un =il 'Tdidoppioutilizzarepotevooppure .

Rette ortogonali

ÌEÙORTOGONALI 'RETTE ' IRParallele E siano hanno reti dircheEr e: r .. .◦ li ' paralleli cioè t'due AretteLE sono AIte 7parallele talereale chesono numerose unse =,{ 2 -22 + t{t✗ ✗ =: >'> 2) Ù(Ù Ìpi ) ' 2( 1,2 quindi-1t -4 =-2+2T4 6 =1 =lity : ,, ,-: 1 -12T'22- 1-i - Ù È Ù'Ù '• ortogonali sonose alloraortogonalie retteseovvero ortogsono 0- = .È% !{ ! !2 È Ùy - :-(':× )v71 )/ -4,2 1 1,3-2( ,,1 4T4 : - ÙÙ :-( ) 2)1Z2 (-13T -16-2+2T: 1,3: -4-2 -41 1 -. -= ∅, .,,

Posizione reciproca delle rette

Posizione reciproca spazioRETTEDelle :neuro1) il dell'multiploParallele se sono una altro.2) INCIDENTI inintersecanosise puntoun3) si (COINCIDENTI )rettastessailse dell'intersecano multiplosono altraunae4) intersecano 'SGHEMBE dell'multiplose si altranon ✓ve sonoe non unoavanti1 ' parametricheES stabilire lese cazrerrette:. :({ )ᵗ i≥ lÈ=3✗ t4✗ 121= multiploil+ l'- ? -1 -1parallele -1 4,0sono non sono} unoe, , ,erit y1✓ 4 = ,=- dell' altro ~ NON parallele☐+12T canoa2- e5=z t .: - ? r''si mettointersecano sistema conìer c-a K→ :={ 2 t -14k=3-1- E 0= un'il §ha sol K1-sistema unica 1 e= -=-112kt 5 .- = (:P 1)lo delle'il tericavo nellsostituendo tetreP Parampunto laK 1 o -=. ,. ,

ES delladelle incide2 Determinare 1,3)-13 perpendlcoltettaparametrichela S P: che Sulloe,. ... -12T{ 5✗ =retta r . E4=1' . -i. p -13T2- 6=• '-- voglio trovare quindiperpendicolarisonoretta ches rettala impongolase r: POT ) siailquindi (◦ 0=15 vettore) ortogodisdirett settore-13Tltt che-12T alo ., , .S direttore della tetta r; .-- ( 3) 3)(t t3-12T 1 1 6 -1+35 2 0' =-- - - ,, ,,PQ Vettore dir r.()( 3)-13Tt 3 -1-12T 2 4T=p2 it> -19T= +9=0-14 -- ., ,, ↓/ %) %⇐÷¥ :&f.Po 'a-i' : ⇐ , ,,f-:| 3✗ K+ :{ 2k:3S ! ✗È +4 1% g K1 13: 1 4+ +K : 3 K3E. +=3z : Fu+ K' Ì

Piani nello spazio

PIANI )IRSPAZIO ( :(Nello piano c)considerando rettorePòìin un Yo -20 b.punto uneun a✗: , ,,◦91Tortogonalenullo enon . it 90ºtorna angolounPÀ T'F- ( ) ite 0✗ an z < =>= ., ,POÉ )( Vettorialel'ZoZ4 Ca✗ no× -- - Fort- •. o , ., Poav.(a( Udt a)blua)precedente corrisponde a C+ = o2-✗× z-- -chiamiamo D= può riscrivere cosìSise buio✗ czoa - :- -o di dolpicomponenti un r.ltba c → . .,,cartesiana piano pianoa by del-1 d- sul✗ laCE > che stao++ Il-- 2.yo% →. .o, ,' 'dDISTANZALA del D=pianoD- >= FÈorigineil l'piano- D=perpassa osemoltiplico f-se stesso numero daPer rappresolab nuovaa d- uno stessoloc caze ∅,, ..piano . )E-origine (ES scrivi l' per aaxtbbytczrettoreal D=del penala pianoCort e -1,1per 0: passante 1 +. ,. . Ma perché(1)quindi (1)-11 (y Utz✗✗ + o= >= - gassa per)) '( :(TES perpendicolare vettore 2,3pianodel 1 alpassante#: -1,4la Cort per 1e, ,. . 4)> (Ù ?è ilsiccome piano 1axtbu dH sost-1passa che> perdi diCEda a 42+24+3+ E +> ✗+: ✗= = ,, . .+214+1713-(2--4)=0G- 1)+12 EQUATLONE +24+32--11=0-1 1.→1- 2 ✗-11 →d--0 OppD= : -. .

ES . 3)) (:(1)(daEQCART che passapiano 1- (1,1 0,2 0,01B == ,,,è quindi ilI. Puntii sistemaax-iby-CZ-d.io 3che passaggiometodo : risolvoilso la impongo per e= :≤atb D={ + → ao-1C c. = - } Quindif- did è param§ lancionea D=-12C d unD= d tutte d→ ind-o --2C-1 a- =- .. gem.ci/-jd,-j-di5-d;dD=3C + 5-° fa laliberoja Solutiondd④ e- D=a c -+== - - - )impongo (D= 1,1ottengo -3se allora 1-3 , ,l' saràe del Alamo 4+2-3=0✗eq +:.Il ' applicaremeglio metodometodo coordinate 1=0quando sono questoTUTTEle e: .pianodiClxtby D= componentiCE + ORTOGONC reltb)-1 o ala) un→ . . .↳ di rete dalprocurarmiun trovaregrado perpiano impongoun a che.a • deipassi ruotiilche 3piano per uno> -- - ↳ il ?vettorecome tme procurolo''- il APTsarà AIrettore t al rettore_ e>A c A) y ÈAI ( 2- ) )UB dati2- lettori4A ( due (Xa -1,1- Vva✗ 0 eV1=- BB-= }, ,, , ,(-11-1,2)) )AI N' (( Zr Wg unYe Wi vettore4A uh✗ za✗e = == a) -,- - ,,/AI 1)( > ilAI ( PERPENDICOLARE entrambi2) èQUINDI-1-1nel ad-1nostro 0caso = :e = , ,,,ÀB AI VETTORIALE t' ÌN][ PRODOTTOPERPENDICOLAREvettore loro :>-1 -1 =-1✗ = , / ., ÙXÙ )quindi (L' Uè 0D=2-Xcaz V1 WiWL WzWWWiVan+ ↳ v2↳- =- }- -- ;;} -?D= Aimpongo quindi> passache per= -1-1 -1 D==-D +3PianoEQZ +4-12--3=0Y 0 Ovvero-13×- z ✗→ - =-.

Posizione di due piani

PianiPOSIZIONE DI 2 : d'piani blu c'equazioni d'D=aventiDue cartesiane axtby CZ e 0+ +✗ 2-+ +o + =Ù )paralleli c) ( '' 'i (vettori ' b tanichese b tra ovveroloroli unca. sonoa esiste Ke- se== ,,, d'd' ' coincidentiAllorakcC' sonobka anchekb kdse= == = .(pianiiESEMPIO di infattiparalleli: Sono2×+4-32--1=0 traca -4×-24-16-2 -5=0e -4=-2.2loro>=. )6=-21-3) coincidentii 2×+4-32--1=0piani -4×-24-162--2=0e-2=-2.1 SonoeeINCIDENTI coincidentitra è- incidentiparallelilorosononon intersezionesonoallora ese unalao loro: il(retta ) soddisfarettaallapunto C- sistema-2Un soloese se× n, ,. { d-DUa ✗ o++ ce + -d'' blu c' /+☒ 2-+ o✗ + =eiorl diretta unierseeeoreCARTESIANArappresenta della RETTA↳ -1 |.:} :¥ : esami .-r §✗{ t-=:t parametricaRte rapp-14=21 →e .2- E=COME PARAMETRICAPASSARE Dalla CART EtF. Alla F. { verificaper la-: ✗ =. { È -1ᵗ+ ° """✗ 1+ + " {= t ={{ U - 4=1Pongo = -+4+2-+1=0 zì nell'scrivo✗ - 1t✗ eq-§at ✗+y ,1t - t= !, cortile=4 trova+2T --1=0 - Z-1=0 ' 4-4 --4+2-2 t× -✗ 2- = , ,?{È +}+24+32=-4 ={ ✗ a- E ter§ t2-« -2=L 2- =,✗ ⇐ _3CARTESIANADall' PARAM All' EQEQ :.{ -31-+2✗ { +34+1=0{= ✗(4+1)+2✗t.jp -3=4 1t: - (4+1)+5 -54-12--10=052- =-2=5 t +5ESISTONO divnlinite piani dunquecoppie rappresentasirettahanno come stessaintersezioneche inla ,diversicartesiana infinitiforma modiin . ilstabilisci off determinarette diESER interferoneincidentise di puntocari in1 sono casole: :. -. 2-3 2a{ Metto sistema0{ 4-✗ Corteso a la= = . .✗ +4 2×+44--002--1 =| : |:-. ✗ = o nell' originesontuose sicomeammette int0 o e0ytz o+✗ , .4=0 ,= il Sist sghembese solleonenon ammette parallelesonoallora o-2=0 • .2×+44=0 ◦ °= coincidentiammette soluzionise sonoalloraa◦ { Z4- °=( ) diES F- -3 alladelCortesia 1,2 eq.catperpendicolareper rettapassante2 EQ ma piano r: e, . 2×+44=0: è conoscendoneperpendicolare animali componentirettoreil direttore di leHardell'Ti troverei pianocorteseequazione delCb.a , .P Quindi parametrica' Cortesriscrivo l la come• • ..:{ t< t 4-{" 4° o -→--- =i t' ]Quindi [e⇐ Al11 pltp piano-4¥ -221¥ -2T =2×+44=0 ✗r =→> → ,, .; 2×+44=0 2- e= (P?l' Py Pz)del 1 + 3)dpiano D= C-lol 22×-1 it2-4 > D= 0=>-2.1+2 +-1 D=: - o - -+ + = +- 0.. >.quindi '' del piano completal ela -2×+4+2+3=0.

Distanza punto piano

Distanza punto piano :- a)P Pofxo TDati di equatorepiano40 axtbytczunpunto Z dieun +• , ,) it è( Podistanzala deld dalPo it pianopunto,≈ //d d( F)Po Cbyo +-1 -1✗ -20a o=, 2 292 b -1 (+ )( dalESEMPIO del pianoPo1 determinare di equazionepunto Tdistancela 2,0 +24-2-+2=0-2: = ✗,) +21d ( 1)(Po 2)it C-1.2 Ot '-12 Ggg= - (- )pf dopo, radon== .12 222 1)(-1 + -determina la distanza pianii2 traESEMPIO 2 dopo2×-44-22--4=0 -24-2-+3=0 aver×: everificato paralleliche sono .2)( )( }Quindi i parallelirettor