Appunti Fondamenti di Ricerca Operativa

Fondamenti di ricerca operativa (prof. Enrico Malaguti)

Introduzione

Per affrontare i problemi studiati dalla ricerca operativa si adotta un approccio modellistico:

Def: Modello -> rappresentazione semplificata della realtà che ne cattura ed enfatizza alcune caratteristiche.

Una tipologia di problemi affrontati dalla R.O. sono quelli dei problemi di ottimizzazione. In questi problemi è richiesto di trovare la soluzione “ottima” mediante la massimizzazione o minimizzazione di una funzione definita f. obiettivo.

Def: Funzione obiettivo ->f: ^N+ → ^R→ Nella programmazione lineare la funzione obiettivo è anche F. lineare ed in ogni caso vale le seguenti proprietà:

f(x+y) = f(x) + f(y)   ∀ x, y ε ^R
f(α;x) = α; f(x)   ∀ x ε ^R, α ε ^R

La soluzione della funzione obiettivo sarà data da un vettore 1-dimensionale ottenuto mediante la massimizzazione/minimizzazione di essa. Si avrà una soluzione quando ad ogni variabile che costituisce il vettore è assegnato un preciso valore.

Partendo dalla funzione obiettivo molto spesso i problemi di ottimizzazione richiedono che siano imposti dei vincoli su uno o più parametri in ingresso alla fun. obiettivo. Tali vincoli vanno anch’essi espressi tramite funzioni:

g_j: ^N+ → ^R t.c. g_j(x) ≤ b_i con j = 1,2,..., n*

Oss: nei problemi di programmazione lineare la funzione di vincolo sarà sempre una costante quindi i vincoli saranno dati da equazioni o disequazioni lineari.

I generici problemi di ottimizzazione saranno espressi da:

Def: Generico problema di ottimizzazione

Dati S; ^N+ → ^R, funzione obiettivo:

max f(x)
g_j(x) ≤ b_i   con i = 1,2,...,n

Visto e considerato che le funzioni obiettivo ammetterà in ingresso n parametri di rotta esprimere tale funzione in forma matriciale:

[c₁ c₂ c₃ ... c_n] [x₁x₂x₃...x_n ]

Lo stesso varrà per i vincoli:

[a₁₁ a₁₂ a₁₃ ... a_1m] [x₁] [b₁]
[a₂₁ a₂₂ a₂₃ ... a_2m] [x₂] ≥ [b₂]
[a₃₁ a₃₂ a₃₃ ... a_3m] [x₃] [b₃]
...[x_n] ≥ [b_n]

Fondamenti di ricerca operativa (prof. Enrico Malaguti)

Introduzione

Per affrontare i problemi studiati dalla ricerca operativa si adotta un approccio modellistico:

Def: Modello → Rappresentazione semplificata della realtṳ che ne cattura ed enfatizza alcune caratteristche.

Una tipologia di problemi affrontati dalla R.O. sana quella dei problemi di ottimizzazione. In questi problemi ṳ richiesto di trovare la soluzione “ottima” mediante la massimizazione o minimizzazione di una funzione definita f. obiettivo.

Def: Funzione Obiettivo
f(x):ℕⁿ → ℝ→ Nella programmazione lineare la funzione obiettivo ṳ anche f. lineare ed ḟonioṡe due delle seguenti proprietã:

• F(x+y) = f(x) + f(y)   ∀ x,y ϵ ę
• F(α;x) = α f(x)   ∀ x ϵ ę, ∀ α ϵ ℝ

La soluzione della funzione obiettivo ṳğ sana̳d̻ dato da un vetore n- dimensionale ottenuto mediante la massimizzaiuṡę/n minimizzazione di essa. Si aty una soluzione wanneer ad ogni variabile che costituisce il vetore enye assegnaűto un preciso valore.

Partendo dalla funzione obiettivo molto spesso i problemi di ottimizzazione richiedono che Ạano imposti dei vincoli su uno o piū parametri in ingresso alla funz. ớbiettivo. Tali vỉůkuli sono rappresentati tradivern 'uflf ğ/x)Ṝ → Ɍ f.c. ệ/d/x) b c i = ൩,d .... n*

Oss: Nei problemi di programmazione lineare la funzione di vinvolo sanà per enère una costante, quindi i vincoli sannanio dati da equazioni o disequazioni lineari.

I generici problemi di ottimizzazione sannosno espressi da;

Def: Generico problema di ottimizzazione

Datu ḕ ; Ἤⁿ → R , funzione sitcarara:

{ max f(x) g_i(x) ≤ b_i     i = 1,2...n.

Vistg è Considerato che le funzione obiettivo ammetterą un insieme input prendisu di rotto reso Da inniere in su umare marina ghiaccio Vere drag respont trang funzione :

S: Eⁿ → ɼc₁ₗ₁ + c₂ₗ₂ + ... + cₙₗₙ ≤̂ [ c₁   c₂   c₃ ...   cₙ]   &