Appunti Fisica 2

Università di Roma Tor Vergata – corso Verona

Federico Casucci Federico Casucci ©2

1 Sommario

• 2 Elettrostatica ___________________________________________________________________________________________________ 5
• 2.1 Legge di Coulomb ______________________________________________________________________________________________ 5
• 2.2 Campo elettrostatico ___________________________________________________________________________________________ 6
• 2.2.1 Distribuzione di carica e campo elettrostatico di una distribuzione di carica _______________________ 7
• 2.2.2 Calcolo di campi elettrostatici dovuti a distribuzioni di cariche ______________________________________ 7
• 2.3 Lavoro ed energia potenziale della forza elettrica ___________________________________________________________ 9
• 2.3.1 Energia potenziale di un sistema di cariche discrete _________________________________________________ 10
• 2.3.2 Energia potenziale di una distribuzione di carica ____________________________________________________ 10
• 2.4 Potenziale elettrostatico _____________________________________________________________________________________ 11
• 2.4.1 Potenziale elettrostatico di una distribuzione di carica _____________________________________________ 11
• 2.4.2 Campo elettrostatico come gradiente del potenziale ________________________________________________ 12
• 2.4.3 Calcolo di potenziali dovuti a distribuzioni di cariche _______________________________________________ 13
• 2.5 II equazione di Maxwell per il campo elettrostatico _______________________________________________________ 15
• 2.6 Dipolo elettrico _______________________________________________________________________________________________ 15
• 2.6.1 Potenziale di un sistema di cariche in approssimazione di dipolo __________________________________ 16
• 2.6.2 Azioni meccaniche sul dipolo elettrico ed energia del dipolo _______________________________________ 17
• 2.7 Teorema di Gauss ____________________________________________________________________________________________ 17
• 2.7.1 Applicazioni del teorema di Gauss _____________________________________________________________________ 18
• 2.8 I equazione di Maxwell ______________________________________________________________________________________ 19
• 2.8.1 Equazione di Poisson ___________________________________________________________________________________ 20
• 2.8.2 Applicazione della I equazione di Maxwell sul dipolo elettrico _____________________________________ 20
• 3 Conduttori ______________________________________________________________________________________________________ 21
• 3.1 Conduttori all’equilibrio _____________________________________________________________________________________ 21
• 3.2 Sistema di conduttori ed effetto punta _____________________________________________________________________ 21
• 3.3 Capacità di un conduttore ___________________________________________________________________________________ 22
• 3.4 Conduttore cavo ______________________________________________________________________________________________ 22
• 3.4.1 Schermo elettrostatico _________________________________________________________________________________ 22
• 3.4.2 Schermo elettrostatico sferico _________________________________________________________________________ 22
• 3.5 Condensatore _________________________________________________________________________________________________ 23
• 3.5.1 Condensatore piano ____________________________________________________________________________________ 24
• 3.5.2 Condensatore sferico ___________________________________________________________________________________ 24
• 3.5.3 Condensatore cilindrico ________________________________________________________________________________ 24
• 3.5.4 Condensatori in serie ___________________________________________________________________________________ 25
• 3.5.5 Condensatori in parallelo ______________________________________________________________________________ 25
• 3.6 Energia elettrostatica di conduttori e condensatori _______________________________________________________ 25
• 3.7 Energia elettrostatica del campo elettrostatico ____________________________________________________________ 25
• 3.8 Forza tra le armature di un condensatore isolato _________________________________________________________ 26
• 4 Dielettrici _______________________________________________________________________________________________________ 27
• 4.1 Dielettrico in un condensatore ______________________________________________________________________________ 27

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• 4.2 Polarizzazione dei dielettrici ________________________________________________________________________________ 27
• 4.2.1 Vettore di polarizzazione e cariche di polarizzazione _______________________________________________ 28
• 4.3 Teorema di Gauss e I equazione di Maxwell nei dielettrici, vettore induzione elettrica ________________ 29
• 4.3.1 Campo elettrostatico di una sfera conduttrice all’interno di un guscio dielettrico ________________ 30
• 4.4 Discontinuità dei campi e sulla superficie di separazione tra due dielettrici _______________________ 30
• 4.4.1 Campo elettrostatico e vettore induzione elettrica tra le armature di un condensatore __________ 31
• 4.5 Energia elettrostatica nei e dei dielettrici __________________________________________________________________ 33
• 4.5.1 Energia elettrostatica di una sfera conduttrice all’interno di un guscio dielettrico _______________ 34
• 4.6 Forza di attrazione del dielettrico verso l’interno di un condensatore __________________________________ 34
• 5 Corrente elettrica ___________________________________________________________________________________________ 36
• 5.1 Modello di Drude _____________________________________________________________________________________________ 36
• 5.2 Densità di corrente ___________________________________________________________________________________________ 37
• 5.3 Legge di conservazione della carica o equazione di continuità ___________________________________________ 37
• 5.4 Legge di Ohm _________________________________________________________________________________________________ 38
• 5.5 Resistenza elettrica __________________________________________________________________________________________ 39
• 5.5.1 Resistenze in serie ______________________________________________________________________________________ 39
• 5.5.2 Resistenze in parallelo __________________________________________________________________________________ 39
• 5.6 Effetto Joule – Potenza elettrica _____________________________________________________________________________ 40
• 5.7 Generatori di . . . _________________________________________________________________________________________ 40
• 5.8 Legge di Ohm generalizzata _________________________________________________________________________________ 41
• 5.9 Leggi di Kirchhoff_____________________________________________________________________________________________ 41
• 5.9.1 legge di Kirchhoff dei nodi _______________________________________________________________________ 41
• 5.9.2 legge di Kirchhoff delle maglie ___________________________________________________________________ 42
• 5.10 Circuito RC ____________________________________________________________________________________________________ 42
• 5.10.1 Carica di un condensatore ______________________________________________________________________________ 42
• 5.10.2 Scarica di un condensatore _____________________________________________________________________________ 43
• 6 Campo magnetico ______________________________________________________________________________________________ 45
• 6.1 Forza di Lorentz ______________________________________________________________________________________________ 45
• 6.1.1 Moto di una carica immersa in un campo magnetico ________________________________________________ 46
• 6.1.2 Applicazioni della forza di Lorentz ____________________________________________________________________ 46
• 6.1.3 Bottiglia magnetica _____________________________________________________________________________________ 48
• 6.2 II equazione di Laplace forza magnetica su un conduttore percorso da corrente ____________________ 49
• 6.2.1 Caso del campo magnetico uniforme __________________________________________________________________ 49
• 6.3 Forza magnetica su una spira _______________________________________________________________________________ 49
• 6.3.1 Energia della spira immersa nel campo magnetico __________________________________________________ 50
• 6.4 I equazione di Laplace campo magnetico generato da un filo percorso da corrente _________________ 51
• 6.4.1 Calcolo di campi magnetici generati da circuiti percorsi da corrente ______________________________ 51
• 6.4.2 Parallelismo dipolo elettrico e spira magnetica ______________________________________________________ 53
• 6.5 Forza agente tra 2 fili percorsi da corrente ________________________________________________________________ 53
• 6.6 Legge di Ampere ______________________________________________________________________________________________ 53
• 6.6.1 Applicazioni della legge di Ampere campo magnetico del solenoide _____________________________ 54

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• 6.7 II equazione di Maxwell del campo magnetico _____________________________________________________________ 57
• 6.8 Equazione di Ampere-Maxwell ______________________________________________________________________________ 58
• 6.8.1 Variazione del campo elettrostatico come sorgente di campo magnetico __________________________ 58
• 7 Magnetismo nella materia _________________________________________________________________________________ 60
• 7.1 Materiale in un solenoide ____________________________________________________________________________________ 60
• 7.2 Magnetizzazione della materia ______________________________________________________________________________ 60
• 7.2.1 Vettore di magnetizzazione e correnti di magnetizzazione o amperiane __________________________ 61
• 7.3 Legge di Ampere, I e II equazione di Maxwell nella materia; vettore induzione magnetica ____________ 62
• 8 Elettromagnetismo __________________________________________________________________________________________ 64
• 8.1 Legge di Faraday-Neumann-Lenz ___________________________________________________________________________ 64
• 8.2 Generatori di corrente continua e alternata ________________________________________________________________ 65
• 8.2.1 Generatore di corrente continua - disco di Barlow ___________________________________________________ 65
• 8.2.2 Generatore di corrente alternata – alternatore _______________________________________________________ 66
• 8.3 Legge di Felici _________________________________________________________________________________________________ 67
• 8.4 Autoinduzione elettromagnetica ____________________________________________________________________________ 67
• 8.4.1 Induttanza _______________________________________________________________________________________________ 68
• 8.5 Circuito RL ____________________________________________________________________________________________________ 68
• 8.6 Energia magnetica dell’induttore ___________________________________________________________________________ 69
• 8.7 Energia magnetica del campo magnetico ___________________________________________________________________ 69
• 8.8 Mutua induzione _____________________________________________________________________________________________ 70
• 8.8.1 Circuiti accoppiati _______________________________________________________________________________________ 71
• 8.8.2 Trasformatore ___________________________________________________________________________________________ 72
• 9 Onde elettromagnetiche ___________________________________________________________________________________ 73
• 9.1 Implicazioni delle leggi di Maxwell _________________________________________________________________________ 73
• 9.1.1 Propagazione di campo elettrico e campo magnetico come onde __________________________________ 73
• 9.1.2 Vettori campo elettrico e campo magnetico nell’onda elettromagnetica ___________________________ 75
• 9.2 Polarizzazione dell’onda elettromagnetica _________________________________________________________________ 76
• 9.2.1 Casi notevoli _____________________________________________________________________________________________ 76
• 9.3 Energia dell’onda elettromagnetica _________________________________________________________________________ 78
• 9.3.1 Intensità dell’onda elettromagnetica e vettore di Poynting _________________________________________ 78

Federico Casucci © Elettrostatica 5

1 Elettrostatica

Forza elettrica: forza che agisce a distanza tra corpi elettricamente carichi.

La carica elettrica della materia misurata in coulomb C è legata alla sua costituzione. È infatti formata da atomi composti da particelle elementari elettricamente cariche: protoni, convenzionalmente di carica positiva, ed elettroni, di carica convenzionalmente negativa. Per questo inducendo due corpi a caricarsi la carica totale si conserva principio di conservazione della carica ed il suo valore è quantizzato in quanto la carica di ciascun corpo è la somma delle singole cariche degli elettroni e dei protoni, dunque è un multiplo della carica elementare , ⋅ .

Corpi carichi dello stesso segno si respingono, corpi carichi di segni opposti si attraggono.

Sono 3 i modi per caricare elettricamente la materia: per strofinìo attraverso un’azione meccanica si provoca uno spostamento di elettroni, per contatto, per induzione elettrostatica.

Proprietà elettrostatiche dei materiali

In base alle proprietà elettrostatiche dei materiali si distinguono:

• Materiali isolanti o dielettrici: si caricano per strofinìo e trattengono la carica elettrica; gli elettroni sono fortemente legati ai nuclei.
• Materiali conduttori: non trattengono la carica; gli elettroni sono debolmente legati ai nuclei.

Strumenti sperimentali

Strumenti utilizzati per ottenere sperimentalmente la legge di Coulomb:

• Elettroscopio a foglie: permette di stabilire la relazione tra forza e carica ∝ .
• Bilancia a torsione: permette di stabilire la relazione tra forza e distanza ∝ .

1.1 Legge di Coulomb

Considero le cariche puntiformi e ad una distanza . La forza elettrica che agisce su a causa della presenza di ha modulo pari a 2 1 Nm⃗ 9̂ 8,9875⋅10 24 4 C equazione vettoriale che equivale a 3 equazioni scalari una per ciascuna componente alla carica ̂: versore diretto lungo la congiungente e che va dalla carica : costante dielettrica del vuoto.

È diretta lungo la loro congiungente ed è repulsiva se le cariche hanno stesso segno 0 e attrattiva se le cariche hanno segno opposto 0.

Preso un sistema di riferimento cartesiano, calcolo la distanza tra le cariche e i coseni direttori del versore ̂ coseni degli angoli formati da ̂ con gli assi a partire dalla posizione delle due cariche puntiformi: , , , , cos cos cos ⃗.

Perciò le componenti cartesiane del vettore forza elettrica sono 1 1⃗ cos cos 4 4 Federico Casucci © Fisica 26 1 1 ⃗ cos cos 4 4 1 1 ⃗ cos cos 4 4.

1.2 Campo elettrostatico

⃗ Il campo elettrostatico è un campo vettoriale generato da una carica, da un sistema di cariche o da una distribuzione di carica in quiete ed è indipendente dalle cariche che vi interagiscono.

⃗ Si definisce a partire da una carica di prova positiva, in modo che sia concorde alla forza elettrica ⃗, e piccola rispetto alle cariche del sistema, in maniera che non modifichi in maniera rilevante il campo ⃗ stesso e dalla forza elettrica risultante agente su di essa.

⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ⇒ Validità generale: 4 ⃗ Per cariche puntiformi: 4 ⃗.

OSS In presenza di più cariche puntiformi il vettore campo elettrostatico in un punto P si calcola come somma vettoriale dei vettori campo dovuti a ciascuna carica.

⃗ Perciò le componenti cartesiane del vettore campo elettrostatico , , generato nel generico punto , , dalle cariche nelle relative posizioni , , sono 1 ⃗ ⃗ , , cos cos 44 1 ⃗ ⃗, , cos cos 44 1 ⃗ ⃗ , , cos cos 44.

Graficamente il campo elettrostatico si rappresenta mediante le linee di forza: orientate; in ogni punto tangenti e concordi al vettore campo; tanto più vicine tra loro tanto più l’intensità del vettore campo è ⃗ maggiore; non si intersecano mai il vettore campo è univoco; se si avessero punti di intersezione il ⃗ vettore in tali punti potrebbe essere tangente a 2 diverse curve e dunque avere 2 direzioni differenti; sono uscenti dalle cariche positive ed entranti in quelle negative; linee aperte.

Federico Casucci © Elettrostatica 7

1.2.1 Distribuzione di carica e campo elettrostatico di una distribuzione di carica

Per corpi non puntiformi, le cariche non si considerano discretamente ma in maniera continua:

• Densità di carica spaziale lineare: ⇒ ⇒ Se la distribuzione è omogenea:

Suddividendo la barretta in infiniti tratti ciascuno di essi ⃗. Perciò il campo genera in P un campo elettrostatico elettrostatico