Appunti e slides integrate di Metodi statistici per il comportamento economico - Parte 2

Appunti “integrati” alle slides di Modelli statistici di comportamento economico

Professore: Ignazio Drudi

A.S. 2020/2021

Stime e pendenza

Da notare che i valori della pendenza che abbiamo trovato con lo stimatore Within e LSDV sono uguali.

Lo stimatore Pooled (overall) tende a sovrastimare la pendenza della retta (le rette saranno più pendenti verso l’alto o verso il basso); lo stimatore between tende a sovrastimare quel valore ancora di più rispetto allo stimatore Pooled.

→ NB. Stima Pooled + Stima Within = Stima Between scomposizione della varianza (ci arriviamo subito).

Strategie per salvare OLS

Quindi, in presenza dei dati panel, abbiamo a disposizione 4 strategie per poter “salvare” OLS:

1. Stima Pooled → ignoro il fatto che i dati sono stati osservati più volte sulle stesse US → stima distorta;
2. Stima Within (all’interno dei dati dell’US) → le diversità individuali sono tutto ciò che variano nel comportamento individuale nel tempo: trasformo le x in scarti dalla media, ma sia le x che la media contengono la parte individuale fissa → qui elimino l’effetto individuale e non stimo i valori fissi (altrimenti ne dovrei avere uno per ogni US). Questa stima offre un insieme di parametri depotenziato rispetto a quello completo perché la retta passa per l’origine, quindi stimo solo la pendenza (l’intercetta è pari a 0 per definizione);
3. Stima Between → trasformo anche qui i dati originali: faccio collassare tutte le osservazioni temporali nel punto medio individuale. Anche se questa stima è poco appetibile, è cruciale per i test sulle nostre stime;
4. Stima LSDV → qui amplio il raggio d’azione della stima Within perché riesco a stimare simultaneamente la pendenza (che è uguale a quella che ricaviamo dalla stima Within) e le intercette individuali, perché abbiamo estratto dal residuo complessivo la parte sistematica.

Abbiamo visto che 3 delle strategie proposte hanno diversi limiti, tuttavia esse rimangono importanti perché forniscono la base per test inferenziali sul modello LSDV.

Infatti, collegati a ciascuna strategia, è possibile ottenere una valutazione dell’errore di stima (residui) fondata sulle ipotesi di ciascuna strategia. Tali quantità si prestano ad un insieme di test, sostanzialmente ispirati dallo schema di Analisi della varianza (di solito uso il test F che confronta il rapporto tra 2 varianze 1→ = 1?.2

Scomposizione della varianza

NB. Posso scomporre la varianza in varie componenti: ad esempio, ho due macchine che fanno bulloni (questi hanno una loro variabilità). Prendo la variabilità complessiva e la scompongo:

• Variabilità tra le macchine (between) → se è dominante le 2 macchine fabbricano i bulloni in modo diverso;
• Variabilità all’interno di ciascuna macchina (within) → se è dominante le 2 macchine non sono così diverse.

NB. Se ho solo 2 gruppi il test F è equivalente al test t; se ho più di due gruppi uso il test F: scompongono la varianza totale in varianza tra i gruppi e in varianza entro i gruppi e poi confronto queste 2 varianze con quella totale.

I test che vedremo invece non saranno del tipo “ignoro la struttura panel o no” ma saranno del tipo → “quanto diverse o uguali sono le varianze che ottengo dalle 3 stime” analisi della varianza. → =

Esempio – Test di ipotesi

Esempio – Test di ipotesi (RSS = residui “sum of square” sarebbe la devianza: ).

Procedimento:

1. Calcolo RSS per il modello within
2. Calcolo RSS per il modello totale
3. Trovo per differenza RSS between

RSS = RSS + RSS t w b

Abbiamo le intercette individuali significative: dobbiamo toglierle con Within o LSDV? LSDV, così quantifico l’effetto individuale relativo ad ogni US.

Diagnostica

RSS = 0,2640619

gdl = NT-N-K 17

S² 0,0155331

MVC -1

Lo SQM dei coefficienti è la radice della diagonale di S² (X’X)

Matrice di var-covar dei coefficienti

SQM dei coefficienti

MVC è dei coefficienti stimati (7x7) non è Ω! Sulla DP c’è la varianza dei coefficienti e la uso per il test F.

SQM sarebbe la SD di ogni coefficiente dei valori sulla DP.

Volendo, potrei calcolare la matrice di correlazione: divido i valori fuori dalla DP per i prodotti delle SD della riga e della colonna corrispondente. →

I valori del test t sono tutti significativi. Il test t valuta la significatività della differenza coefficiente – 0 qui ci interessa capire se le αi sono uguali o diverse ad un’intercetta comune. Confronto modello con una sola intercetta e il modello con 6 intercette (vedo R² che non è altro che una trasformazione della devianza spiegata).

Il modello con più intercette dà più GDL alla retta di passare vicino ai punti ed è migliore rispetto al modello con un’unica intercetta (modello overall/generale) perché il suo R² è maggiore.

Test sulle intercette

Il test dice che le intercette sono significativamente diverse da 0 ma è più appropriato valutare se tutte le intercette sono diverse da un qualche valore fissato (intercetta comune).

Valutiamo l’incremento di varianza spiegata tra il modello con unica intercetta (r) e quello non ristretto (6 intercette)

− −2 2( R R ) /( N 1)u p = F − − −( N 1, NT N K ) − − −2(1 R ) /( NT N K )u

−( 0,9924 0,9707 ) / 5 = = F 9,708 ( 0,00016 )( 5 ,17 ) −(1 0,9924 ) / 17

L’incremento di spiegazione è significativo

Notiamo l’analogia con MLE: - Qui abbiamo il modello ge