Appunti e Algoritmi di Calcolo Numerico

Metodi analitici e numerici per l’ingegneria

Politecnico di Milano - Facoltà di ingegneria industriale

Generalità

A==A’

Matrice simmetrica: = →

Matrice definita positiva: tutti gli autovalori sono reali e positivi (se > 0 ∀ ≠ 0 → > 0 ∀ min(eig(A))>0. È maggiore di 0 il minimo di essi, lo sono anche gli altri)

Fattorizzazione LU

La fattorizzazione LU si occupa di trovare:

• La matrice U tramite somme e sottrazioni tra le righe sottostanti il pivot e la riga pivotale moltiplicata per un opportuno coefficiente in modo da annullare tutti gli elementi al di sotto del pivot.
• La matrice L tramite risolvendo un sistema che verifichi l’uguaglianza =

La funzione Matlab che si occupa di eseguire la fattorizzazione LU di una matrice, con pivoting se necessario è tale per cui = ∗ :

[L,U,P] = lu(A);

È la matrice di permutazione, se eseguita (altrimenti è la matrice identità). P:

La condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza ed unicità della fattorizzazione LU della matrice non singolare con il Metodo di Eliminazione di Gauss senza Pivoting è che tutte le sue sottomatrici (quadrate) partendo da in alto a sinistra), siano non singolari, cioè ( ≠ 0.

Risoluzione di sistemi lineari

Per la risoluzione di sistemi lineari del tipo dove = matrice dei coefficienti: ∗ vettore delle incognite (da trovare): vettore dei termini noti:

Tramite l’algoritmo di sostituzione in avanti (fwsub.m), viene prima restituito il vettore soluzione di = e poi, mediante l’algoritmo di sostituzione all’indietro (bksub.m), viene restituito il vettore delle, , incognite, soluzione del sistema e del nostro sistema di partenza.

= [L,U,P] = lu(A)

• = �⃗ y = L \ P * b
• ⃗ = x = U \ y
• ⃗ = ⃗

Errore residuo normalizzato

Errore relativo − |��|− |��| |� =�||� =�| �||�|��| norm(A).

Per fare la norma di un vettore si utilizza la funzione.

Per calcolare il numero di condizionamento −1 |�() = ∗�||� �|

Gabriele Mazzolari A.A. 2019/2020 Pagina | 1

Metodi analitici e numerici per l’ingegneria

Politecnico di Milano - Facoltà di ingegneria industriale

Che esprime la sensibilità della soluzione a variazioni sui dati del problema (variazioni di si utilizza la )cond(A)

Che norm(A)*norm(inv(A)). funzione significa fare Il numero di condizionamento è bene sia ragionevolmente piccolo.

L’errore può essere stimato a priori mediante la formula: ���⃗�� () �||�2≤ � + � ||� ���⃗��� �||�()1 − 2 �||��⃗ −��⃗

Nei nostri casi quindi Pertanto: = 0, = − ⃗� = −⃗. ���⃗ − ⃗���|⃗|�()≤ = () 2 2���⃗�� ���⃗��

Vettore dei termini noti

Per la costruzione di un vettore dei termini noti, data la matrice dei coefficienti ed il vettore delle soluzioni esatte, basta fare . = ∗

Diagonali

diag(A,1)

La funzione si occupa di lavorare con le diagonali della matrice, numerandole in ordine crescente verso destra (0 e decrescente verso il basso (0 la diagonale “0” è la diagonale → ), ↓ −), principale.

Criteri d’arresto

I criteri d’arresto principali sono due: ()�� ��

• Quando la norma del residuo scende sotto una specificata tolleranza: ≤ 1�||�
• Quando la differenza tra due iterazioni successive scende sotto una specificata tolleranza: (+1) () ≤ − ���� 2

Autovalori

eig(A).

Gli autovalori di una matrice A sono calcolati e messi in un vettore dalla funzione | ()|

Se il modulo del massimo autovalore è distinto da quello di tutti gli altri e tutti gli autovettori sono linearmente indipendenti, allora tutti gli autovalori di A sono approssimabili tramite il metodo delle iterazioni QR (metodo delle potenze).

Metodo di Richardson (iterativo)

Il metodo di Richardson è un metodo iterativo. Il suo algoritmo è:

1. Scelta precondizionatore non singolare e (0)
2. = −
3. Per k = 0, … fino al criterio di arresto soddisfatto() () z = P \ r con un metodo diretto

a. =

b. Calcolare il parametro di accelerazione se non stazionario