Appunti di probabilità e statistica

Appunti di probabilità e statistica

L'origine del calcolo delle probabilità

L'origine del calcolo delle probabilità, come in ogni materia, si è sviluppato prevalentemente sulla base di studi e considerazioni teoriche riguardanti problemi del gioco d'azzardo. Volendo effettuare un controllo sulle possibilità della vincita, in mezzo a questo controllo c'è l'incertezza che può essere espressa da diversi possibili esiti. Questi esiti, sempre collegati a un determinato esperimento, possono descrivere due tipi di esperimenti:

• Esperimento deterministico: sappiamo descrivere precisamente dall'inizio alla fine dell'esperimento cosa potrà succedere;
• Esperimento casuale o aleatorio: sappiamo cosa potrà succedere, ma non sappiamo precisamente quale dei possibili esiti otterremo.

Un esempio pratico dell'esperimento deterministico potrebbe essere l'occasione in cui sfruttando le formulazioni matematiche, riusciamo a descrivere un fenomeno fisico, determinando il risultato del fenomeno in ogni istante della durata dell'esperimento. Invece, un esperimento aleatorio non ci permette una tale precisione, ma otteniamo un certo numero di esiti senza sapere quale di questi è effettivamente quello che si realizza. Un esempio dell'esperimento aleatorio potrebbe essere il lancio di un dado, in cui una volta che il dado si ferma otteniamo un certo esito, il quale però non possiamo predire con certezza prima che il dado si fermi, ma possiamo sempre esprimere una certa probabilità di ottenere uno dei sei esiti possibili.

Vocabolario

• W → (Esito) evento elementare: un evento elementare è un caso tra tutti i possibili casi che si possono ottenere;
• Ω → Spazio campionario (insieme di W): si vedranno due situazioni quasi contrastanti, in cui lo spazio campionario può essere discreto, oppure continuo:
  • Discreto: l'insieme di esiti elementari è un numero finito o infinito numerabile. Un esempio di uno spazio campionario discreto potrebbe essere un'urna che contiene 98 palline bianche, una pallina nera e una pallina verde, e in questo caso il numero dei possibili esiti è esattamente tre, ossia possiamo ottenere come risultato l'estrazione o di una pallina bianca o di una pallina nera o di una pallina verde. Poi riferendosi sempre a questo esperimento, all'estrazione non ci sarà una grande incertezza, poiché essendo il numero delle palline bianche di gran lunga superiore alle palline nere o verdi, potremmo pensare che quasi sicuramente, o come si dice “esito quasi certo”, otterremo una pallina bianca, quindi saremo interessati a misurare il grado di fiducia all'evento in cui otterremo una pallina bianca;
  • Continuo: l'insieme dei esiti elementari è un numero infinito non numerabile. Un esempio di spazio campionario continuo può essere l'esperimento in cui si effettua il lancio di una moneta finché come esito non esce “testa”; quello che ci interessa è sapere quanti tentativi sono stati necessari affinché uscisse come risultato “testa”. Quindi, è chiaro che in questo caso il numero degli esiti sarà pari al numero dei lanci con esito negativo finché non esce “testa”, dunque si ha comunque la possibilità di effettuare un numero di lanci molto elevato che si avvicini all'infinito, prima che possa uscire un esito positivo.

Eventi e operazione su eventi

Se prendiamo come esperimento la distribuzione di 10 carte per ogni giocatore, e vogliamo sapere qual è la probabilità di avere in mano l'asso di picche. Dunque, di tutti i possibili eventi che possono capitare (le 10 carte per ogni giocatore, sono le diverse possibili scelte di 10 carte), siamo interessati proprio a questo, e andremo a considerare il numero dei casi favorevoli affinché esca questa carta; mentre invece, se non siamo interessati ad una carta precisa, ma alle 10 carte per ogni giocatore, allora invece di considerare il numero dei casi favorevoli, dovremmo considerare tutti i casi possibili. Quindi, secondo certe restrizioni che stiamo costruendo, avremo diversi eventi. Su tutto un insieme di eventi possiamo ottenere esiti positivi o negativi, in base all'evento che vogliamo ottenere da un esperimento.

Per il momento concentriamoci sullo spazio campionario discreto, quindi possiamo contare il numero degli esiti, i quali saranno un numero finito.

Definizione

Sia Ω uno spazio campionario discreto; si chiama “evento” ogni sottoinsieme di Ω. La totalità di eventi possibili costituisce lo spazio degli eventi, ovvero “l'insieme delle parti” di Ω, e viene denominato con 𝒫(Ω).

Ad esempio: supponiamo di lanciare due monete, e di osservare i risultati che si possono ottenere, quindi indicheremo testa con T e croce con C. Si ha una serie di possibili eventi elementari formati da coppie: (T, T), (T, C), (C, T), (C, C). Questi sono tutti i possibili esiti e quindi questo esperimento è un esempio dello spazio campionario finito (discreto). Lo spazio campionario Ω sarà costituito da tutti questi esiti: {(T, T), (T, C), (C, T), (C, C)}.

Supponiamo di essere interessati ad uno di questi eventi: pertanto si ottiene un esito elementare: {(T, T)} oppure si ottiene un esito composto: {(T, C), (C, T)}, {(C, T)}, {(T, T), (T, C), (C, T)}. Notiamo che A e B sono equivalenti anche se dette in modo diverso, e pertanto se accade una, allora automaticamente accade anche l'altra. Supponiamo che invece di lanciare due monete, né lanciamo tre, ottenendo così che gli esiti saranno delle terne, e quindi cambiando esperimento, gli eventi faranno riferimento al nuovo esperimento e sostanzialmente andranno a cambiare rispetto a prima. Bisogna tener sempre presente che gli eventi affermano un qualcosa che è legato strettamente a un determinato esperimento, quindi cambiando gli esperimenti, gli eventi potranno affermare cose diverse.

Se prendiamo in esame un esperimento in cui si hanno tre possibili esiti {A, B, C}, l'insieme delle parti di Ω, ovvero l'insieme di tutti i possibili eventi (eventi semplici o eventi composti) sarà dato da: {∅, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, Ω}. Il caso impossibile e il caso certo Ω, sono casi estremi. Infine abbiamo otto eventi possibili, quindi l'insieme di tutti i possibili eventi sarà dato da: 𝒫(Ω) = 2^n nel nostro caso 2^3 = 8.

Una volta che abbiamo elencato tutti gli eventi, li possiamo far rappresentare tramite un insieme, e questo di solito capita quando dobbiamo capire quale relazione esiste tra i possibili eventi che sono presenti, ed un determinato enunciato. Queste relazioni li faremo tramite le rappresentazioni degli insiemi, ossia i diagrammi degli eventi.

Eventi e operazione su eventi

• Ω (intero spazio campionario) → Evento certo o sicuro (basta che si verifica un singolo evento elementare)
• ∅ (insieme vuoto) → Evento impossibile
• A̅ (Complementare di A) → Non si verifica A
• A ∪ B → Si verifica A o B (o entrambi)
• A ∩ B → Si verifica simultaneamente A e B

Indicatore di un evento:

• 1 se A è vero (si realizza)
• 0 se A è falso (non si realizza)

L'indicatore di un evento è una funzione che a un evento assegna il valore di 1 o 0, in base se questo evento è vero (nel senso che si realizza), oppure se questo evento è falso (nel senso che non si realizza).

Relazioni e operazioni logiche

• Negazione: A̅ = 1 - A
• Implicazione: Un evento implica un altro evento ed equivale alla diseguaglianza A ⊆ B, se |A| ≤ |B|
• Uguaglianza: Due eventi si dicono uguali se uno implica l’altro;
• Unione: l'unione di due eventi A e B è l'evento che è vero quando almeno uno dei due è vero, ed è falso quando sia A che B sono falsi. Tale evento si indica con: A ∪ B

Alle operazioni logiche possiamo applicare le seguenti proprietà:

• Associativa: (A ∪ (B ∪ C)) = (A ∪ B) ∪ C
• Commutativa: A ∪ B = B ∪ A

Osservazioni: A ∪ Ω = Ω; A ∪ ∅ = A; A ∪ A̅ = Ω

Intersezione: prodotto di due eventi A e B è un evento che è vero quando entrambi sono veri ed è falso quando almeno uno dei due è falso A ∩ B

• Associativa: (A ∩ (B ∩ C)) = (A ∩ B) ∩ C
• Commutativa: A ∩ B = B ∩ A

Osservazioni: A ∩ Ω = A; A ∩ ∅ = ∅; A ∩ A̅ = ∅

Incompatibilità: A ∩ B = ∅ (non possono essere entrambi veri)

Due elementi si dicono incompatibili quando questi si escludono tra di loro, ossia quando accade uno, l'altro non può verificarsi, o viceversa. Quindi, nell'intersezione non c'è niente in comune.

La corrispondenza tra i valori logici di due eventi A, B e quelli di A ∩ B e A ∪ B, è riportata nella Tabella 1. Quella tra gli indicatori è riportata nella Tabella 2.

Per dimostrare la proprietà dell'intersezione, per quello che riguarda gli indicatori: l'indicatore dell'evento intersezione deve essere uguale al prodotto dei valori degli indicatori, e per dimostrarlo sfruttiamo semplicemente la tabella sopra, dove vediamo che per ogni riga, l'indicatore dell’intersezione è dato dal prodotto degli indicatori riportati di fianco.

Lezione 2

Facendo riferimento alla Tabella 2 riportiamo di seguito le proprietà degli indicatori: al termine della lezione 1, abbiamo già dimostrato la prima proprietà degli indicatori; la seconda proprietà funziona seguendo lo stesso ragionamento, ma bisogna fare attenzione al caso in cui gli eventi non fossero compatibili tra di loro (esempio: prendiamo in considerazione due eventi “domani piove” e “domani non piove”, questi due eventi sono tra loro incompatibili, poiché non possono avvenire contemporaneamente), poiché in quel caso l'intersezione degli eventi ci darebbe l'evento impossibile, di per cui l'indicatore sarà pari a zero, allora in quel caso la seconda proprietà sarà data da:

Ora invece vediamo altre proprietà: quando si parla di intersezione, si può parlare in modo equivalente di insiemi, quindi quando abbiamo l'intersezione di due insiemi, questa è inclusa in ciascuno dei due insiemi. Quindi è incluso sia in A che in B. Inoltre, ciascuno degli eventi A e B, sono inclusi nel evento unione. Nel linguaggio degli eventi, vorrebbe dire che l'intersezione AB implica l'evento A, così come implica l'evento B. E questo vuol dire che se si verifica l'evento intersezione, allora si verifica sia l'evento A che l'evento B, e questo lo abbiamo spiegato con un esempio quando un evento implica un altro evento. A sua volta se si verifica uno dei due eventi (A o B), questo implica l'evento unione.

Ci sono alcune proprietà distributive che possiamo utilizzare quando dobbiamo rappresentare in modo formale un determinato enunciato utilizzando queste operazioni (somma logica e prodotto logico): quindi, sia il prodotto che la somma, si possono distribuire rispetto ad un'altra operazione. Vediamo ora altre proprietà importanti che sono le formule di De Morgan:

Queste due formule ci dicono che se facciamo una negazione di un'unione, vuol dire che questa equivale all’intersezione di altre due negazioni. Quindi, vuol dire che la negazione cambia l'operazione interna e la fa diventare intersezione, e poi nega ciascuno dei due eventi. Nel caso di una negazione di un’intersezione è la stessa cosa.

Esempio

1) Si lanciano due monete (vorrebbe anche dire lanciare una moneta due volte), e consideriamo questi due eventi:

• Evento A - esce testa al primo lancio
• Evento B - esce testa al secondo lancio

Quello che ci interessa è vedere cosa vuol dire l'evento contrario di A, l'evento contrario di B, l'evento unione, l'evento intersezione e l'evento intersezione dei contrari:

• A̅ (esce croce al primo lancio)
• B̅ (esce croce al secondo lancio)
• A ∪ B (esce testa o al primo o al secondo lancio)
• A ∩ B (esce testa in entrambi i lanci)
• A̅ ∩ B̅ (esce croce in entrambi i lanci)

Vediamo che A̅ ∩ B̅ è proprio il contrario di A ∪ B.

Gli esiti elementari di questo esperimento sono:

• Evento certo è costituito da tutte le sequenze dei due lanci: Ω = {(T, T), (T, C), (C, T), (C, C)}
• A̅ = “Croce al primo lancio” = {(C, T), (C, C)} è costituito da tutte le sequenze dei lanci che negano l'evento A;
• B̅ = “Croce al secondo lancio” = {(T, C), (C, C)} è costituito da tutte le sequenze dei lanci che negano l'evento B;
• A ∪ B = “testa al primo o al secondo lancio” = {(T, T), (T, C), (C, T)} è costituito da tutte le sequenze dei lanci che hanno come evento complementare la coppia {(C, C)};
• A ∩ B = “testa al primo e al secondo lancio” = {(T, T)} è costituito da un'unica coppia che risulta l'unione degli eventi contrari A̅ ∪ B̅.

2) Supponiamo di avere tre eventi A, B e C, e vogliamo scrivere l'evento che è vero quando:

• a) si verifica solo A
• b) si verifica solo B e C, ma non A
• c) si verifica almeno uno dei tre eventi
• d) si verificano almeno due dei tre eventi
• e) si verificano tutti e tre eventi
• f) nessuno degli eventi si verifica
• g) al più uno degli eventi si verifica
• h) al più due degli eventi si verificano

Dobbiamo essere in grado di scrivere ognuna di queste affermazioni secondo un'operazione tra gli insiemi:

• a) A ∩ B̅ ∩ C̅: Così diciamo che si verifica A e non si verificano B e C. Bisogna fare attenzione a non scrivere come espressione “A”, poiché dobbiamo esplicitare la condizione che si deve verificare “solo” A, e quindi dobbiamo escludere sia B che C. Dobbiamo effettuare un’intersezione così da ottenere una contemporaneità tra gli eventi;
• b) B ∩ C ∩ A̅: Così diciamo che si verifica B e C, ma non A;
• c) A ∪ B ∪ C: Così diciamo che o capita un evento o un altro o tutti. L'unione significa che si verifica almeno uno di questi tre eventi;
• d) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C): Scrivendo AB, stiamo dicendo che si verifica sia A che B, e con questo ragionamento facendo riferimento al caso di prima, otteniamo che capita sicuramente una coppia di eventi;
• e) A ∩ B ∩ C: Significa che tutti gli eventi si verificano simultaneamente;
• f) A̅ ∩ B̅ ∩ C̅: Secondo De Morgan, questo caso nega quello che dice il caso c), pertanto f) = (A ∪ B ∪ C)̅;
• g) La frase “al più uno” equivale al fatto che al massimo uno degli eventi si verifica (può succedere che neanche uno degli eventi si verifica), pertanto possiamo collegare questo evento con il caso c) (si verifica almeno uno dei tre eventi) o con il caso d) (si verificano almeno due dei tre eventi). La relazione che lega l'evento g) con l'evento d) è che uno è il contrario dell'altro, pertanto facendo il contrario di d) utilizzando la proprietà di De Morgan, otteniamo: (A ∩ B)̅ ∩ (B ∩ C)̅ ∩ (A ∩ C)̅;
• h) A ∪ B ∪ C: Per poter descrivere questo evento possiamo negare l'evento e), così da ottenere una condizione in cui non si verificano tutti e tre gli eventi, ma si verificano due di questi, o si verifica uno di questi, oppure nessuno, il che soddisfa la richiesta dell'esercizio. Pertanto l'evento h) sarà descritto dall’operazione: A ∪ B ∪ C.

Abbiamo notato che gli ultimi tre eventi possono essere un po' complicati nella fase della rappresentazione, pertanto quando capitano casi del genere, per facilitare il ragionamento spesso conviene invece che concentrarsi sul testo della richiesta, bensì cercare di valutare il suo contrario.