Appunti di Probabilità e Statistica

Appunti di probabilità e statistica

Gaia Michelazzi e Martina Maione

17 giugno 2019

"Le domande più importanti della vita sono, per la gran parte, davvero soltanto problemi di probabilità." (Pierre Simon Laplace)

Indice

I Probabilità 3

• Spazi di probabilità 4
• Spazi di probabilità discreti 5
• Probabilità condizionata ad un evento 9
• Indipendenza di eventi 10
• Variabili aleatorie 12
• Variabili aleatorie discrete 14
• Indipendenza di variabili aleatorie discrete 16
• Esempi di variabili aleatorie discrete 18
• Media di una variabile aleatoria discreta 23
• Catene di Markov 28
• Variabili aleatorie reali 31
• Vettori aleatori reali 31
• Indipendenza di variabili aleatorie reali 32
• Variabili aleatorie continue 35
• Media di una variabile aleatoria continua 37
• Esempi di variabili aleatorie continue 38
• Variabili aleatorie normali 39
• χ-quadrato
• Variabili aleatorie e t di Student 42
• Vettori aleatori 2-dimensionali continui 46
• Momenti, covarianza e varianza 51
• Funzione generatrice dei momenti 55
• Integrazione di funzioni a due variabili 57

II Statistica 59

• Intervalli di confidenza 64

Parte I

Probabilità

Capitolo 1

Spazi di probabilità

Definizione 1

F P(ℬ) F ⊂ Sia ℬ un insieme qualsiasi e sia l’insieme dei sottoinsiemi di ℬ. Si dice σ-algebra su ℬ se si ha:

• ℬ ∈ F
• Se A ∈ F ⇒ A^C ∈ F
• Se {A_n}_n∈N ⊂ F allora ∪_n∈NA_n ∈ F

Definizione 2

F F → misura di σ-algebra. P Sia ℬ un insieme e sia una. Una funzione P: F → [0, 1] si dice probabilità (oppure misura di probabilità) se si ha:

• P(∅) = 0
• P(ℬ) = 1
• Se {A_n}_n∈N ⊂ F tale che A_n ∩ A_m = ∅, ∀m ≠ n ∈ N (cioè se è costituita da elementi a due a due disgiunti) ⇒ P(∪_n∈NA_n) = ∑_n∈NP(A_n)

Definizione 3

F F σ-algebra P Sia ℬ un insieme, sia una su ℬ, sia una probabilità su F. Allora la coppia (ℬ, F) si dice spazio misurabile di probabilità, eventualmente (ℬ, F, P); gli elementi di ℬ si dicono ω e gli elementi di F si dicono eventi A.

Proposizione 1

[Formula di inclusione-esclusione]

F, P Sia (ℬ, F) uno spazio di probabilità, si ha:

• Se A, B ∈ F e A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
• Se {A_n}_n∈N ⊂ F ⇒ P(∪_n∈NA_n) ≤ ∑_n∈NP(A_n)
• Se A, B ∈ F ⇒ P(B) = P(A) + P(B\A)
• Se A₁, ..., A_n ∈ F allora: P(∪_i=1ⁿA_i) = ∑_i=1ⁿP(A_i) − ∑_i=1ⁿ∑_j=i+1ⁿP(A_i ∩ A_j) + ∑_i=1ⁿ∑_j=i+1ⁿ∑_k=j+1ⁿP(A_i ∩ A_j ∩ A_k) + ... + (−1)ⁿ⁻¹P(A₁ ∩ ... ∩ A_n)
• In particolare, se A, B ∈ F si ha: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• Se A^C ∈ F ⇒ P(A^C) = 1 − P(A)

Dimostrazione

1-3 A ∪ (B\A) = B, dove A ∩ (B\A) = ∅ ⇒ P(B) = P(A) + P(B\A) ⇒ P(B) ≥ P(A).

4 Caso particolare con n = 2 devo dimostrare che P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). A ∪ B = A ∪ (B\A) con A e B\A disgiunti ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B\A). Per il punto 1 si ha: P(B\A) = P(B) − P(A ∩ B). Perciò P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

5 Si ha A ∪ A^C = ℬ e A ∩ A^C = ∅. Quindi 1 = P(ℬ) = P(A ∪ A^C) = P(A) + P(A^C). Perciò P(A^C) = 1 − P(A).

Proposizione 2

F F {A_n}_n∈N ⊂, P Sia (ℬ, F) uno spazio di probabilità e sia allora:

• Se A_n+1 ⊃ A_n, ∀n ∈ N allora lim_n→+∞P(A_n) = P(∪_n∈NA_n)
• Se A_n+1 ⊂ A_n, ∀n ∈ N allora lim_n→+∞P(A_n) = P(∩_n∈NA_n)

1.1 Spazi di probabilità discreti

Definizione 1

P(ℬ), P Sia ℬ un insieme numerabile e sia una misura di probabilità su P(ℬ), allora la tripla (ℬ, P(ℬ), P) si dice spazio di probabilità discreto.

Definizione 2

→ P f f Sia ℬ un insieme numerabile, una funzione f: ℬ → [0, 1] tale che ∑_ω∈ℬf(ω) = 1 si dice densità discreta su ℬ.

Osservazione 1

P(ℬ)) f Se esiste una densità discreta su ℬ numerabile si può definire su (ℬ, P(ℬ)) la seguente misura di probabilità P: ∀A ⊂ ℬ, P(A) = ∑_ω∈Af(ω).

P(ℬ)), P f Se, viceversa, P è una misura di probabilità su (ℬ, P(ℬ)), esiste la seguente densità discreta su ℬ: ∀ω ∈ ℬ, f(ω) = P({ω}).

Definizione 3

P(ℬ)) uniforme discreta P Sia ℬ finito, una misura di probabilità su (ℬ, P(ℬ)), si dice se si ha: 1 ∀ω ∈ ℬ, P({ω}) = 1/|ℬ|.

Osservazione 2

|A| num. casi favorevoli ∀A ⊂ ℬ, nelle ipotesi della definizione 3, P(A) = |A|/|ℬ| = num. casi possibili.

Dimostrazione

∀A ⊂ ℬ, P(A) = ∑_ω∈AP({ω}) [Poiché A = ∪_ω∈A{ω} e inoltre sono disgiunti, cioè ω_i ∩ ω_j = ∅, ∀i ≠ j] = ∑_ω∈AP({ω}) = ∑_ω∈A1/|ℬ| = |A|/|ℬ|, dove |A| è la cardinalità di A e |ℬ| è la cardinalità di ℬ.

Definizione 4

∈ {1, {1, k, n K ..., k}, N ..., n}. Siano n, k ∈ N e sia K = {1, ..., k}, N = {1, ..., n}. Allora:

• Si indica con N^K l’insieme delle funzioni da K in N, quindi identifichiamo N^K con N · ... · N = N^k.
• Se k ≤ n si indica con D_n,k l’insieme delle funzioni iniettive (disposizioni) da K in N, quindi identifichiamo D_n,k con l’insieme dei vettori ω = (ω₁, ..., ω_k) tale che ω_i ≠ ω_j, ∀i ≠ j. Se in particolare k = n allora D_n,k è l’insieme delle permutazioni di K.

Osservazione 3

Nelle ipotesi della definizione 4, si ha:

• |N^K| = n^k
• Se k ≤ n, |D_n,k| = n(n − 1) ... (n − k + 1) = n!/(n−k)!
• |D_n,k|/k! = n!/(k!(n−k)!)

Dimostrazione

1. ∀f ∈ N^K cioè per ogni funzione da K in N, l’immagine mediante f dei k elementi di K può essere scelta in n modi diversi, quindi |N^K| = n^k.

2. Se k ≤ n, ∀f ∈ D_n,k: l’immagine mediante f del 1 elemento di K può essere scelta in n modi diversi; l’immagine mediante f del 2 elemento di K può essere scelta in n − 1 modi diversi; così via... Poiché |K| = k ⇒ |D_n,k| = (n)_k.

3. Segue dal punto 2.

Definizione 5

∈ {1, {1, k, n K ..., k}, N ..., n}. Siano n, k ∈ N; sia K = {1, ..., k} e sia N = {1, ..., n}, allora:

• Se P è la misura di probabilità uniforme discreta su N^K, lo spazio di probabilità (N^K, P(N^K), P) si dice campionamento con reimmissione; inoltre, un elemento ω = {ω₁, ..., ω_k} ∈ N^K si dice campione con reimmissione.
• Se k ≤ n e P è la misura di probabilità uniforme discreta su D_n,k, lo spazio di probabilità (D_n,k, P(D_n,k), P) si dice campionamento senza reimmissione; inoltre, un elemento ω = {ω₁, ..., ω_k} ∈ D_n,k si dice campione senza reimmissione.

Definizione 6

n ∈ N, tale che k ≤ n e sia N = {1, ..., n}; C_n,k si indica con l’insieme dei sottoinsiemi di N di cardinalità k.

Osservazione 4

Nelle ipotesi della definizione 6 si ha: |C_n,k| = n!/[k!(n − k)!] ≡ (n sopra k).

Dimostrazione

Parto da |C_n,k|, dove |C_n,k| è il numero dei sottoinsiemi di N di cardinalità k. Moltiplico per |D_k,k|, dove |D_k,k| è il numero delle permutazioni di un sottoinsieme di N di cardinalità k.

|C_n,k| · |D_k,k| = |D_n,k|, dove |D_n,k| è il numero dei sottoinsiemi ordinati di N di cardinalità k. ⇒ |C_n,k| = |D_n,k|/|D_k,k| = n(n−1)...(n−k+1)/k! = n!/[k!(n−k)!].

Teorema 1

[Teorema del campionamento senza reimmissione]

∈ {1, k, m, n k n, m n. N₁, ..., N_m ⊂ N = {1, ..., n}. Siano tale che N_i ∩ N_j = ∅, ∀i ≠ j e tale che |N_i| = n_i, ∀i = 1, ..., m, quindi n₁ + ... + n_m = n; inoltre, R₁, ..., R_m ⊂ {1, ..., k} siano tale che R_i ∩ R_j = ∅, ∀i ≠ j e tale che |R_i| = r_i, ∀i = 1, ..., m, quindi r₁ + ... + r_m = k.

Allora, se (D_n,k, P(D_n,k), P) è un campionamento senza reimmissione si ha:

P({ω = (ω₁, ..., ω_k) ∈ D_n,k : ω_j ∈ N_i, ∀i = 1, ..., m, ∀j ∈ R_i}) = [n₁(n₁−1)...(n₁−r₁+1) · n₂(n₂−1)...(n₂−r₂+1) · ... · n_m(n_m−1)...(n_m−r_m+1)]/[n(n−1)...(n−k+1)].

Dimostrazione

∀i, |{ω_j ∈ N_i: ∀j = 1, ..., m}| = n₁(n₁−1)...(n₁−r₁+1) · n₂(n₂−1)...(n₂−r₂+1) · ... · n_m(n_m−1)...(n_m−r_m+1) · (n−r₁−...−r_m)(n−r₁−...−r_m−1)...(n−k+1).

Semplifico i termini uguali al numeratore e al denominatore e ottengo la tesi.

Capitolo 2

Probabilità condizionata ad un evento

Definizione 1

F misura di, P H P > Sia (ℬ, F) uno spazio di probabilità e sia H ∈ F tale che P(H) > 0; si chiama probabilità condizionata ad H la misura di probabilità su (ℬ, F), indicata con P(·|H), definita da P(A|H) = P(A ∩ H)/P(H), ∀A ∈ F.

Proposizione 1

[Formula delle alternative]

F {B_n}, P Sia (ℬ, F) uno spazio di probabilità, sia una partizione di ℬ costituita da eventi di F tale che P(B_n) > 0, ∀n ∈ N; allora, ∀A ∈ F, si ha: P(A) = ∑_n∈NP(A|B_n) · P(B_n).

Dimostrazione

P(A) = P(∪_n∈N{A ∩ B_n}) = ∑_n∈NP(A ∩ B_n). Poiché gli insiemi {B_n ∩ A}_n∈N sono disgiunti: = ∑_n∈N...

Proposizione 2

[Formula di Bayes elementare]

Nelle ipotesi della proposizione 1, ∀A ∈ F tale che P(A) > 0 e ∀n ∈ N si ha: P(B_n|A) = [P(A|B_n) · P(B_n)]/[∑_n∈NP(A|B_n) · P(B_n].

Dimostrazione

Per la proposizione 1 si ha: P(B_n|A) = P(B_n ∩ A)/P(A). Perciò: P(B_n|A) = [P(A|B_n) · P(B_n)]/[∑_n∈NP(A|B_n) · P(B_n)].

Proposizione 3

F F ∈, P A₁, ..., A_n Sia (ℬ, F) uno spazio di probabilità e siano tali che P(A₁ ∩ ... ∩ A_n−1) > 0; si ha allora ∀2 ≤ m ≤ n, P(A₁ ∩ ... ∩ A_m) = P(A₁) · P(A₂|A₁) · ... · P(A_m|A₁ ∩ ... ∩ A_m−1).

Dimostrazione

Per induzione su m = 2.

• Per m = 2 la tesi è vera.
• Suppongo sia vera per 2 ≤ m ≤ n − 1.
• Per m + 1 si ha per ipotesi induttiva: P(A₁ ∩ ... ∩ A_m+1) = P(A₁ ∩ ... ∩ A_m)P(A_m+1|A₁ ∩ ... ∩ A_m) = P(A₁)P(A₂|A₁) ... P(A_m|A₁ ∩ ... ∩ A_m−1)P(A_m+1|A₁ ∩ ... ∩ A_m).

2.1 Indipendenza di eventi

Definizione 1

F F ∈, P A₁, ..., A_n Sia (ℬ, F) uno spazio di probabilità e siano. Allora:

• Si dice che gli eventi A₁, ..., A_n sono indipendenti se ∀k ∈ {1, ..., n} e ∀1 ≤ i₁ < ... < i_k ≤ n, si ha: P(A_i1 ∩ ... ∩ A_ik) = P(A_i1) · ... · P(A_ik).
• Si dice che gli eventi A₁, ..., A_n sono a due a due indipendenti se ∀i, j ∈ {1, ..., n}, i ≠ j, si ha: P(A_i ∩ A_j) = P(A_i) · P(A_j).

Definizione 2

F F {A_n}_n∈N ⊂, P Sia (ℬ, F) uno spazio di probabilità e siano.

• Si dice che gli eventi {A_n}_n∈N sono indipendenti se, ∀m ∈ N*, gli eventi A₁, ..., A_m sono indipendenti.
• Si dice che gli eventi {A_n}_n∈N sono a due a due indipendenti se ∀i, j ∈ N*, i ≠ j, si ha: P(A_i ∩ A_j) = P(A_i) · P(A_j).

Osservazione 1

Se gli eventi A₁, .., A_n ∈ F sono indipendenti, allora sono a due a due indipendenti.

Osservazione 2

Se gli eventi {A_n}_n∈N ⊂ F sono indipendenti allora sono a due a due indipendenti.

Osservazione 3

F F ∈, P A, B Sia (ℬ, F) uno spazio di probabilità e siano; le seguenti condizioni sono equivalenti:

• A e B sono eventi indipendenti.
• Se P(A) > 0 si ha P(B|A) = P(B).

Dimostrazione

1 ⇒ 2 Se A e B sono indipendenti, si ha P(A ∩ B) = P(A)P(B); quindi, se P(A) > 0 si ha: P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = P(B).

2 ⇒ 1 Supponiamo che valga la 2. Se P(A) > 0 si ha: P(A ∩ B) = P(B|A) · P(A) = P(A) · P(B). Se invece P(A) = 0 si ha: P(A ∩ B) = 0 = P(A) · P(B).

Capitolo 3

Variabili aleatorie

Definizione 1

F E F → -misurabile f E /E Siano (ℬ, F) e (E, E) spazi misurabili; una funzione f: ℬ → E si dice F/E-misurabile se ∀A ∈ E si ha f⁻¹(A) ∈ F (si dice anche che f: (ℬ, F) → (E, E) è misurabile).

Definizione 2

A P(R); A B {(-∞, x] x ∈ R}; non è una σ-algebra su R; indichiamo con B la più piccola σ-algebra su R contenente A. B si dice σ-algebra di Borel su R.

Osservazione 1

B contiene gli insiemi (-∞, x), (-∞, x], [x, +∞), (x, +∞), [x, y), (x, y), (x, y], y), al variare di x, y ∈ R.

Osservazione 2

f: R → R Una funzione continua rispetto alla topologia euclidea è B/B-misurabile. Il viceversa non vale.

Osservazione 3

F B) → ∈ f, g a, b Siano f, g: (ℬ, F) → (R, B) funzioni misurabili, e siano allora:

• La funzione af + bg: (ℬ, F) → (R, B) è misurabile.
• La funzione fg: (ℬ, F) → (R, B) è misurabile.
• La funzione 1/f: (ℬ, F) → (R, B) è misurabile, se f(ω) ≠ 0, ∀ω ∈ ℬ.

Definizione 3

F E, P Sia (ℬ, F) uno spazio di probabilità e sia (E, E) uno spazio misurabile; una funzione X: (ℬ, F) → (E, E) misurabile si dice variabile aleatoria (si scrive anche X: (ℬ, F, P) → (E, E)).

Definizione 4

L E →