Appunti di probabilità e statistica

Probabilità e statistica - programma

Elementi di probabilità

Un esperimento aleatorio è una situazione in cui non è possibile predire con certezza il risultato per:

• Mancanza di informazioni;
• Impossibilità di ottenere ulteriori informazioni;
• Costo eccessivo di ulteriori informazioni.

Dato un esperimento aleatorio, lo spazio campionario è l'insieme di tutti i risultati possibili w. Ω

Dato un esperimento aleatorio, l'evento è una proposizione (vera o falsa) dipendente dal risultato che si rappresenta come un sottoinsieme di . Ω

Un evento E si verifica se il risultato w dell'esperimento aleatorio è un elemento di E.

• L'insieme vuoto è chiamato evento impossibile; ∅
• L'insieme intero è chiamato evento certo. Ω

Due eventi A e B si dicono disgiunti se è impossibile che si verifichino contemporaneamente, ovvero: se si verifica uno non si può verificare l'altro. ∩ ≠ ∅ →

Nel modello probabilistico le relazioni logiche, o proposizioni, tra eventi devono corrispondere a operazioni tra sottoinsiemi: ̅

• Negazione = se si verifica l'evento complementare non si verifica l'evento A (e viceversa);
• Unione logica = si verifica se e solo se si verifica almeno uno dei due eventi; ∪
• Intersezione logica = si verifica se e solo se si verificano entrambi [dire che due eventi si sono ∩ verificati contemporaneamente equivale a dire che si è verificata la loro intersezione].

Operazioni tra eventi

Operazioni tra eventi:

1. ( ∪ ∩ ) = ( ∪ ) ∩ ( ∪ )
2. ( ( ( ∩ ∪ ) = ∩ ) ∪ ∩ ) ̅
3. ∩ = ∪ ̅
4. ∪ = ∩
5. − = ∩

Dato uno spazio campionario con la famiglia di eventi relativa (sottoinsieme di ) si chiama probabilità la Ω Ω funzione che a ogni evento A associa un numero ovvero indica il grado di fiducia nell'avverarsi di un [0,1]∈ evento.

Gli assiomi della probabilità sono: 0 ≤ ℙ{A} ≤ 1

1. Normalizzazione → ℙ{Ω} = 1
2. Additività [con A,B eventi disgiunti] → ℙ{ ∪ } = ℙ{} + ℙ{}
3. Positività → ℙ{A} ≥ 0

Le conseguenze degli assiomi della probabilità sono:

• ℙ{∅} = 0 perché Ω = Ω ∩ ∅ → 1 = ℙ{Ω} + ℙ{∅} → 1 = 1 + ℙ{∅} → ℙ{∅} = 0
• [Con A,B eventi qualsiasi] ℙ{A ∪ } = ℙ{A} + ℙ{B} − ℙ{A ∩ } perché se A e B non sono disgiunti ( nella prima somma vado a contare due volte gli ∩ ≠ ∅) elementi in comune, dunque devo sottrarli. [formula inversa] ℙ{A ∩ } = ℙ{A} + ℙ{B} − ℙ{ ∪ } ̅
• } ℙ{ = 1 − ℙ{A}

N.B se ovvero è un sottoevento di se si verifica si verifica anche ⊆ , , → ℙ{A} ≤ ℙ{B}

Probabilità condizionata

Dati due eventi e la probabilità condizionata è la probabilità che si verifichi supponendo che si sia , verificato ciò ci fa cambiare il grado di fiducia nel verificarsi di → . ℙ{A ∩ } = ℙ{A|H}ℙ{H}

La probabilità di dato (o rispetto a ): ℙ{A ∩ } = ℙ{H|A}ℙ{A}}

ℙ{ ∩ con ℙ{A|H} = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ℙ{H} > 0} ℙ{

Probabilità e statistica Pagina 1

Due eventi A,B si dicono staticamente indipendenti se:

ℙ{ ∩ } ℙ{A ∩ } = ℙ{A}ℙ{B} → ℙ{A} = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯= ℙ{A|B} con ℙ{B} > 0 ℙ{ }

Siano una famiglia di eventi a due a due disgiunti, la cui unione sia l'insieme con } , , … , Ω, ℙ{ > la formula delle probabilità totali è così definita: 0 ∀, } ℙ{ } } ℙ{ } } ℙ{ } } ℙ{ } ∑ℙ{A} = ℙ{A| = ℙ{A| + ℙ{A| + ⋯ + ℙ{A|

Dimostrazione:

Sia ( ) ( ) ( ) = ∩ ∪ ∩ ∪ ⋯ ∪ ∩ Dove gli eventi sono eventi disgiunti. ( ), ( ), ( ) ∩ ∩ … , ∩

Dunque } } } ∑ → ℙ{A} = ℙ{ ∩ + ℙ{ ∩ + ⋯ + ℙ{ ∩ = ℙ{ ∩ }

Dalla definizione di probabilità condizionata abbiamo che: } } ℙ{ } ℙ{ ∩ = ℙ{A|

Quindi } ℙ{ } ∑ → ℙ{A} = ℙ{A|

Formula di Bayes

Dati due eventi con e la formula di Bayes, prendendo come dato di fatto che si, ℙ{A} > 0 ℙ{H} > 0 sia verificato, stabilisce la probabilità che a causarlo sia stato l'evento ed è così definita:,A H } ℙ ℙ{ ℙ{H|A} = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯} ℙ{

Es:

Preso un pezzo a caso su tutta la produzione, qual è la probabilità che sia difettoso? = con = = 1,2,3

ℙ( ) = ⎯⎯ Stabilimento % produzione % difettoso

ℙ( ) = ⎯⎯ 1 20% 1%)

ℙ( = ⎯⎯ 2 30% 2%

ℙ(| ) = ⎯⎯⎯ 3 50% 5%

ℙ(| ) = ⎯⎯⎯

ℙ(| ) = ⎯⎯⎯ )

ℙ( ) )( ) )( ) ℙ() = ℙ(| + ℙ(| + ℙ(| = ⎯⎯⎯⎯

Qual è la probabilità che il pezzo difettoso sia stato prodotto da ?

D ℙ ℙ{ }|D} ℙ{ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯ ℙ{ }

Eventi indipendenti

Due eventi e si dicono (statisticamente) indipendenti se: ℙ{ ∩ } = ℙ{}ℙ{} } ℙ{ ∩

N.B Se ℙ{} > 0 → ℙ{ ∩ } = ℙ{}ℙ{} ⟺ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯= ℙ{} ⟺ ℙ{│} = ℙ{}. ℙ{ }

Es:

Esperimento: estrazione di una carta da un mazzo di 52 = → ℙ{} = ⎯⎯= ⎯⎯ = ℎ → ℙ{} = ⎯⎯= ⎯ e sono indipendenti.

ℙ{ ∩ } = ⎯⎯= ⎯⎯ ⎯ = ℙ{}{} →

Proprietà di due eventi indipendenti: ̅

• Se e sono indipendenti allora e sono indipendenti (o e ). ▪ Dimostrazione: ̅ (A∩ = − ∩ ) ℙ{}ℙ{̅} ℙ{ ̅ ∩ } = ℙ{} − ℙ{ ∩ } = ℙ{} − ℙ{}ℙ{} = ℙ{}(1 − ℙ{}) =
• Se e sono indipendenti allora e sono indipendenti. ▪
• Se allora e sono indipendenti, qualunque sia ▪ ℙ{}= 0 .
• È indipendente da oppure ▪ ⟺ ℙ A = 0 ℙ A = 1.

Probabilità e statistica Pagina 2

• È indipendente da oppure ▪ ⟺ ℙ{A} = 0 ℙ{A} = 1.
• Se è indipendente da che è indipendente da non è vero che è indipendente da ▪ , , .
• Eventi indipendenti (salvo casi limite) non possono essere disgiunti. ▪

Eventi sono indipendenti se, comunque se ne prendano che indichiamo , , … , ≤ , tra di loro (con indici diversi) risulta: , , … , , , … , ℙ ∩ ∩ ⋯ ∩ = ℙ ℙ{ } … ℙ{ }

Tre eventi , sono indipendenti se valgono le seguenti relazioni: ,

} ℙ{A ∩ A = ℙ{A }ℙ{A } ⎧⎪

} ℙ{A ∩ A = ℙ{A }ℙ{A }}

ℙ{A ∩ A = ℙ{A }ℙ{A } ⎨⎪

} } ℙ{ } ℙ{ } ℙ{ ∩ ∩ = ℙ{ ⎩

Es:

Si lanciano due monete {(), (), (), ()} → Ω ={(), {(), {(),()} ()} ()} = → ℙ{} = ⎯; = → ℙ{}= ⎯; = → ℙ{} = ⎯

ℙ{ ∩ } = ⎯ = ℙ{}ℙ{}; ℙ{ ∩ } = ⎯ = ℙ{}ℙ{}; ℙ{ ∩ } = ⎯ = ℙ{}ℙ{}.

Gli eventi sono indipendenti a due a due ma non sono indipendenti tutti e tre insieme perché:

ℙ{ ∩ ∩ } = ⎯ ≠ ⎯ = ℙ{}ℙ{}ℙ{}.

Es:

Si lanciano due dadi truccati {(ℎ,→ Ω = )|ℎ, = 1, … 6}{(ℎ, {(ℎ, = )| = 1,2,5} → ℙ{} = ⎯; = )| = 4,5,6} → ℙ{} = ⎯;{(ℎ, = )|ℎ + = 9} → ℙ{} = ⎯;

ℙ{ ∩ } = ⎯ ≠ ⎯ = ℙ{}ℙ{}; ℙ{ ∩ } = ⎯⎯≠ ⎯⎯= ℙ{}ℙ{}; ℙ{ ∩ } = ⎯⎯≠ ⎯⎯= ℙ{}ℙ{}.

Gli eventi non sono indipendenti, nonostante ℙ{ ∩ ∩ } = ⎯⎯= ℙ{}ℙ{}ℙ{}.

Osservazione

Osservazione: dati due eventi A,B con tale che dove ( = ∪ − ) → ℙ{B} = ℙ{A} + ℙ{B − A}

In particolare, siccome allora ℙ{B − A} = ℙ{B} − ℙ{A}. ⊆ ℙ{A} ≤ ℙ{B}.

Se non è necessariamente vero che ⊈ B, ℙ{B − A} = ℙ{B} − ℙ{A}.

Inoltre: ⊆ ∪ → ℙ{A} ≤ ℙ{A ∪ } ⊆ ∪ → ℙ{B} ≤ ℙ{A ∪ }

Siano A,B due eventi → max ℙ{A}, ℙ{B} ≤ ℙ{A ∪ } ≤ ℙ{A} + ℙ{B}

Dimostrazione:

Se A,B sono due eventi qualsiasi allora ℙ{A ∪ } = ℙ{A} + ℙ{B} − ℙ{A ∩ }

Quindi ℙ{A ∪ } ≤ ℙ{A} + ℙ{B} ≤ 0

Esperimento nel quadrato

Esperimento:

Scelgo un punto a caso nel quadrato di vertici (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1) e prendo un sottoinsieme determinato dalla zona in rosso. Qual è la probabilità che il punto scelto cada in tale zona?

Nel modello probabilistico è il quadrato e gli eventi sono sottoinsiemi di esso. Ω

Punto scelto cade in A"~"il → ℙ{A} = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= ⎯.

Esperimento nel cerchio

Esperimento:

Scelgo un punto a caso in un cerchio. Qual è la probabilità di colpire il cerchio di raggio 3 cm?

Supponendo che il cerchio più grande di 10 cm sia effettivamente colpito:

Di raggio 10 cm"Ω~"cerchio il cerchio di raggio 3 cm" .~"colpisco → ℙ{E} = ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯= ⎯⎯⎯

[Non è un modello realistico perché non tengo in considerazione altri fattori]

Variabili aleatorie

Probabilità e statistica Pagina 3

Variabili aleatorie

In un'esperimento aleatorio spesso più che il risultato interessa una sua funzione, ovvero qualche numero casuale che sintetizza l'osservazione

Es:

Nel lancio di due dadi mi interessa la somma del risultato di ogni singolo dado.

In un sondaggio tra SI e NO mi interessa il numero totale di SI e NO.

In un controllo di qualità mi interessa il numero totale di pezzi difettosi ecc..

Una variabile aleatoria è una funzione definita su una corrispondenza tra gli elementi di e i: Ω → ℝ Ω, Ω numeri reali, che deve soddisfare la condizione:

{|() = ≤ } ∈ ℱ ∀ ∈ ℝ.

Es:

Scelto un punto a caso nel cerchio (lancio di freccette), non ci interessa il punto scelto ma la sua distanza dal centro (variabile aleatoria). ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯.

Ω = {(, )| + < → (, ) = +

L'insieme dei valori che la variabile aleatoria può assumere è detto supporto.

Se il supporto è numerabile allora la variabile aleatoria è discreta. { }, , …

Es:

Lancio infinite volte una moneta finché esce testa.

È il numero del lancio in cui osservo testa per la prima volta valori {1,2,3,…} dunque è discreta. →

Es:

Ho due giocatori e ciascuno di loro fa il lancio di due dadi.

v.a. S risultato giocatore 1 1

v.a. S risultato giocatore 2 2

Spazio campionario {(ℎ )|1Ω = , , ℎ , ≤ ℎ , , ℎ , ≤ 6}

con (ℎ ) , , ℎ , = ℎ + = 1,2. risultato non dipende da j].

ℙ = 3 = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯= ⎯⎯ [il

Analogamente non dipende da j. ℙ = }

Densità discreta

Sia una variabile aleatoria discreta con valori si chiama densità discreta di la funzione: { }, , , … [l'elenco delle probabilità di osservare certi valori]

{ } [0,1] ( ) : , , … → → = ℙ{X = }

Le proprietà della densità discreta sono:

• Per v.a.d si trascurano i valori con probabilità nulla. ▪
• ( )0 < ≤ 1 → poiché ▪ } {X } ∑ ( ) ∑ = ℙ{X = = 1 → = = Ω.

Funzione di ripartizione

Sia una variabile aleatoria discreta, la funzione di ripartizione di è: : ℝ → [0,1] }

() ∑ ∑ = ℙ{X < x} = ℙ{X = = ( )

Dove { { ]−∞, {X }< } = ∈ ]} = ∪ =

Proprietà della funzione di ripartizione:

• Non decrescente: ▪ () () ≤ → ≤

Dimostrazione:

Per { { () () ≤ , ≤ } ⊆ ≤ } → ℙ{X ≤ } ≤ ℙ{X ≤ } → ≤

• Costante a tratti. ▪

Salta nei valori che può p