Appunti di Principi di ingegneria elettrica

Principi di ingegneria elettrica – Prof. Mauri Marco – A.A. 2012-13

Appunti del corso

Prof. Marco Mauri

Per Ingegneria meccanica – A.A. 2012-13

Indice

C1 – Introduzione alle reti elettriche

• 02/10 1.0 Leggi dell’elettrotecnica. 3
• Leggi di Maxwell.
• 1.1 Sistema stazionario. 3
• 1. Generatori. 4
• 1. Utilizzatori. 5
• 09/10 1.2 Circuiti e reti semplici. 6
• 1.3 Leggi di Kirchhoff. 6
• 1.4 Modalità serie e parallelo. 8
• 10/10 Esc Reti semplici. Leggi di Kirchhoff e collegamenti. 10

C2 – Modalità di risoluzione delle reti

• 11/10 2.0 Teorema di Thevenin. 14
• 2.1 Teorema di Norton. 15
• 2.2 Formula di Millman. 16
• 17/10 Esc Applicazione di Thevenin e Norton. 18

C3 – Sistemi in alternato sinusoidale e potenze elettriche

• 18/10 3.0 Grandezze in alternata. 27
• 3.1 Risultati della trasformata di Fuourier e Laplace. 28
• 3.2 Potenza in alternato sinusoidale. 29
• 3.3 Teorema di Tellegen e corollario di Boucherot. 30
• 25/10 3.4 Rifasamento. 30
• 24/10 Esc Potenze e fasori. 32
• 31/10 Reti con i fasori. 39
• 07/11 Reti con Boucherot. 42

C4 – Sistemi trifase

• 08/02/10 4.0 Funzionamento delle reti trifase. 49
• 4.1 Collegamento delle impedenze. 50
• 4. Sistemi semplici. 50
• 4. Sistemi complessi. 52
• 28/11 Esc Reti trifase.

C5 – Transitori elettrici

• 06/11 5.0 Transitori elettrici. 56
• 08/11 5.1 Soluzione del transitorio: integrale generale. 57
• 5.2 Riepilogo. 60
• 06/12 Esc Reti con il transitorio. 62

C6 – Circuiti magnetici e trasformatori

• 13/11 6.0 Bobine e magnetismo. 69
• 15/11 6.1 Induttanza. 73
• 6.2 Energia magnetica. 74
• 6. Forza magnetica. 76
• 6. Pressione magnetica. 76
• 27/11 6.3 Trasformatori ideali. 77
• 29/11 6.4 Trasformatori reali. 78
• 6. Modello elettrico. 79
• 04/12 6. Prove sul trasformatore e dati di targa. 81
• 06/12 6.5 Trasformatore trifase. 82
• 12/12 Esc Circuiti magnetici. 85
• 13/12 Trasformatori. 89

C7 – Esami

• 15/01 Simulazione Esame 2013. 91
• 06/01 Esame 2012-2013. 95

Informazioni

E-Mail prof: marco.mauri@polimi.it

Sito web: http://people.mecc.polimi.it/mauri/laboratorio/index.html

Libri di testo: Principi di Chimica – Peter Atkins, Loretta Jones

Chimica – Kotz, Treichel, Townsend

Modalità prove in itinere: non previste

d’esame: Appelli: 3 (2 Febbraio – 2 Settembre)

Orale facoltativo 1

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Accorgimenti

Attenzione:

I presenti appunti non sono controllati da docenti o esercitatori e pertanto potrebbero contenere errori di tipo concettuale o numerico. Lo scopo di questi appunti è semplicemente di aiutare lo studente a capire metodi di risoluzione e di comprensione della materia nella maniera più semplice e sintetica possibile. Si invita quindi, chiunque debba superare l’esame della materia, ad integrare questi appunti con il libro di testo e di svolgere comunque uno studio autonomo.

Le prove d’esame (non le simulazioni) svolte dal sottoscritto sono corrette e comprensive di punteggi.

I metodi di risoluzione degli esercizi sono ideati personalmente.

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C.1 – Introduzione alle reti

1.0 - Introduzione ai sistemi elettrici

I sistemi elettrici così come quelli meccanici vengono progettati secondo criteri che tengono conto di tutte le eventuali grandezze fisiche che possono in qualche modo ostacolare il funzionamento del sistema stesso. Sono quindi indispensabili delle relazioni che ci portano a legare tutti i fenomeni senza tralasciare alcun dettaglio.

Dal passato ciò che permette, per i sistemi elettrici, di relazionare il tutto sono le equazioni di Maxwell:

• Legge di Gauss
• Legge di Faraday
• Legge di Gauss
• Legge di Ampere

Tuttavia, pur dovendo considerare tutte le possibili grandezze in gioco, non sempre si possono risolvere rotori e divergenze con grande facilità e per questo si parte da sistemi semplici, che trascurano queste grandezze per poter risolvere a grandi linee il problema posto.

Per riallacciare il discorso alla fisica possiamo dire che lo stesso discorso si potrebbe fare tra cinematica o dinamica e statica. Così in elettronica si definisce il regime quasi stazionario.

Un regime quindi è quasi stazionario se le grandezze elettriche sono costanti nel tempo.

1.1 - Sistema stazionario

Come in cinematica, una grandezza che potrebbe rimanere costante nel tempo è senz’altro la velocità. In elettrostatica è la grandezza che ci serve per definire un sistema stazionario.

La velocità di propagazione di un’onda elettromagnetica si può esprimere come:

1= ∙√ è la permeabilità magnetica e nel vuoto vale 4π*10 H/m e è la costante -7 dove dielettrica (o permettività) che nel vuoto è pari a 8,85*10 F/m. -12

Da questa relazione ricaviamo che nel vuoto la velocità di propagazione della luce è 300.000 km/s (velocità della luce).

Si definisce lunghezza d’onda λ il rapporto tra la velocità e la frequenza.

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λ

Detto questo possiamo definire un sistema stazionario come un sistema le cui dimensioni sono trascurabili rispetto alla lunghezza d’onda che la investe.

La lunghezza d’onda che investe le nostre case, le città e le nazioni in determinati punti del pianeta è: à . . ∙λ = = = = 6.000 poiché la lunghezza d’onda è molto più grande di tutti i sistemi possiamo considerare i sistemi stessi come dei punti materiali. Inoltre se siamo in un regime stazionario possiamo trattare gli elementi come bipoli.

L’insieme due o più bipoli costituisce un circuito. Rappresentazione

Più in generale si parla di reti elettriche. di un bipolo

In generale i sistemi di bipoli si rappresentano tramite un gruppo di generatori e un gruppo di utilizzatori.

G U

1.11 - Generatori

Tensione: Lavoro elementare per spostare una carica elementare: [Volt]

Generatore di tensione Generatore di corrente =

Corrente: Variazione di carica nel tempo:= [ ]

Dalle relazioni precedenti otteniamo la potenza:= ∗ = ∗ = [ ]

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. − Resistenza: R [Ω -Ohm] Induttore L [H-Henry] Condensatore – C [Farad – F]

Convenzioni di misura e leggi di Ohm

Le convenzioni di misura che poniamo all’inizio di ogni problema in questo caso sono 2:

• Convenzione di misura generatori: l’utilizzatore cede potenza al sistema;
• Convenzione di misura utilizzatori: l’utilizzatore assorbe potenza dal sistema.

Nel calcolo delle reti elettriche, cioè sistemi complessi di circuiti elettrici avremo a che fare con le leggi di Ohm:

( )= ( )1) ∗ ( )

( )= ( )2) ∗ ( )

In relazione con le convenzioni di misura abbiamo che nel caso di convenzione per utilizzatori:= ∗ , mentre nel caso di convenzione generatori ritroviamo la stessa relazione con segno opposto:= − ∗ .

Tipi di circuiti

I circuiti elettrici possono essere sostanzialmente di due tipi: circuito aperto o circuito chiuso (o corto circuito). Nel primo abbiamo che con una tensione V qualsiasi la corrente che passa nel sistema è nulla:

• Pur essendoci una tensione v diversa da zero, la corrente non circola all’interno del filo conduttore. ≠ 0 =0

Un esempio di circuito aperto si ha con un interruttore non commutato.

• Nel corto circuito non vi sono opposizioni o spinte all’interno ≠ 0 , =0 del circuito e pertanto la corrente i è libera di scorrere a intensità variabile.

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1.2 - Circuiti semplici e reti elettriche

Risolvere un problema elettrotecnico significa trovare tutte le grandezze che ci sono all’interno di un circuito elettrico. Nel caso di un circuito elettrico semplice (rappresentato qui di seguito) ciò che ci interessa è calcolare il valore di tensione v, corrente i e resistenza R.

La stessa cosa si può dire di reti elettriche, ovvero insiemi di circuiti (rappresentato qui di seguito):

1.3 - Leggi di Kirckoff e reti elettriche

Legge di Kirkhhoff delle tensioni

Dato un certo circuito elettrico, si ha che la somma delle tensioni del circuito è uguale a zero.

V V1 2 ∑ =0 V3

Legge di Kirkhhoff delle correnti

Dato una certa superficie chiusa, si ha che la somma delle correnti del circuito è uguale a zero.

∑ =0

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Reti elettriche

Riprendendo in esame l’immagine di prima riguardo le reti elettriche definiamo alcune parti importanti di una rete elettrica.

Rami: parti che collegano i nodi e sulle quali vi sono generatori e utilizzatori.

Nodi: punti che collegano due o più rami.

Maglie: zone della superficie circondate da lati e non attraversate da altri lati.

Risolvere una rete di questo tipo significa per noi trovare tutte le correnti i e tutte le tensioni v che caratterizzano la rete. Ciò significa che se l sono le correnti e l sono le tensioni, avremo bisogno di 2 l valori per risolvere il sistema.

Se consideriamo i nodi della rete rappresentata di fianco (3 nodi) e scriviamo 3 equazioni della corrente, otteniamo 3 equazioni linearmente dipendenti, cioè una di loro dipende dalle altre due:

− =0

− − =0

+ − =0

Dalle tre equazioni precedenti otteniamo un’identità e ciò vuol dire che una delle 3 è dipendente dalle altre due. Decidiamo quindi di cancellarne una per avere 2 equazioni linearmente indipendenti. Se sono quindi le incognite del problema, saranno − 1 le equazioni indipendenti e lo stesso discorso vale per le tensioni.

Possiamo quindi dire che le equazioni che servono al nostro caso, qualsiasi esso sia sono:= − +1

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Teorema fondamentale delle reti elettriche

Il teorema fondamentale delle reti elettriche afferma che una rete elettrica di rami ha 2 risoluzioni le quali si possono riscontrare tramite le leggi di Kirckoff delle tensioni (LKT), le leggi di Kirckoff delle correnti (LKC) e dai legami costitutivi (LC). Questi ultimi sono formati da relazioni che collegano la tensione con la corrente, ovvero, le leggi di Ohm.

Tuttavia scrivere 2 equazioni con un sistema complesso di molteplici rami, nodi ed anelli è molto scomodo poiché significherebbe calcolare corrente, tensione e utilizzatore per ogni singolo ramo o nodo. Allora non si fa altro che rendere più semplice la rete applicando teoremi e principi che vedremo più avanti.

Ricordando che noi ci limiteremo in questa sezione a trattare le reti elettriche con un regime stazionario, cioè quando tensione e corrente non variano d’ora in poi rappresenteremo la corrente e la tensione con le lettere maiuscole:

1.4 - Collegamento in serie e parallelo

Abbiamo visto degli esempi di reti elettriche semplici con un solo utilizzatore, un solo generatore, ecc. Quelli che trattiamo adesso sono i diversi posizionamenti che possono avere degli stessi utilizzatori in un sistema più complesso.

Ad esempio proviamo a pensare ai fari della nostra auto; abbiamo una batteria da 12 V che genera una corrente nel sistema elettrico della macchina e deve accendere quattro fari, due avanti e due dietro. Successivamente proviamo a rompere uno dei quattro fari e notiamo che quello che abbiamo danneggiato si spegne, mentre gli altri rimangono accesi. Due possibilità che ci si presentano nel disegnare la rete elettrica della macchina la possiamo schematizzare così:

1) 2)

La corrente passa, in entrambi i casi, su tutti i bipoli resistori dando luce ai fanali. Vediamo cosa succede se rompiamo il fanale sostituendolo con un circuito aperto:

Nel primo caso la corrente continua a passare dagli altri fanali, mentre nel secondo caso la corrente non passa per il conduttore e gli altri rimangono spenti.

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Questi due casi in elettrotecnica si definiscono rispettivamente: collegamento in parallelo e collegamento in serie. Nel primo, come abbiamo visto, gli utilizzatori sono indipendenti e dipendono solo dalla corrente; nel secondo un utilizzatore dipende sempre da un altro utilizzatore prima di esso.

Collegamento in serie

Semplificare il sistema significa ridurre il circuito allo stato semplice, sostituendo gli utilizzatori con un utilizzatore che faccia risentire al sistema gli stessi medesimi effetti. Per questo vi è il calcolo della resistenza equivalente.

Un circuito collegato in serie ha la medesima corrente ma ogni bipolo ha un suo potenziale.

Dato un circuito di questo tipo:

La resistenza equivalente della rete elettrica per un collegamento in serie è la sommatoria di tutte le resistenze collegate in serie:=

Collegamento in parallelo

Un sistema collegato in parallelo ha lo stesso potenziale in tutto il circuito ma ogni bipolo è attraversato da una corrente diversa.

Dato un circuito collegato in parallelo e, definita una grandezza detta conduttanza come il reciproco della resistenza, la resistenza o conduttanza equivalente è rispettivamente la sommatoria dei reciproci delle resistenze, la somma delle conduttanze.

1 1= = = 1/

Principio di dualità

Il principio di dualità è un principio che serve nell’introduzione di alcuni teoremi dell’elettrotecnica e che permettono l’esenzione dal dimostrarli.

Per i teoremi che al momento tratteremo le parole duali da utilizzare saranno:

• Tensione Corrente;
• Serie Parallelo;
• Resistenza Conduttanza;
• Corto circuito Circuito aperto;
• Corto circuito Circuito aperto.

Il principio di dualità ci servirà soprattutto per i due teoremi che seguono. Essendo infatti l’uno duale rispetto all’altro e viceversa la dimostrazione del primo vale anche per il secondo.

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Esercitazione: 10/10/2012

1) Dato il seguente circuito, calcolare i valori delle resistenze , ,

Dati

• 20 W
• 32 W
• 24 W
• 2 A

Metodo di risoluzione

• Quello rappresentato è un collegamento in serie. Teniamo a mente le leggi di Ohm: = ; = = ; e applichiamole, ricavando dalla seconda o terza formula il valore della resistenza o della tensione. In ogni caso calcoleremmo il dato mancante con la prima legge.

Risoluzione

La corrente che scorre all’interno del circuito è uguale per tutte le resistenze che ci sono. Pertanto basterà calcolare, tramite le ultime due relazioni, o la tensione o la resistenza e successivamente calcolare con la prima legge l’altro dato mancante. Per esempio utilizziamo la seconda relazione per calcolare la tensione nei 3 bipoli:

20= = = 10V2

32= = = 16V2

24= = = 12V2

Ed ora utilizziamo la legge = per ricavarci il valore delle resistenze:

10= = =52

16= = =82

12= = =62

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2) Dato il presente circuito elettrico, calcolare i valori di tutte le correnti e di tutte le resistenze.

Dati

• 50 W
• 25 W
• 20 W
• 5 A

Metodo di risoluzione

• Ciò che cambia rispetto al primo esercizio è il tipo di collegamento del circuito. Il primo era un collegamento in serie, pertanto si sa che la corrente che passa per lo stesso conduttore è unica ma ci sono tante tensioni quanti sono i bipoli resistori. Questo esercizio è un collegamento in parallelo e pertanto richiama le sue proprietà: la tensione applicata ai capi del circuito come in figura è la stessa per tutti i bipoli collegati in parallelo. Ci saranno tuttavia tante correnti quanti sono i resistori. Per il resto l’esercizio 2) è uguale al 1).

Risoluzione

Calcoliamo dal ramo 1 la tensione:

50= = = 105

La tensione appena calcolata è la stessa su tutti i rami del circuito e pertanto possiamo calcolare le correnti sugli altri due rami con la legge di Ohm:

25= = = 2,510

20= = =210

La corrente totale non è altro che la somma di tutte le correnti appena trovate: 9,5 A.

Calcoliamo ora le resistenze sui 3 rami:

10= = =2510= = =42,510= = =52

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3) Data la seguente rete elettrica calcolare tutte le correnti del circuito.

Dati

• 10 Ω
• 20 Ω
• 25 Ω
• 100 V

Metodo di risoluzione

• L’esercizio va risolto usando le leggi di Kirckoff. La sommatoria delle correnti all’interno del circuito deve essere 0. Ciò significa che, non avendo le correnti distribuite sui loro rispettivi rami come nell’esercizio precedente, la quantità di corrente che entra in un nodo di un bipolo è esattamente uguale a quella che esce. Per il calcolo analitico si usano le leggi di Ohm.

Risoluzione

Cerchiamo di ottenere uno schema più funzionale per capire cosa si può fare per semplificare il problema ed arrivare alla soluzione:

Come si nota, le frecce azzurre dello schema qui di fianco riportano il verso delle correnti all’interno del circuito. Possiamo quindi fare dei normalissimi bilanciamenti all’interno del circuito, scrivendo almeno per i nodi principali le equazioni di equilibrio: