Appunti di Misura ed integrazione secondo Lebesgue

Appunti di misura ed integrazione secondo Lebesgue

Francesco Lucibello

1 giugno 2022

Indice

Premessa i

• σ-algebre
• 1 Algebre e 1
• 2 Misure 3
• 2.1 Misura di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
• 3 Funzioni misurabili 10
• 3.1 Successioni di funzioni misurabili e convergenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 4 Integrazione astratta 19
• p5 Spazi 33
• L p5.1 Spazi duali di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• L p5.2 Convergenze di funzioni in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• L5.3 Misura prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 5.4 Prodotti di convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
• 6 Generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo integrale 56
• 6.1 Teoria puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 6.2 Teoria distribuzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Premessa

Questi appunti sono relativi al corso di del primo semestre Misura ed Integrazione secondo Lebesgue dell’anno accademico 2021/22 tenuto dalla professoressa Antonia Passarelli di Napoli presso l’università Federico II di Napoli.

Gli appunti sono comprensivi di tutti gli argomenti trattati durante il corso, dove qualcosa non è trattato esplicitamente è riportata la bibliografia consigliata, sono anche presenti aggiunte e approfondimenti, osservazioni e dubbi personali che forse risulteranno utili.

I testi consigliati per seguire il corso sono:

• [Aca]: Appunti Misura e Integrazione Secondo Lebesgue di P. Acampora
• [BS86]: Analisi Funzionale Teoria e Applicazioni di Haim Brezis e principalmente l’appendice di Carlo Sbordone i

Capitolo 1 σ-algebre

Algebre e definizioni

Definizione 1.1 (Complementare). Sia un insieme sia , si dice complementare diS A S AĎcA S“ zA

Teorema 1.1 (Leggi di De Morgan). Sia S un insieme e siano A, B S sottoinsiemi di S , allora valgonoĎ

• c c cBq A BpA Y “ X
• c c cBq A BpA X “ Y M PpS

Definizione 1.2 (Algebra). Sia un insieme e sia una famiglia di sottoinsiemi di , seS SĎ q

• 1. MHP
• 2. cM MA AP ùñ P
• 3. M MA, B A BP ùñ Y PM

allora si dice algebra. M

Proprietà 1.2 (Prime proprietà di un algebra). Sia S un insieme e un algebra su S .

• MS P
• M MA, B A BP ùñ X P
• M MA, B AzBP ùñ P

1.1 (Esempi di algebre). I seguenti sono esempi di algebre:

Esempio

• M S“ tH, u
• M PpS“ q
• ,cM A, A S“ tH, u
• M : è misurabile secondo Peano-JordanuE“ tE Ď R

Definizione 1.3 (Insieme misurabile secondo Peano-Jordan). Sia diciamo che è misurabileE EĎ R,secondo Peano-Jordan seε , . . . , . . . ,0 intervalli di con e tali chei nu j mu@ ą D tIu tJu P t1, P t1,R,i jn m m nď ď ÿ ÿ εe mpJ mpII E JĎ Ď q ´ q ăi j j ii“1 j“1 j“1 i“1

Nota la somiglianza con il lemma di integrabilità M PpS

Definizione 1.4 (σ-algebra). Sia un insieme e sia una famiglia di sottoinsiemi di , seS SĎ q1

Capitolo 1. σ-algebre algebre e 2

• 1. MHP
• 2. cM MA AP ùñ P
• 3. ďM MApA q Ď ùñ Pi iPN iiPN

σ-algebraMallora si dice M

1.1. Potevi anche dire che è un’algebra e vale la terza proprietà Osservazione σ-algebre). σ-algebre Proprietà 1.3 (Proprietà di Le godono delle seguenti proprietà:

• σ-algebre σ-algebra L’intersezione di due è ancora una σ-algebraF PpS

Definizione 1.5 (σ-algebra generata). Sia un insieme e sia allora la più piccolaS Ď q,Fcontente è čσpF Mq “ σ-algebra ,M è su SF ĎMσ-algebra Fe si dice generata da . , σ-algebraT

Definizione 1.6 (σ-algebra di Borel). Sia uno spazio topologico, la generata dagli apertipS qσ-algebradi è detta di BorelS N

Nota che spesso si considera , ma il nome non cambia. Consiglio. S “ R

Capitolo 2 misure

Definizioni e prime proprietà

µM MDefinizione 2.1 (Funzione finitamente additiva). Sia un algebra e sia : un’applicazioneÑ r0, 8stale cheµpHq1. 0“ µpA µpAq µpBqM2. :A, B A B BqP X “ H ùñ Y “ `µ M.allora si dice una funzione finitamente additiva sull’algebra

µM MProprietà 2.1 (Proprietà funzioni finitamente additive). :Siano un algebra e unaÑ r0, 8sMfunzione finitamente additiva, siano A, B alloraPµpAq µpBq1. A BĎ ùñ ďµpAq µpBzAq µpBq µpAq2. A B,Ď ă 8 ùñ “ ´µpA µpAq µpBq3. BqY ď `

σ-algebra µM MDefinizione 2.2 (Misura). Sia una e sia : un’applicazione tale cheÑ r0, 8sµpHq1. 0“2. ˜ ¸8 8ď ÿµ µpAM : A A i j ApA q P X “ H @ ‰ P ùñ “ qNi iPN i j i ii“1 i“1µ Mallora si dice una misura sull’algebra

σ-algebraNota che intercorre un rapporto simile tra le definizioni di algebra e di e quelle di funzione finitamente additiva e di misura, in entrambi i casi le due definizioni condividono le prime proprietà, ma si differenziano nella ultima proprietà perché per una vale solo nel "caso finito" e l’altra la generalizza al "caso numerabile".

, µqM,Teorema 2.2 (Misura di successioni monotone di insiemi misurabili). Sia uno spazio di misura,pSMsia una successione numerabile di sottoinsiemi di S , allorapA q Pn nPN

• Se è crescente, cioè A A n si ha chepA q ď @ P N,n nPN n n`1 ˜ ¸ďµpA µlim Aq “n nnÑ8 nPN
• µpASe è decrescente, cioè A A n e si ha chepA q ě @ P q ă 8,N, 1n nPN n n`1 ˜ ¸čµpA µlim Aq “n nnÑ8 nPN σ-algebra ,M Mq

Definizione 2.3 (Spazio misurabile). Siano un insieme e una su , allora la coppiaS S pSsi dice spazio misurabile. 3

Capitolo 2. Misure 4

σ-algebra µM M,Definizione 2.4 (Spazio di misura). Siano un insieme, una su e una misura su alloraS S, µqM,la terna si dice spazio di misura.pS

, µqM, MDefinizione 2.5 (Insieme trascurabile). Sia uno spazio di misura, un insieme si diceTpS PµpTtrascurabile se 0q “

σ-finito). µq Ω σ-finitoM,Definizione 2.6 (Spazio di misura Sia uno spazio di misura. si dice se essopΩ,può essere scritto come unione numerabile di insiemi a misura finita.

, µqM,Definizione 2.7 (Proprietà vera quasi ovunque). Sia uno spazio di misura, se una proprietà valepSper tutti i sottoinsiemi di tranne quelli trascurabili, la proprietà si dice veraS quasi ovunque.

Di seguito riportiamo due esempi di misure.

Ω Ω,Definizione 2.8 (Misura che conta). Sia un insieme e sia definiamoA Ď#cardpAq se è finitoAµpAq ,“ se è infinitoA`8σ-algebra PpΩqquesta è una misura sulla e si chiama omisura che si ottiene contando in A misura checonta in A.

Ω Ω, Ω,Definizione 2.9 (Delta di Dirac concentrata in un punto). Siano un insieme e siax AP Ď0definiamo # 1 se x AP0 ,δ pAq “x 0 0 se x AR0σ-algebra PpΩqquesta è una misura sulla e si chiama .delta di Dirac concentrata in x 0

Definizione 2.10 (G e ). e sono rispettivamente insiemi che sono intersezioni numerabili di apertiF G Fδ σ δ σe unioni numerabili di chiusi.

Ω λ λPpΩqDefinizione 2.11 (Misura esterna). Sia un insieme e sia : diremo che è una misuraÑ r0, 8s,Ω seesterna suλpHq1. 0“ λpAq λpBq2. A BĎ ùñ ďλ λ Ω`Ť ˘8 8ř3. per ogni successione di sottoinsiemi diA pA q, pA qďi i i nPNi“1 i“1

Ω λ λPpΩqDefinizione 2.12 (Misura esterna additiva). Sia un insieme e sia : diremo che èÑ r0, 8s,Ωuna se è una misura esterna ed è finitamente additiva, o equivalentemente semisura esterna additiva susoddisfa le seguenti proprietà:λpHq1. 0“ λpA λpAq λpBqM2. :A, B A B BqP X “ H ùñ Y “ `λ Ωλ `Ť ˘ 88 ř per ogni successione di sottoinsiemi di3. A pA q, pA qď i ii nPNi“1 i“1

2.1 Misura di Lebesgue

, , NDefinizione 2.13 (Misura esterna di Lebesgue). Per ogni intervallo di diI b b“ ra q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ ra q R1 1 n N, . . . , , . . . ,estremi e poniamoa a b bpa q pb q“ “1 1N N Nź apb q|I| “ ´i ii“1questa si dice misura elementare.

NSia e consideriamo la famigliaA Ď R # +ďF : A I“ pI q Ďn nPN nnPNgli si dicono ricoprimenti di e definiamoApI qn nPN

Capitolo 2. Misure 5

# +8ÿµ ˚ Finf :|I |pAq “ pI q Pn n nPNn“1µ ` ˘N˚ P RIn tal modo abbiamo definito una funzione : che si dice misura esterna diÑ r0, 8sN .Lebesgue di R n

Proprietà 2.3. La misura esterna di Lebesgue è una misura esterna su .R

Vogliamo arrivare definire una "misura di Lebesgue", per fare ciò, dobbiamo prima studiare delle proprietà della misura esterna di Lebesgue.

Proprietà 2.4 (Misura esterna di Lebesgue sugli intervalli). La misura esterna di Lebesgue coincide con la misura elementare sugli intervalli.

2.1. La misura esterna di Lebesgue può essere vista come un’estensione della misura elementare. Osservazione

Studiamo come la misura esterna di Lebesgue si comporta sugli insiemi chiusi (limitati e disgiunti),

Proprietà 2.5 (Additività della misura esterna di Lebesgue su chiusi limitati e disgiunti). Siano F F Ď1 2µ µ µŤN ˚ ˚ ˚chiusi limitati e tali che F F allora FX “ H, pF q “ pF q ` pF qR 1 2 1 2 1 2

2.2. Nota che questa proprietà non ci dice né che la misura esterna di Lebesgue è una misura, Osservazione né che è una misura esterna additiva perché l’insieme su su cui vale questa proprietà è troppo piccolo σ-algebra,(dovrebbe essere tutti gli elementi della ma per adesso non sappiamo nemmeno se l’insieme σ-algebra).degli insiemi misurabili secondo Lebesgue sono una n

Introduciamo una proprietà preliminare degli aperti di .Rn

Proposizione 2.6. Sia G aperto, allora esiste con K intervallo per ogni i e K KĎ tK u P X “ HR Ni iPN i i jper ogni i j tale che‰ ďG K“ iiPN

Dimostrazione lunghissima, non la chiede. Dimostrazione.

Ora studiamo come la misura esterna di Lebesgue si comporta sugli aperti.

εnTeorema 2.7. 0Sia G aperto limitato, allora per ogni esiste un chiuso F G tale cheĎ ą ĎRµ µ ε.˚ ˚pGq ´ pFq ă

Proposizione 2.8. La misura esterna della differenza fra un aperto limitato G e un chiuso F G èϵ µ µ˚ ˚ ˚pGzFq “ pGq ´ pFq

εN NDefinizione 2.14 (Insieme misurabile secondo Lebesgue). Sia , se per ogni 0 esistonoA GĎ ą ĎR RNaperto e chiuso tali cheF Ď R µ ε˚ pGzFq ă

Definizione 2.15 (Famiglia degli insiemi misurabili secondo Lebesgue). Si definiscenM : è misurabile secondo LebesgueuAtA ĎB R M

2.3. Questa non è una vera e propria definizione, cioè il simbolo non identifica univocamente la famiglia degli insiemi misurabili secondo Lebesgue, ma è utilizzato anche per parlare di algebre e σ-algebre in generale. Osservazione

σ-algebra,MVogliamo dimostrare che è una lo facciamo per passi.M

Teorema 2.9 (M è un’algebra). è un’algebra. Si fa easy con la definizione. Dimostrazione.

εnProposizione 2.10. 0Sia A limitato, allora A è misurabile secondo Lebesgue se e solo seĎ @ ą DF ĎRµ µ ε˚ ˚:A chiuso pAq ´ pFq ă

2.4. Nota che questa caratterizzazione è come ci dice che affinché un insieme limitato sia Osservazione misurabile secondo Lebesgue non è necessario trovare un chiuso contenuto nell’insieme e un aperto contenente l’insieme (e verificare la proprietà "di approssimazione") ma basta trovare solo il chiuso contenuto (e verificare la proprietà "di approssimazione").

Capitolo 2. Misure 6

σ-algebra M).Teorema 2.11 (M è una e la misura esterna di Lebesgue si comporta come una misura suσ-algebra µ n˚M Mè una e la restrizione della misura esterna di Lebesgue a è una misura su .R

µ˚ ˚M",2.5. Talvolta si usa l’espressione "µ si comporta come una misura su ma è definita Osservazione µN n˚PpR Msu tutto stiamo dicendo che la restrizione di a è una misura su .q, R

La dimostrazione è lunghissima la puoi trovare su [Aca, Teorema 3.1, p. 35], è divisa in 3 Dimostrazione.passi:

• 1. Supponiamo che una successione di insiemi misurabili secondo Lebesgue a due a due di-pA qi iPNsgiunti e che esista un intervallo tale che per ogni e dimostriamo la tesiI A I iĎ P Ni
• 2. Supponiamo che una successione di insiemi misurabili secondo Lebesgue a due a due di-pA qi iPNsgiunti e dimostriamo la tesi
• 3. Supponiamo che una successione di insiemi misurabili secondo Lebesgue e dimostriamo chepA qi iPNl’unione è ancora misurabile La prof non la chiede (se non a grandi linee?).

σ-algebra MDefinizione 2.16 (Misura di Lebesgue). La misura esterna di Lebesgue ristretta alla è unaNmisura su , si dice e si denotamisura di LebesgueR µ µ ˚ |B M

2.6. Questa definizione è giustificata da (Teorema 2.11). Osservazione

2.1 (Esempi di insiemi misurabili secondo Lebesgue). Gli insiemi aperti, gli insiemi chiusi, gli Esempio insiemi che hanno misura esterna di Lebesgue nulla, gli insiemi del tipo o sono misurabili.F Gσ δ

Definizione 2.17 (Insieme dei misurabili con misura nulla). Definiamo l’insiemeµpEqNN : 0utE Ď “B RNe sappiamo che gli elementi di sono tutti misurabili.

NTeorema 2.12 (Caratterizzazione insieme misurabile secondo Lebesgue). Sia A , allora A è misurabile secondo Lebesgue se e solo se esistono F o G e E tali che A F E GP “ Y “ zE.σ δ σ δ, , σ-algebra.M ME’ ovvia perché e è unaDimostrazione. F G Eðù q Pσ δ

1Sia misurabile secondo Lebesgue, alloraAùñ q 1 ,, µpGchiuso e aperto :n G F A G@ P DF Ď Ď zF q ăN n n n n n n nµpNqŤsiano e , allora dobbiamo mostrare che 0. SiaF F N AzF A F N, m“ “ “ Y “ Pσ σ σ N,nnPNcalcoliamo ˜ ¸ 1ďµpNq µpAzF µ µpG ,Az F“ q “ ď zF q ăσ n m m mnPN µpNqma poiché questo vale per un arbitrario, necessariamente dev’essere 0.m “

Per adesso abbiamo dimostrato questa implicazione caratterizzazione solo per gli , ora lo facciamo per iF σc. Sia misurabile secondo Lebesgue, allora è misurabile e per la caratterizzazione dimostrata si haG A Aδc è del tipo , cioè esistono chiusi al variare di tali cheA F F n Pσ Nn ď ,cA F“ nnPNallora č ,cA F“ nnPN ma per ogni è aperto, allora è del tipo .n F A GP δN n µ, µ1 ˚Nota che possiamo usare e non