Appunti di Meccanica Razionale con dimostrazioni (prof. Sellitto)

Algebra vettoriale

E = spazio affine euclideo tridimensionale

VV = spazio vettoriale euclideo

O in E -> origine

u in V: ∀ P in E -> P - u(O)

u = (P - O)

Prodotto scalare

Prodotto scalare: V -> IR

u, v, w in V -> u . v = v . u simmetria

Bilineare

(u + v) . w = u . w + v . w

Positiva

u . u > 0 sempre

Modulo: ||u|| = sqrt(u . u) -> R+

Sempre positivo

Versore: u-hat

u = ||u|| u-hat

Algebra vettoriale

E = spazio affine euclideo tridimensionale

VV = spazio vettoriale euclideo

O e E -> origine

u = (P - O)

Prodotto scalare

Prodotto scalare:

V -> R

u, v, w e V -> u . v = v . u simmetria

Bilineare

(u + v) . w = u . w + v . w

Positiva

u . u >= 0 sempre

Norma: ||u|| = sqrt(u . u) -> R⁺

Sempre positivo

Versore: u hat

u = ||u|| u hat

Somma di vettori

• Somma di vettori
• u, v e w

u = (P - O)

v = (Q - P)

w = u + v = (P - O) + (Q - P) = (Q - O)

Composizione di un vettore

u = (Q - O) + (P - Q) = (Q - P) + (P - O)

u = (P₁ - O)

v = (P₂ - P₁)

w = (P₃ - P₂)

u + v + w = u + [v + w] ASSO associativa

(1) [(P₁ - O) + (P₂ - P₁)] + (P₃ - P₂) = (P₂ - O) + (P₃ - P₂) = (P₃ - O)

(2) (P₁ - O) + [(P₂ - P₁) + (P₃ - P₂)] = (P₁ - O) + (P₃ - P₁) = (P₃ - O)

Prodotto scalare per vettore

Prodotto scalare per vettore

u e V

l e R

v = l u

||v|| = |l| ||u||

Verso => u => l > 0

= -u <= l < 0

||v|| > 1 <=> |l| > 1

||v|| < 1 <=> |l| < 1

Vettore opposto

Vettore opposto: u e V : -u e V

-u = -1 u

Differenza tra vettori

Differenza tra vettori

u = (P - O)

v = (Q - O) -> -v = (O - Q)

u + v = u + (-v) == (P - O) + (O - Q) = (P - Q)

Vettori linearmente dipendenti e indipendenti

Vettori linearmente dipendenti e indipendenti

u1, u2, um

Linearmente dipendenti <=> esiste (lambda1, lambda2, ..., lambdam) in R^m \ {0}

sum i=1 to m lambda_i u_i = 0

Linearmente indipendenti <=> sum i=1 to m lambda_i u_i = 0 <=> (lambda1, lambda2, ..., lambdam) = 0

{e1, e2, e3} in V -> base di V

V = sum i=1 to 3 lambda_i e_i

es: lambda1 e1 -> componente di v lungo e1

Liv. dip. e parallelismo

Liv. dip. => paralleli

u, v in V

u, v lin dip => u // v -> u = ||u|| uhat

v = ||v|| vhat

uhat = +/- vhat -> u // v

dim: esistono lambda1, lambda2 in R \ {0}: lambda1 u + lambda2 v = 0

lambda1 ||u|| uhat + lambda2 ||v|| vhat = 0

lambda1 ||u|| uhat = - lambda2 ||v|| vhat

uhat = - (lambda2 ||v||)/(lambda1 ||u||) vhat -> scalare, vettore: non cambia direzione

quindi u // v

Viceversa

Viceversa

u = ||u|| û

v = ||v|| v̂

-> u || v => û = v̂

λ₁ u + λ₂ v = λ₁ ||u|| û + λ₂ ||v|| v̂ == (λ₁ ||u|| + λ₂ ||v||) û = 0

λ₁ ||u|| + λ₂ ||v|| = 0     λ₂ ∈ R

=> λ₁ = - λ₂ ||v|| / ||u||

-> ho trovato due numeri reali λ₁, λ₂ di cui almeno 1 non nullo tali che:

λ₁ u + λ₂ v = 0

Dim dip e complanarità

Dim dip => complanari

u, v ∈ V

0 ∈ E -> origine

X ∈ E -> X - 0 = λ₁ u + λ₂ v   ∀ λ₁, λ₂ ∈ R

Piano

u, v, w ∈ V

Dim dip => u, v, w ∈ T

Sono complanari

Dim: ∃(l1, l2, l3) ∈ R, {0}

l1 u + l2 v + l3 w = 0

w = - l1/l3 u - l2/l3 v

(x - 0)

Prodotto scalare con angolo

Prodotto scalare: V -> R

u, v e V

u · v = ||u|| ||v|| cos φ

u · v = 0 ⇔ cosφ = 0

u, v ≠ 0

Prodotto vettoriale

Prodotto vettoriale: V -> V ( ^, x )

u, v e V

{e1, e2, e3} -> terna destra

w = u ^ v = -v ^ u

Modulo: ||w|| = ||u|| ||v|| sin φ

Direzione: ⟂ π -> perpendicolare al piano formato da u e v

Verso: u, v, w

costituiscono una terna destra

u ^ v = - v ^ u -> anticommutativo

Prodotto misto

Prodotto misto: V -> R

u, v, w & V

u ^ v . w