Appunti di Meccanica Razionale con dimostrazioni (prof. Sellitto)

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Author: Maross

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Appunti di meccanica razionale. Appunti per l'esame orale del prof Antonio Sellitto.Argomenti: Calcolo VettorialeCinematicaDinamicaMeccanica AnaliticaSono incluse tutte le dimostrazioni …

Esame Meccanica razionale

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Sellitto Antonio

Università Università degli Studi di Salerno

A.A. 2019-2020

188 pagine

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Algebra vettoriale

_E = Spazio affine euclideo tridimensionale

_V ∀(P_i,P_i') ∈ _E -> ∃ (P_i'', R_i'' ∈ _E

[P_i,P_i'], (P_i',P_i') sono equipollenti

uguale modulo, direzione e verso

V: Spazio vettoriale euclideo

O ∈ _E -> origine

∃ μ _E V : ∀P ∈ _E -> P = μ (O)

μ = [P-O]

Prodotto scalare:

V-> |R

μ, v, w ∈ V ->

μ · v = v · μ simmetria
μ + v · w = μ · w + v · w bilineare
μ · w > 0 sempre positiva

Modulo: ||μ|| = √(μ · μ) -> |R⁺

sempre positivo

Versore: ^μ

μ = ||μ|| ^μ

Algebra Vettoriale

_E = Spazio affine euclideo tridimensionale
_V
- ∀(P_i, P_i') ∈ _E -> ∃(P_i', P_i''' ∈ _E
- Uguale modulo, direzione e verso

V: Spazio vettoriale euclideo

o ∈ _E -> Origine

∃ μ ∈ _V: ∀ P ∈ _E -> ρ_f = μ(0)

μ = (ρ - 0)

Prodotto Scanalre:

_V -> ℝ
μ, ν, ω ∈ _V ->
- μ · ν = ν · μ simmetria
- (μ + ν) · ω = μ · ω + ν · ω bilineare
- μ · ω

Modulo: ||μ|| = √(μ · μ) -> R⁺

Sempre positivo

Versore: ^{^}μ

μ = ||μ|| ^{^}μ

SOMMA DI VETTORI

, ∈
= ( - )
= (, )
= + = [( - ) + ( - )] = ( - )

SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE

= ( - ) + ( - ) =

= ( - ) + ( - )

= (₁ - )
= (₂ - ₁)
= (₃ - ₂)

+ + = + [ + ] ASSOCIAZIONE

[ (₁ - ) + (₂ - ₁) ] + [ (₃ - ₂) ] = (₂ - ) + (₃ - ₂) = (₃ - )
(₁ - ) + [ [ (₂ - ₁) + (₃ - ₂) ] = (₁ - ) + (₃ - ₂) = (₃ - )

Prodotto scalare per vettore

μ ∈ V

λ ∈ ℝ

v ∈ V = λ μ

|v| = |λ| |μ|

v̂ // μ̂

Verso =>

= μ̂ (se λ > 0)
= - μ̂ (se λ < 0)

| |v| |> 1 ⟺ |λ| > 1

| |v| |< 1 ⟺ |λ| < 1

Vettore opposto

μ ∈ V ∃ v ∈ V

-v = -(1 μ)

Differenza tra vettori

μ = (P - O)

v = (Q - O) → -v = (O - Q)

μ + v = μ + (-v) =

= (P - O) + (O - Q) = (P - Q)

Vettori Linearmente Dipendenti e Indipendenti

_u₁, _u₂, ..., _u_m

n-uple ordinata

Linearmente Dipendenti <=> ∃ (_λ₁, _λ₂, ..., _λ_m) ∈ ℝ \ {₀}

∑_i=1ⁿ _λ_i _u_i = 0

Linearmente Indipendenti <=> ∑_i=1ⁿ _λ_i _u_i = 0 <=> (_λ₁, _λ₂, ..., _λ_m) = ₀

{_e₁, _e₂, _e₃} ∈ _V → Base di _V

Min Indip

∇ _v ∈ _V → ∃ _v = ∑_i=1³ _λ_i _e_i

Esempio: cad.e_q → componente di _v lungo _e₁

Lin Dip → Paralleli
µ_i _v ∈ _V

_u, _v Lin Dip → µ_u ∈ _v → µ = |||µ||| û

_v = |||_v||| ^v̂

û = ^v̂ → µ |||_v|| =

Dim: ∃ _λ₁, _λ

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