Numeri e funzioni reali
Presupposti
Postulati, assiomi.
Dimostrazioni -> teoremi (enunciati), quindi condizioni, proposizioni.
Postulato: esistenza dell’insieme dei numeri reali.
L’insieme dei numeri “reali” (R) in cui è possibile eseguire +, -, x, : è un insieme chiuso.
Fra due numeri reali a e b, valgono i seguenti assiomi:
Assiomi relativi alle operazioni fra numeri reali
Assiomi relativi alle operazioni fra numeri reali (distributive, additive, moltiplicative):
- Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c); (a•b)c = a(b•c).
- Proprietà commutativa: a+b = b+a; a•b = b•a.
- Proprietà distributiva: a(b+c) = a•b + a•c.
Esistenza degli elementi neutri
In R esistono due numeri 0 e 1 tali che a+0 = a; a•1 = a.
Esistenza degli opposti
Per ogni numero reale a esiste un numero reale -a tale che a+(-a)=0.
Esistenza degli inversi
Per ogni numero reale a, a ≠ 0, esiste un numero a-1 tale che a•a-1=1.
Numeri e funzioni reali
Presupposti e teoremi
Postulati, assiomi, -> dimostrazioni -> teoremi (teorici), quindi condizioni, proprietà.
Postulato: esistenza del sistema dei numeri reali.
L'insieme dei numeri "reali" (R) in cui è possibile eseguire +, -, x, / e ottenere sempre un risultato. Due numeri reali a e b, valgono le seguenti condizioni:
Assiomi relativi alle proprietà
Assiomi relativi alle proprietà (rispetto ad addizione e moltiplicazione).
- Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c); (a.b)c = a(b.c).
- Proprietà commutativa: a+b = b+a; a.b = b.a.
- Proprietà distributiva: a(b+c) = a.b + a.c.
Esistenza degli elementi neutri
In R esistono due numeri 0 e 1 tali che a+0 = a; a.1 = a.
Esistenza degli opposti
Per ogni numero reale a esiste un numero reale -a tale che a + (-a) = 0.
Esistenza degli inversi
Per ogni numero reale a ( 0) esiste un numero a-1 tale che a.a-1 = 1.
Assiomi relativi agli ordinamenti
Assiomi relativi agli ordinamenti (definizione mediante ≤, <).
- Dicotomia: per ogni coppia di numeri reali a, b: s.h. a ≤ b ∨ b ≤ a.
- Proprietà asimmetrica: se valgono contemporaneamente a ≤ b e b ≤ a, allora a=b.
- A ≤ b allora vale a+≤ b+c.
- Se a ≤ b e 0 ≤ b allora valgono anche 0 ≤ a < a ≤ b.
Assiomi di completezza
Assiomi di completezza: siano A e B due insiemi non vuoti di numeri reali tali che per ogni a∈A e b∈B, comunque si scelgano a e b, comunque si scelgano a elemento di A e b elemento di B, allora s.h. esiste almeno almeno ᴦ₀∈ℝ tale che s ≤ c≤ b, qualunque sia a⁄∈ A e b⁄∈ B.
Conseguenze degli assiomi
Regola del sempi` di ordine rispetto alla balconata
Regola del sempi` di ordine rispetto alla balconata:
a+b≤a+c ᐽ b ≤ c.
Dim: b=0+b = [ a+(a) ]+b = [ = a+(a+b) ] = a+(a+b).
b ≤ c allora b=(a)+(a+b) =(t)+t(a+c) = [ -a]+0+ c = 0+c c+0 ≤ c.
Semiregolarizzazione rispetto al prodotto
Semiregolarizzazione rispetto al prodotto:
a ≤ b e c ≥ a+0, allora b ≤ c.
Dim: b=b.1=1.b≬(a-a)-b=(t-a)b=1 (a.b) = =a. .(a.c) = (a.t a) c = (a a-1).c = : a. c =.: b.t =: =. [ [ c.
Prodotto nullo
Il prodotto di a.b è nullo se e solamente se uno dei due fattori è nullo.
Infatti dalla proprietà associativa: a⋅a-1 = a⋅1 : a⋅0 = a(1⋅0) = a⋅1 = a = a⋅0 da cui otteniamo a⋅0 = 0.
b⋅a⋅1 = [b.(a
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