Appunti di laboratorio di meccanica e termodinamica

All’analisi – introduzione degli errori

John R. Taylor dell’analisi

Descrizione preliminare delle incertezze

L’errore in una misura scientifica è un’incertezza inevitabile, perciò è necessario assicurarsi che sia il più piccolo possibile nelle misure che vengono prese. Naturalmente, per trarre una conclusione dalle misure ottenute, è necessario che le incertezze non siano troppo grandi, quindi lo sperimentatore ha il compito di giustificare il range di valori da lui stabilito.

Il procedimento tramite cui si valuta la posizione fra le incisioni di una scala è detta interpolazione. Generalmente, un’incertezza connessa con la localizzazione di un punto su una scala graduata può essere stimata ragionevolmente ripetendo più volte la misura. In questo modo la dispersione dei valori ci dà un’indicazione precisa.

Errore assoluto ed errore relativo

Supponiamo di aver effettuato la misura di una grandezza fisica G e di aver ottenuto il risultato:.

L’errore è detto assoluto ed è una grandezza omogenea alla grandezza fisica cui si riferisce. Effettuando una misura è però importante valutare l’entità dell’incertezza sulla misura in relazione al valore misurato. Queste considerazioni portano a definire l’errore relativo sulla misura come il rapporto tra l’incertezza . e :

L’errore relativo, mentre l’errore assoluto si esprime con una e, è una grandezza adimensionale; sola cifra significativa, per quello relativo si è soliti utilizzarne due.

Perché è importante dare una stima adeguata dell’errore con il quale si perviene al risultato di un esperimento?

La stima dell’errore effettuata con eccessiva superficialità ha portato ricercatori a conclusioni errate:

• Nel 1989 Stanley Pons e Martin Fleischmann annunciarono di aver ottenuto la fusione nucleare in una cella elettrolitica contenente delle barre di palladio ed acqua pesante. Essi affermarono di aver rilevato sia raggi che neutroni, ed entrambe queste particelle indicavano che una reazione nucleare era avvenuta. La notizia causò un notevole clamore che cessò quando venne dimostrato che i due ricercatori avevano compiuto diversi errori nel loro esperimento, compreso il non aver stimato in alcun modo gli errori di misura.
• Nel 1970 fu pubblicato il risultato di una ricerca che sembrava indicare come una dieta ricca di fibra potesse ridurre l’incidenza dei polipi del colon. Per questo motivo i medici hanno prescritto integratori a base di fibra per più di 30 anni. Nel 2000 una nuova ricerca dimostrò che non vi è correlazione tra una dieta ricca di fibra e l’incidenza di polipi al colon. Si scoprì che la ricerca del 1970 era stata condotta su di un insieme troppo esiguo di casi, statisticamente non significativo, e che, se si fosse considerata l’incertezza statistica, l’incidenza dei polipi nel campione con dieta ricca di fibra sarebbe stata la stessa di quella osservata nel campione al quale era stata prescritta una dieta a contenuto normale di fibra.

Come rappresentare e usare le incertezze

±

Il risultato di una misura è generalmente scritto come indica la migliore stima della quantità misurata, che giace in un qualche punto tra - l’incertezza, il margine di errore. Per essere certi che il valore e +, mentre indica all’interno scelto si trovi di questo margine, è necessario solitamente scegliere un valore di che ci consenta di affermare con una certa percentuale che la quantità sia realmente compresa nell’intervallo.

Visto che la quantità è una stima di incertezza non dovrebbe essere stabilita con troppa precisione. Talvolta vengono arrotondate a una cifra significativa. Si ha un’unica eccezione: se la prima cifra dell’incertezza è 1, conviene tenere due cifre significative.

L’ultima cifra significativa in un qualunque risultato dovrebbe essere dello stesso ordine di grandezza dell’incertezza.

È importante che tutti i numeri usati in calcoli successivi siano tenuti con una cifra significativa in più rispetto a quella richiesta nel risultato finale, per poi essere arrotondato.

Se due misure di una stessa grandezza sono in disaccordo, si dice che vi è una discrepanza: numericamente essa è data dalla differenza tra i due valori misurati. Può essere significativa o non significativa: nel primo caso, il margine di errore delle due misure non si sovrappone, mentre nel secondo c’è una sovrapposizione. La discrepanza tra due misure della stessa quantità dovrebbe essere valutata specialmente per quanto essa è grande al confronto con le incertezze nelle misure. Se la discrepanza tra due misure è molto elevata, si può considerare la presenza di errori sistematici: è perciò necessaria la calibrazione di tutti gli strumenti e una revisione dei procedimenti attuati.

In molti esperimenti si determinano due numeri che la teoria prevede dovrebbero essere uguali: per esempio la legge di conservazione della quantità di moto stabilisce che la quantità di moto totale di un sistema isolato è costante.

Possiamo immaginare di misurare la quantità