Appunti di istituzioni di matematica I

Dimostrazioni

1. Dimostrazione diretta

Hp. ipotesi: ∃ m ∈ ℕ, m dispari

Th. tesi: m² dispari

Qualunque numero dispari si può scrivere m = 2k + 1. Per dimostrare il teorema occorre poter scrivere m² come (numero pari) + 1.

m² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1

Poiché 2(2k² + 2k) è un numero pari, m² è dispari.

2. Controesempio

È un esempio di oggetto x che soddisfa le ipotesi, ma non la tesi di un teorema, mostrandone la falsità.

Hp: m ∈ ℕ, m primo

Th: m dispari

Hp no Th perché il numero m = 2 è un numero primo ma pari e fornisce il controesempio che dimostra la falsità della tesi.

3. Dimostrazione per assurdo

Hp: ∃ m ∈ N, m² pari

Th: m pari

Supponiamo per assurdo che ∃ m ∈ N, m dispari tale che m² è pari. Poiché m dispari → m = 2k + 1.

m² = (2k + 1)² = 2(2k² + 2k) + 1. Anche m² è dispari.

Inizialmente si nega la tesi, se anche l'ipotesi viene negata allora il teorema è risultato.

Non esiste un numero razionale Rx, questo è 2.

Supponiamo per assurdo che ∃ ½ ∈ ℚ tale che r² = 2 ⇒ m ≠ 0. Si suppone che la frazione sia ridotta ai minimi termini, quindi m coprimi nati tra loro.

Dimostrazioni

1. Dimostrazione diretta

Hp: ipotesi m ∈ ℕ, m dispari

Th: tesi m² dispari

Qualunque numero dispari si può scrivere m = 2k + 1. Per dimostrare il teorema occorre poter scrivere m² come (intero pari) + 1.

m² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1

Poiché 2(2k² + 2k) è un intero pari, m² è dispari.

2. Controesempio

È un esempio di oggetto x che soddisfa le ipotesi ma non la tesi di un teorema, mostrandone la falsità.

Hp: m ∈ ℕ, m primo

Th: m dispari

Hp no Th perché il numero m = 2 è un numero primo ma pari e fornisce il controesempio che dimostra la falsità della tesi.

3. Dimostrazione per assurdo

Hp: ∃m ∈ ℕ, m² pari

Th: m pari

Supponiamo per assurdo che ∃m ∈ ℕ, m dispari tale che m² è pari. Poiché m dispari m = 2k + 1.

m² = (2k + 1)² = 2(2k² + 2k) + 1. Anche m² è dispari.

Inizialmente si nega la tesi, se anche l’ipotesi viene negata allora il teorema è risultato.

Non esiste un numero razionale ℚ cui quadrato è 2.

Supponiamo per assurdo che ∃r ∈ ℚ tale che r² = 2, r = ^m √_n ≠ 0. Si suppone che la frazione sia ridotta ai minimi termini, quindi m e n sono primi tra loro.

m⁴ = 2n² = 2m² = n² quindi m² = pari, perciò anche m = 2k.

Quindi n² = 2m² si può scrivere (2k)² = 2m² -> 4k² = 2m.

Perciò m² = pari e anche m = 2h. Dunque sia n che m sono pari e questo è un assurdo perché avevamo supposto che la frazione n/m fosse semplificata.

Sommat(...)

Siano a₁, a₂, ..., a_n, M numeri veri, la loro somma si può indicare con il simbolo di sommatoria:

^m∑_i=1 a_i

Proprietà

• Prodotto per una costante: ^m∑_k=1 C · a_k = C · ^m∑_k=1 a_k
• Sommatoria con termine costante: ^m∑_k=1 C = c · m
• Somma di sommatorie: ^m∑_k=1 (a_k + b_k) = ^m∑_k=1 a_k + ^m∑_k=1 b_k
• Scomposizione: ^m∑_k=1 a_k = ⁿ∑_k=1 a_k + ^m∑_k=n+1 a_k
• Traslazione di indice: ^m∑_k=1 a_k = ^m+m∑_k=m+1 a_k-m
• Rifless(...): ^m∑_k=1 a_k = ^m-1∑_k=0 a_m-k

Separando m pari: ^m∑_k=1 k = 1 + 2 + 3 + ... + ^m/2 (2 + 1) + ... + (m - 1) + mk = ^m(m + 1)/2

Prova telescopica

^m∑_k=1 [k^m - (k - 1)^m] = (k^m, 0) + (m^m, m) + ... + [m^m(m - 1)^m] == m^m

^m∑_k=1 k² = k²(k - 1)