Appunti di Fluidodinamica

Appunti di fluidodinamica

Sommario

• Sistemi continui ............................................................................................................................................. 3
• Risultante delle forze su un elemento di volume ............................................................................... 6
• Definizione di fluido ..................................................................................................................................... 8
• Relazioni sforzo-velocità di deformazione ......................................................................................... 10
• ...................................................................................................................................... 12
• Rappresentazione lagrangiana e euleriana del moto ...................................................................... 14
• Visualizzazioni di flusso ............................................................................................................................ 17
• Fluidostatica ............................................................................................................................................... 18
• Forze idrostatiche su superfici immerse .............................................................................................. 20
• Forze su corpi immersi ............................................................................................................................... 24
• Studio dinamico .......................................................................................................................................... 27
• Metodo del volume di controllo .............................................................................................................. 27
• Grandezze estensive e intensive .............................................................................................................. 31
• Equazioni di conservazione per un volume di controllo ............................................................... 32
• Equazione di conservazione della massa o equazione di continuità ........................................... 34
• Equazione della quantità di moto ........................................................................................................ 36
• Esempio sulla scelta del volume di controllo ..................................................................................... 40
• Equazione del momento angolare ........................................................................................................ 42
• Primo principio della termodinamica ................................................................................................... 43
• Equazioni in forma differenziale ........................................................................................................... 45
• Forma differenziale del principio di conservazione della massa .............................................. 45
• Funzione di corrente ............................................................................................................................. 46
• Conservazione della quantità di moto ............................................................................................ 47
• Deformazioni ........................................................................................................................................... 50
• Deformazioni angolari ......................................................................................................................... 52
• Moto nell’intorno di un punto .......................................................................................................... 53
• Circolazione e vorticità ........................................................................................................................ 55
• Flussi incomprimibili non viscosi (Eulero) ............................................................................................ 58
• Equazione di Eulero in coordinate relative alle linee di flusso .................................................. 59
• Pressione totale .......................................................................................................................................... 68
• Flussi a potenziale ...................................................................................................................................... 72
• Flussi a potenziale bidimensionali ....................................................................................................... 78
• Flussi incomprimibili viscosi ..................................................................................................................... 84
• Esperienze di Reynolds ............................................................................................................................... 90
• Moto turbolento ....................................................................................................................................... 92
• Moto turbolento completamente sviluppato in tubi e condotti ................................................. 96
• Perdite di carico ........................................................................................................................................ 100
• Strato limite ................................................................................................................................................... 104
• Equazione integrale della quantità di moto ................................................................................... 110
• Strato limite laminare con gradiente di pressione ......................................................................... 119
• Separazione dello strato limite ........................................................................................................... 120
• Strato limite turbolento ........................................................................................................................ 122
• Strato limite turbolento su lastra piana .......................................................................................... 123
• Flussi esterni .............................................................................................................................................. 125
• Forze aerodinamiche ............................................................................................................................. 128
• Forza di drag ............................................................................................................................................. 132
• Forza di drag su lastra piana: ............................................................................................................... 133
• Coefficiente di drag per un cilindro .................................................................................................... 134
• Corpi aerodinamici: profili alari ......................................................................................................... 137
• Stallo aerodinamico ............................................................................................................................... 142
• Flussi comprimibili .................................................................................................................................... 144
• Grandezze totali ....................................................................................................................................... 147
• Grandezze critiche .................................................................................................................................... 148
• Flussi isentropici monodimensionali .................................................................................................. 148
• Onde in flussi comprimibili ..................................................................................................................... 150
• Flusso in area costante con attrito (problema di Fanno) ............................................................ 156
• Flusso in area costante con scambio termico (problema di Rayleigh) ....................................... 158
• Ugello convergente ................................................................................................................................ 162
• Ugello convergente divergente ........................................................................................................... 164

Sistemi continui

Per definire un fluido abbiamo bisogno di una definizione di fluido che sia operativa, cioè che ci consente di caratterizzare il comportamento meccanico del fluido.

Per trovare una definizione giusta, bisogna trattare il fluido come un sistema continuo. Questa ovviamente risulta una approssimazione che però ci consente di addentrarci nella fluidodinamica.

Un sistema continuo è definito come una regione dello spazio all’interno del quale le proprietà fisiche variano con continuità da punto a punto. Quindi tutte le proprietà fisiche del sistema sono funzioni continue, della posizione che si considera e anche del tempo.

Per qualsiasi proprietà fisica associata al sistema continuo in esame io posso scrivere Φ, questa relazione. In particolare per i fluidi ci riferiamo ai sistemi continui materiali, essi sono definiti come dei continui a cui associamo una massa distribuita anche essa con continuità nello spazio del sistema. Possiamo quindi definire una funzione densità che ha le dimensioni di una massa per unità di volume, [ML^-3].

Considero un elemento δV nel sistema continuo materiale, a questo elemento posso associare un elemento δm. Esiste dunque ed è finito:

Il reciproco della densità è il volume specifico.

Riprendo adesso alcune nozioni di base, cioè come esprimere le forze di volume e le forze di superficie. Le forze di volume sono quelle distribuite con continuità nel volume V occupato dal sistema. Le definisco così:

Chiamo con b il campo di forza di volume, se considero anche la massa ottengo che:

Risulta inoltre che b=ρg. g è il campo di forze di massa.

Le forze di superficie invece sono applicate sulla frontiera A≡∂V:

Queste formule vengono applicate su un volume infinitesimo e su un’aureola infinitesima.

Noti, inoltre, questi campi di forza possiamo definire anche:

Adesso consideriamo un sistema continuo C soggetto a forze di superficie e forze di volume. Supponiamo che il sistema continuo C sia in equilibrio soggetto a queste forze. Se il sistema è in equilibrio e se considero una parte di questo volume deve risultare allo stesso modo in equilibrio. Definisco quindi una parte di C che chiamo C*, questo deve risultare quindi in equilibrio e le forze a cui è soggetto sono le forze di volume che agiscono sul volumetto di C*, questo sistema però non risulterà in generale in equilibrio come dovrebbe essere.

C* risulta in equilibrio pur non essendo in equilibrio, dobbiamo quindi ammettere che la restante parte di C esercita attraverso la superficie di C* delle forze che vanno ad equilibrare le forze di volume agenti su C*. Il sistema C trasmette quindi delle forze sulla superficie di contorno di C*. Quindi la risultante delle forze sul generico elemento di area δA, centrato in un punto generico P è:

Questo vettore δF è scomposto in due componenti, che risultano essere la componente normale e quella tangenziale. Esistono quindi questi limiti:

Esse sono rispettivamente sforzo normale e tangenziale nel P riferite all’elemento di area δA. Gli sforzi hanno una dimensione di una forza/unità di area. n.

Se consideriamo in un riferimento cartesiano O(x,y,z) nel punto P avremo tre diverse componenti di sforzo, ad esempio se considero un elemento di area normale all’asse x, δA: n. Analogamente ho questi sforzi applicati anche su y, x. Se noi quindi riferiamo il nostro sistema continuo ad un sistema di coordinate cartesiane x,y,z per ogni punto P del sistema, possiamo definire tre componenti di sforzo, uno normale e uno tangenziale per ogni giacitura definita dal versore normale n nel punto P. Al variare del punto quindi varieranno gli sforzi, ma in un punto prefissato si avranno tre diverse componenti di sforzo per ogni giacitura passante per P.

In un punto P avremo quindi una tripla infinita di sforzi, tre per ogni giacitura normale n. Esiste un risultato matematico che si chiama Teorema di Cauchy, esso semplifica notevolmente la caratterizzazione matematica degli sforzi. In particolare le componenti dello sforzo relativo ad una giacitura n (n, j=x,y,z), possono essere espresse in funzione delle componenti relative alle giaciture dei piani cartesiani come:

In questa notazione ad indici è utilizzata la convenzione di Einstein, per cui si ritiene eseguita la somma rispetto all’indice ripetuto. Nel secondo membro dell’equazione τ ni il prodotto è la somma di prodotti effettuata con somma effettuata sull’indice j. ij j τ = σ n +τ n τ n. Ad esempio, il teorema di Cauchy ci dice una cosa importantissima e cioè che lo stato di sforzo in un punto risulta univocamente determinato una volta note le 9 componenti τ rispetto al riferimento scelto. Le 9 componenti possono essere viste come le componenti di un tensore degli sforzi.

Una particolarità di questo tensore è che è simmetrico, cioè le componenti ai lati della diagonale principale sono uguali, questo mi riduce a 6 le componenti da ricercare.

Risultante delle forze su un elemento di volume

Determiniamo adesso la risultante delle forze su un elemento di volume. Considero un elemento di volume generico che ha la forma di un parallelepipedo con lati paralleli agli assi e centrato un un generico punto P(x,y,z), dove dV=dxdydz.

La risultante delle forze di volume è:

dB=bdV=bdxdydz=ρgdxdydz

Le forze di superficie che agiscono sull’elemento sono quelle associate agli sforzi agenti sulle facce laterali:

dA =dydz; dA =dxdz; dA =dydx queste sono le aree delle facce laterali. x y z.

Nel punto P gli sforzi sono rappresentati dal tensore degli sforzi τ tuttavia noi vogliamo andare a considerare le forze elementari che il resto del nostro sistema continuo trasmette all’elemento attraverso le facce. Vado quindi a valutare le forze non sul punto P ma sulle facce del parallelepipedo. Ad esempio, per gli sforzi sulle facce normali all’asse x ci dovremmo spostare dal punto P di un +dx sulla faccia di destra e di un meno dx sulla faccia di sinistra. Rispetto ai valori in P gli sforzi varieranno corrispondentemente, per esempio per lo sforzo normale σ in P, lo sforzo normale sulla faccia di destra sarà: ci siamo spostati di un dx/2. Quindi uno sviluppo di Taylor centrato in P ci dà sulla faccia di destra questo valore a fianco. Allo stesso modo sull’altra faccia avrò un segno negativo quindi -dx/2. Questo ragionamento lo applico anche alle altre componenti tangenziali ottengo quindi che in direzione x la forza Fx è uguale a:

In definitiva se trovo anche Fy e Fz ottengo:

La risultante delle forze R=dB+dF sarà quindi uguale:

Questo risultato poteva essere ottenuto anche in maniera diversa utilizzando il Teorema della Divergenza.

Considero all’interno del volume V, un sottovolume V*. Questo sarà soggetto alle forze di volume e alle forze dovute alla restante parte che il continuo trasmette attraverso la sua superficie. La risultante degli sforzi agenti su V* sarà data da:

Dove A* è la superficie di contorno di V*, questo deriva dal fatto che per ogni elemento di superficie A* di giacitura n, gli sforzi sono dati dal teorema di Cauchy. L’integrale può però essere visto come integrale di flusso degli sforzi τ attraverso la superficie A* quindi utilizzando il teorema della divergenza ottengo:

Dove: è la divergenza del tensore degli sforzi. NB la divergenza abbassa di un grado l’ente matematico a cui è applicato, quindi la divergenza di un vettore è uno scalare, la divergenza di un tensore è un vettore.

La risultante quindi è uguale proprio a:

Definizione di fluido

Posso adesso con queste informazioni andare a definire i fluidi. Un fluido è un continuo materiale che in condizioni di equilibrio presenta soltanto sforzi normali aventi carattere di compressione. Un fluido in equilibrio non può sopportare né trazione né sforzi di taglio. Infatti, come definizione potremmo usare anche la duale e cioè che il fluido è un continuo materiale che si deforma con continuità sotto l’azione di sforzi di taglio. Se nel fluido in equilibrio ci sono solo sforzi normali, vuol dire che il tensore degli sforzi del fluido è diagonale, ha quindi elementi non nulli solo nella diagonale principale.

Si dimostra poi anche un altro importante principio, il principio di Pascal ovvero che gli sforzi normali sono tutti uguali fra di loro. Infatti, si ottiene:

Dove δ è il tensore di Kronecker, quindi è proprio uguale alla matrice di identità. Il segno meno è per ricordare che gli sforzi normali devono essere di compressione.

Dalla definizione si deduce che lo sforzo relativo ad una generica giacitura di normale n può essere scritto come: j dove p in generale potrà dipendere dalla giacitura ma in realtà non ne dipende perché dal teorema di Cauchy, se il tensore degli sforzi è diagonale noi abbiamo che:

Se eguaglio queste due equazioni ottengo che σ è uguale proprio a -p. Quindi tutti gli sforzi normali hanno carattere di compressione e lo scalare p è chiamato pressione (forza/superficie).

Confrontiamo adesso in condizione di equilibrio un fluido e un solido.

I solidi

• Sono in equilibrio anche con sforzi tangenziali;
• Subiscono deformazioni statiche, se queste non sono troppo intense, la configurazione varia solo marginalmente rispetto a quella non sollecitata.

I fluidi

• Si deformano con continuità e indefinitamente sotto l’azione di sforzi