Appunti di Fisica - modulo B

Fisica modulo B elettrostatica

Le interazioni elettromagnetiche si manifestano tra cariche elettriche. Oggi sappiamo che la carica elettrica è una proprietà fondamentale dei costituenti dell’atomo. Essa è una grandezza fisica che misura lo stato di elettrizzazione dei corpi; ed è responsabile delle forze elettriche che si manifestano tra corpi elettrizzati. Si misura in C (coulomb), che non è una unità fondamentale del SI, ma si definisce attraverso l’ampere (l’unità della corrente elettrica).

La materia che ci circonda è formata da tre costituenti:

• Gli elettroni, possiedono una carica negativa che indichiamo con = −;
• I protoni, possiedono una carica positiva = +;
• I neutroni, non possiedono carica e per questo si dice che sono neutri (= 0).

Questi tre costituenti si aggregano in strutture che si chiamano atomi. In un atomo ci sono esattamente tanti elettroni quanti sono i protoni. Esso è complessivamente neutro e la carica non dipende dalla velocità.

Grazie a Millikan, sappiamo che la carica è quantizzata. Ogni particella ha una carica −19 = 1.602 × 10.

Esperienza di Millikan

Le misure condotte da Millikan hanno permesso di determinare il valore della carica elementare. Per fare ciò si è servito di un dispositivo composto da due dischi in cui era possibile stabilire un campo elettrostatico. Attraverso dei forellini sul disco posto più in alto, passavano goccioline d’olio nebulizzato con uno spruzzatore. Lo spazio tra i dischi era abbastanza illuminato da permettere di osservare il moto delle goccioline all’interno del disco attraverso un telescopio. Così facendo era possibile misurare la velocità di caduta.

In questo esperimento, in assenza di campo elettrostatico, era presente una forza di attrito viscoso: = 6. Ma anche la forza peso. C’è equilibrio tra le due quando le due forze sono uguali; da questa uguaglianza è possibile ottenere la velocità di deriva:

4 3 = 6 → = 3 6

Una volta ottenuta v, possiamo ottenere il raggio e di conseguenza la massa delle goccioline:

d 9 4 3 = √ → = 2 3

Adesso applichiamo il campo elettrostatico, e l’equilibrio sarà:

= =

Grazie a questa uguaglianza otteniamo il valore della carica:

3318 √ = 2

Se si irradia l’aria con la radiazione emessa da una sorgente radioattiva o con raggi X avviene il fenomeno della ionizzazione (cioè della sottrazione di elettroni da un atomo) e nell’aria si formano ioni positivi (atomi che hanno perso elettroni a causa della radiazione), e ioni negativi (atomi che hanno catturato gli elettroni liberati dalla radiazione, tipicamente ioni ossigeno). Osservando il moto delle gocce si vedono di tanto in tanto variazioni brusche della velocità oppure, se la goccia è bilanciata, si vede che talvolta si mette all’improvviso in movimento, verso l’alto o verso il basso. In entrambi i casi si deduce che:

∆ = ∆6

Eseguendo un gran numero di misure su una certa goccia e ripetendo l’esperienza con numerose altre gocce, Millikan trovò che la velocità variava sempre in modo discreto, segno di variazioni discrete della ∆ carica, e che le quantità calcolate erano sempre esprimibili come multipli interi piccoli di un valore preciso: ∆ = = ±1, ±2, … e con

Il comportamento dei materiali

Esistono tre tipi materiali:

1. Conduttori: sono corpi che non si elettrizzano per strofinio, le cariche in essi possono muoversi in tutto il volume occupato dal materiale. Ad esempio: materiali metallici, soluzioni e gas ionizzati.
2. Isolanti: si caricano per strofinio e sono in grado di trattenere la carica elettrica. Le cariche non sono libere di muoversi all’interno del materiale. Ad esempio: acqua pura, gas non ionizzato, materiali plastici, vetro, etc.
3. Semiconduttori: hanno una limitata conducibilità elettrica. Inoltre alla conduzione partecipano sia gli elettroni che le lacune (i posti lasciati liberi dagli elettroni). Troviamo ad esempio Silicio e germanio.

Elettrizzando per strofinio un isolante con un panno si verifica sperimentalmente che: esistono due tipi di carica elettrica.

L’induzione elettrostatica

Caricare un oggetto significa sottrargli o fornirgli un certo numero di elettroni. Negli isolanti il processo di strofinio separa le cariche del corpo e le trasferisce ad un altro. Se si avvicina una carica ad un conduttore, le cariche mobili presenti nel conduttore saranno attratte o respinte dalla carica esterna.

La carica presenta alcune caratteristiche:

• La carica positiva compare sulle sostanze tipo vetro;
• La carica negativa compare sulle sostanze tipo bachelite/plastica;
• Cariche dello stesso segno si respingono;
• Cariche di segno opposto si attraggono.

Consideriamo un conduttore caricato per contatto. Se con una bacchetta carica si tocca un pendolino elettrico (sferetta leggerissima coperta da un sottile strato metallico), esso viene respinto: durante il contatto una parte della carica della bacchetta viene ceduta al conduttore.

Consideriamo adesso, un conduttore A inizialmente in contatto con il conduttore B, quindi costituiscono un conduttore unico. Avviciniamo a questo un corpo carico:

• Cariche di segno contrario si affacciano su B (parte più vicina alla carica inducente);
• Cariche dello stesso segno su A (parte più lontana).

Separiamo A e B e allontaniamo la bacchetta: ciascuno dei due conduttori rimane carico con carica di un solo segno. Nell’induzione, come nell’elettrizzazione per strofinio, non si ha creazione di carica elettrica, ma solo separazione di cariche.

Evidenza sperimentale del principio di conservazione della carica: la carica elettrica di un sistema isolato non varia. È solo possibile un trasferimento di n elettroni da un corpo ad un altro (per contatto) o una separazione di carica (per induzione o per strofinio).

Elettroscopio a foglie

L’elettroscopio a foglie è uno strumento utile a rivelare e riconoscere lo stato di carica relativo. Esso è formato da due foglie d’oro o di alluminio. Se un corpo carico positivamente viene avvicinato all’elettroscopio, a causa dell'induzione elettrostatica le cariche negative si affacciano sulla sferetta, lasciando un eccesso di cariche positive sulle foglie che si respingono e quindi divergono. Avvicinando ad un elettroscopio carico un corpo carico si può determinare il segno della carica:

• Una carica dello stesso segno comporta un aumento della divergenza delle foglie;
• Una carica di segno opposto comporta una diminuzione della divergenza.

Un elettroscopio a contatto con un corpo carico si carica permanentemente. Per scaricare l’elettroscopio basta toccare con la mano il conduttore centrale, collegandolo a terra.

La legge di Coulomb

Per misurare l’intensità della forza che agisce tra due sferette elettrizzate q e q1, Coulomb utilizzò una bilancia di torsione, analoga a quella utilizzata successivamente da Cavendish, ottenendo i seguenti risultati: la forza è direttamente proporzionale al prodotto delle cariche elettriche ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. Inoltre tale forza agisce sulla loro congiungente.

Definizione operativa della carica elettrica, mediante la misura di forze elettriche:

• F forza esercitata da q su q a distanza r1 1;
• F forza esercitata da q su q a distanza r2 21.

Si osserva che dipende solo dallo stato di elettrizzazione di e. Si può quindi esprimere tale rapporto 1 221 1 = come: . Fissata una carica campione si può misurare qualunque altra carica mediante la relazione: . L’unità di misura della carica elettrica nel S.I. è il Coulomb che corrisponde alla carica trasportata da una corrente di 1 Ampere in un secondo. Per due cariche puntiformi e:

1 ∗ 2 = 29 2 2 = 8.9875 × 10 /

Dove . La costante k si può anche esprimere come:

1 = 402 −12 = 8.85 ∙ 10

Dove è nota come costante dielettrica del vuoto. 0 2∙

Legge di Coulomb in forma vettoriale

• Versore della direzione che va da a12 1 2;
• Versore della direzione che va da a21 2 1;
• Forza esercitata da su a distanza r12 1 2;
• Forza esercitata da su a distanza r21 2 1.

1 1 1 2 1 2 = = − = −12 12 21 212 24 4 0 0

Se q e q hanno lo stesso segno, la forza ha lo stesso verso di u e quindi è repulsiva; se hanno segno 1 2 12 opposto allora la forza sarà attrattiva.

La forza di Coulomb ha una struttura simile alla legge di gravitazione universale 1 2 ⃗ = − ⃗⃗ 2

Se calcoliamo il rapporto tra la forza elettrostatica e la forza di gravitazione universale tra due protoni all’interno del nucleo:

1 1 24 0 = = 4 0 2 40

Otteniamo che la forza elettrostatica è molto più intensa (circa 10). Se sono presenti più cariche, , , , la forza complessiva su q sarà la somma delle 1 2 3 forze esercitate dalle singole cariche.

Il campo elettrico

Consideriamo la carica nell’origine, se andiamo a mettere la carica, carica di prova, la forza elettrostatica su di essa sarà data da 1 1 ⃗ = ⃗⃗ 24 0

Questa può anche essere scritta nella forma:

1 1⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = dove = ⃗⃗ 24 0

⃗⃗ si chiama campo elettrico e rappresenta la forza che subirebbe la carica unitaria (1 C) in quella posizione. Rispetto a quella trovata si preferisce definire il campo elettrico come:

⃗ = lim ⟶0

Perché la presenza di una carica finita potrebbe modificare la distribuzione delle cariche.

La definizione operativa di campo elettrico è la forza per unità di carica oppure, in modo analogo, la forza agente su una carica unitaria. La sua unità di misura è il Newton/Coulomb (N/C) o il Volt/metro (V/m).

Quando in una regione dello spazio sono presenti n cariche elettriche (, ,…… e), il campo 1 2 elettrico in una qualsiasi posizione dello spazio si può calcolare applicando il principio di sovrapposizione: il campo elettrico totale è uguale alla somma vettoriale dei campi elettrici generati in quel punto da ciascuna delle cariche come se agisse da sola.

Le distribuzioni continue di carica sono un numero molto grande di cariche elementari dq distribuite in regioni dello spazio, le cui dimensioni non consentono l’approssimazione di carica puntiforme. Sia dE campo prodotto da dq, otteniamo:

1 1 = → = ∫ 2 24 4 0 0

Carica distribuita in volume

La carica può essere anche tutta contenuta in un volume dV da cui otteniamo, introducendo la densità volumetrica di carica:

= → = = )⇒ = .

Per una distribuzione uniforme (Anche in questo caso può essere distribuita su una superficie o su una linea:

= → = = → = ℓ ℓ

La rappresentazione del campo elettrico

Il campo elettrico viene raffigurato attraverso le linee di forza. Nel caso di una carica puntiforme le linee di forza hanno una direzione radiale con origine sulla carica. Esse hanno le seguenti proprietà:

• Il campo elettrico è tangente alla linea di forza in ciascuno dei suoi punti;
• Due linee di forza non si intersecano mai, se si intersecassero il campo elettrico nel punto di intersezione non avrebbe una direzione definita;
• Le linee di forza nascono dalle cariche positive (o all’infinito) e muoiono su quelle negative (o all’infinito);
• Il numero di linee che nascono o muoiono è proporzionale alla carica;
• La densità di linee di forza è proporzionale all’intensità del campo elettrico.

Se consideriamo due cariche puntiformi uguali ma di cariche opposte, le linee di forze saranno tutte linee che partono dalle cariche positive e si chiudono su quelle negative (immagine sopra). Se le cariche hanno lo stesso segno le linee che provengono si chiudono all’infinito (immagine sotto).

Angolo piano

L’angolo è la parte di piano compresa tra le due semirette aventi origine in O. Per misurare l’angolo si traccia la circonferenza con centro in O e raggio arbitrario in r, si misura la lunghezza dell’arco di circonferenza compreso tra le due semirette. Si definisce l’angolo come il rapporto tra la lunghezza dell’arco e il raggio della circonferenza.

ℓ ′ = =

L’angolo è un numero puro e viene misurato in radianti. L’angolo giro lo calcoliamo:

2 = 2360°: 2 = : Fattore di conversione:

Angolo solido

L’angolo solido è la parte di spazio delimitata dalla superficie conica di vertice in O. Per misurare l’angolo solido si costruisce la superficie sferica con centro in O e raggio Ω arbitrario. Si definisce angolo solido il rapporto tra l’area staccata dal cono sulla superficie sferica e il raggio al quadrato della sfera:

Ω = = 2 4:

L’angolo solido totale è uguale a 24Ωtot = = 42

Il flusso del campo elettrico

Consideriamo una superficie chiusa S immersa in un campo elettrico ed un suo elemento infinitesimo dS, può essere rappresentato come un vettore dS con:

• Modulo: pari all’area dell’elemento selezionato, dS;
• Direzione: perpendicolare alla superficie nel punto considerato;
• Verso: verso l’esterno della superficie chiusa.

Si definisce flusso del campo elettrico attraverso la superficie elementare dS, la seguente quantità:

⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ = ∙ → = ∙ ∯

Stima del flusso del campo elettrico attraverso le linee di forza

Il flusso è legato al numero di linee che entrano o escono dalla superficie chiusa.

• D > 0. Carica positiva all’interno della superficie anche il flusso totale > 0;
• D < 0. Carica negativa all’interno della superficie anche il flusso totale < 0;
• Se la carica all’interno della superficie chiusa è nulla, tante linee di forza entrano tante quante ne escono (= 0).

Il teorema di Gauss

Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica totale presente all’interno della superficie chiusa diviso per:

0 ⃗⃗⃗ = ∯ ∙ = 0

Vogliamo determinare il flusso del campo elettrico, generato da una carica puntiforme, attraverso una superficie sferica il cui centro corrisponde con la posizione occupata dalla carica puntiforme. Il campo elettrico e il vettore dS sono paralleli:

1 ⃗⃗⃗ ∙ = 24 0

Il flusso attraverso la superficie chiusa:

1 ⃗⃗⃗∯ ∙ = ∯ = ∯2 24 4 0 0 = Ω2

Ω è l’angolo solido con cui viene vista la superficie dS dalla carica q, in questo caso il centro della sfera. Sostituendo:

1 ⃗⃗⃗∯ ∙ = ∯ = ∯ = ∯ Ω = 4 = 2 24 4 4 4 0 0 0 0 0

Nella definizione di angolo solido, l’esponente di r è esattamente 2. Se il teorema di Gauss risulta verificato, significa che anche l’esponente di r nella legge di Coulomb è esattamente 2. La stessa cosa vale anche per la forza di gravitazione universale.

Ω In generale determiniamo nei due casi:

Ω 1) q è interna ad S: angolo solido sotto cui è vista S da q, coincide con l’angolo solido sotto cui è vista una superficie sferica di raggio r qualsiasi e centro in q.

2dS 1 4⊥ Ω = ∫ → = → Ω = ∫ = = 4 ⊥2 2 2r r S