Appunti di Fisica 2

Messina Antonio Emmanuel - Politecnico di Torino 2021-2022 - Fisica 2

Appunti di Fisica 2

Indice

• Infarinatura Iniziale
  • Introduzione
  • Equazioni di Maxwell
  • Forza di Coulomb e Campo Elettrico
  • Tensione, Potenziale elettrostatico
  • Moto di una carica. Conservazione dell’energia
  • Grandezze da sapere
• Teorema di Gauss
  • Flusso del campo elettrico
  • Applicazioni del teorema di Gauss
• Conduttori
  • Conduttori in equilibrio
  • Conduttore cavo
  • Capacità
  • Energia del campo elettrostatico
  • Grandezze da sapere
• Dipoli
  • Il dipolo elettrico
  • Energia elettrostatica di un dipolo
• Corrente elettrica
  • Conduzione elettrica
  • Corrente elettrica
  • Legge di conservazione della carica
  • Modello classico della conduzione elettrica
  • Legge di Ohm per i conduttori metallici. Resistenza elettrica.
  • Effetto Joule
• Magnetostatica
  • Primi fatti sperimentali
  • Forza magnetica
  • Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente
  • Momenti meccanici su circuiti piani
  • Energia potenziale magnetica
• Sorgenti del campo magnetico, Legge di Ampere
  • Campo magnetico indotto da una corrente
  • Campi magnetici prodotti da circuiti particolari
  • Legge di Ampere
  • Azioni elettrodinamiche tra circuiti percorsi da corrente
  • Autoflusso
  • Potenziale vettore
• Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo
  • Introduzione e recap generale
  • Introduzione Elettromagnetica & Legge di Faraday
  • Legge di Lenz
  • Spostamento di un circuito in B
  • Correnti alternate
  • Autoinduzione e induzione mutua
  • Energia intrinseca corrente
  • Energia magnetica
  • Corrente di spostamento, Legge di Ampere-Maxwell
  • Risolvere le equazioni di Maxwell
• Onde elettromagnetiche
  • Campi elettromagnetici in movimento
  • Onde elettromagnetiche piane
  • Polarizzazione delle onde elettromagnetiche
  • Energia di un’onda elettromagnetica piana
  • Quantità di moto e pressione di radiazione
  • Onde sferiche

Capitolo 1 - Infarinatura iniziale

Introduzione

Sappiamo che un corpo che cambia il suo stato di moto vuol dire che su di esso agisce una forza che a sua volta avrà una sorgente. Le forze tra due corpi interagenti tra loro sono uguali e opposte. Tra le interazioni principali e conosciute abbiamo quella gravitazionale che regola il moto dei pianeti intorno al Sole o della Luna attorno alla Terra. Considerando però la forza per eccellenza del corso di Fisica 2, ovvero quella elettromagnetica, si nota che ciò che conta è la carica. Le cariche possono essere positive o negative e possono attrarsi o respingersi in base al segno. Tale forza decade con la distanza e, a differenza della forza peso, è più intensa. F = q(E + vB). Si notano subito altre due grandezze, E e B, che sono rispettivamente il campo elettrico e il campo magnetico. Generalmente esistono due tipi di campo:

• Un campo vettoriale che è l'assegnazione di un vettore a ogni punto dello spazio. A livello intuitivo, pensare al vettore velocità nei fluidi.
• Un campo scalare che è l'assegnazione di un numero a ogni punto dello spazio.

A sinistra abbiamo un campo vettoriale mentre a destra un campo scalare.

Per studiare i campi bisogna prendere in considerazione due “caratteristiche”: il flusso e la circuitazione.

• Flusso: Si prende una superficie, ci si chiede quanti vettori escono o entrano attraverso essa. Chi risponde a tale domanda è proprio il flusso. Flusso = (Componente normale media) x (area superficie)
• Circuitazione: Questa volta ci si chiede se in una certa zona il campo tende a ruotare. La risposta è data dalla circuitazione. Circuitazione = (Componente tangenziale media) x (Lunghezza curva)

Queste due operazioni si usano per i campi elettrici e magnetici e definiranno le leggi di Maxwell. Ora due teoremi che saranno la base di numerose operazioni del corso, da prendere con le pinze al momento, si faranno in Analisi 2.

Teorema della divergenza: L’integrale su una superficie S di un campo C (ovvero il flusso di C su S) è uguale all’integrale triplo della divergenza di C in un volume chiuso da S.

Teorema di Stokes: L’integrale di linea su una curva chiusa di un campo vettoriale C è uguale all’integrale del Rotore di C sulla superficie S racchiusa dalla curva chiusa. Si può dire in sintesi che: Flusso = Divergenza * Volume. Circuitazione = Rotore * Area.

La tendenza di un campo vettoriale h a circolare in una certa regione (circuitazione) è legata al rotore del campo in quella regione. Discorso analogo possiamo fare per il flusso e il suo collegamento con la divergenza.

Definiamo ora quello che sono le leggi dell’elettromagnetismo:

• Flusso di E in una sup. chiusa = carica interna/ costante(ε₀)
• Flusso di B in una sup. chiusa = 0
• Circuitazione di E attorno C = -d/dt(flusso di B attraverso S)
• c²(circuitazione di B attorno a C) = d/dt(flusso di E su S) + corrente el. In S/ ε₀

Combinando queste leggi con le nozioni di prima otteniamo l’argomento saliente di questo corso.

Equazioni di Maxwell

Flusso di E in una sup. chiusa = carica interna/ costante(ε₀) + Flusso = Divergenza * Volume → Divergenza di E = densità di carica/ ε₀.

Flusso di B in una sup. chiusa = 0 + Flusso = Divergenza * Volume → Divergenza di B = 0.

Circuitazione di E = -d/dt(flusso di B) + Circuitazione = Rotore * Area → Rotore di E = -(d/dt)B.

c²(circuitazione di B attorno a C) = d/dt(flusso di E su S) + corrente el. In S/ ε₀ + Circuitazione = Rotore * Area → c²(Rotore di B) = (d/dt)E + (densità di corrente el.)/ε₀.

Nel caso statico le prime due non cambiano mentre le ultime due si in quanto dipendono dal tempo ma la condizione di staticità impone l’invarianza nel tempo, non variando nel tempo sono costanti e quindi le derivate rispetto al tempo sono nulle. Diamo vita a due “discipline”: elettrostatica e magnetostatica, rispettivamente a sinistra e a destra.

Forza di Coulomb e Campo Elettrico

La situazione che si va a studiare è quella di cariche ferme nello spazio. Fra due cariche ferme c’è una forza proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale al quadrato della distanza lungo la linea che le congiunge. (Legge di Coulomb) In presenza di più cariche interviene il principio di sovrapposizione per cui la forza che agisce su una carica sarà la somma vettoriale di tutte le altre.

La forza sarà repulsiva se le cariche hanno lo stesso segno, e attrattiva se hanno segno opposto.

Campo elettrico: è la forza elettrica risultante F che agisce su una carica di prova q₀ positiva posta in quel punto fratto la carica stessa. Anche per esso vale il principio di sovrapposizione. Da notare come per quanto riguarda questo principio, nel caso discreto ovvero quello in cui le cariche sono numerabili si usa la sommatoria, mentre nel caso continuo l’integrale con i concetti di densità e volume (o area o linea) al posto della carica (non esistono integrali di carica). La forza può quindi essere interpretata come F = qE. Questa formula ci dice che il sistema di cariche è la sorgente del campo E, la carica q₀ interagisce subendo la forza F. L’azione tra le cariche è un’azione a distanza e ciò avviene attraverso il campo.

Riprendendo ora la definizione di campo elettrico prima citata possiamo calcolarlo rispetto a una determinata direzione per ottenere ad esempio Ex, Ey, Ez ecc.

Rimane il problema del versore che però lo possiamo vedere come e = (ex, ey, ez). ex = (x₁-x₂)/r; ey = (y₁-y₂)/r; ez = (z₁-z₂)/r dove r è il modulo della distanza tra i due punti 1 e 2 quindi si applica Pitagora. Sostituendo a dovere si ottiene:

Ritornando alle densità di carica abbiamo 3 tipi di densità che si distinguono in base all’oggetto che andiamo a prendere in considerazione:

Tensione, Potenziale elettrostatico

Prima di arrivare al potenziale occorre introdurre un po’ di nozioni. La forza che agisce su una carica q₀ si esprime come prodotto tra q₀ e E. Il campo qui indicato è definito come campo elettromotore mentre la forza la definiamo come forza elettrica. Il lavoro infinitesimo per uno spostamento infinitesimo ds si ottiene integrando, otteniamo il lavoro W esattamente come in meccanica. Dobbiamo considerare però un’altra grandezza ovvero la tensione elettrica che deriva da questo integrale.

Possiamo definire la tensione elettrica anche come W/q e in particolare dipende dal percorso. In generale in un percorso chiuso è inoltre diverso da 0. Definiamo l’integrale in un percorso chiuso e abbiamo un’altra grandezza chiamata forza elettromotrice (non è una forza anche se è chiamata in questo modo) che è data dall’integrale di prima ma lungo una curva chiusa. Le forze elettrostatiche sono un esempio di forze conservative in quanto l’integrale definito prima (non quello chiuso) lo possiamo scrivere in relazione a due coordinate iniziali e finali e quindi non dipende dal percorso, come da definizione per forze (campi) conservativi. Abbiamo la variazione di potenziale. Proprio perché conservative il loro integrale in un percorso chiuso è nullo.

Possiamo definire il lavoro come W = -qΔV e possiamo, essendo un campo conservativo, associare al lavoro così come facevamo in meccanica l’opposto della variazione di energia potenziale. Sempre per quanto riguarda il potenziale citato prima possiamo rivisitare il lavoro unendolo al concetto di principio di sovrapposizione in questo modo. Abbiamo visto come è possibile calcolare il potenziale partendo dal campo elettrostatico. Introduciamo subito il concetto per cui il campo elettrico è uguale al gradiente del potenziale elettrico cambiato di segno. Questo vuol dire che il campo elettrico punta sempre verso la massima diminuzione del potenziale elettrico e che il campo è perpendicolare in ogni punto alle superfici equipotenziali.

Vogliamo ora calcolare il campo elettrico conoscendo il valore del potenziale. Il potenziale è una funzione →R³ scalare ovvero R e quindi associa a ogni punto dello spazio (vettore) uno scalare. Siccome stiamo lavorando con una funzione scalare se tale funzione è derivabile e continua allora avremo, “calcolando la derivata”, si avrà un gradiente ovvero un vettore di derivate parziali.

Il potenziale sarà in questo caso

Riprendendo:

E “derivando” ambo i membri otteniamo:

Proprio perché abbiamo definito il campo elettrostatico conservativo e quindi con circuitazione nulla, avendo circuitazione nulla per il Teorema di Stokes inizialmente citato, abbiamo che il rotore è nullo.

Moto di una carica. Conservazione dell’energia

Consideriamo ora il caso di una carica in moto in un campo elettrico. Per questa carica continua a valere il teorema dell’energia cinetica. Il lavoro si esprime anche con:

Unendo le definizioni arriviamo al teorema della conservazione dell’energia, per cui avendo forze conservative, ed è questo il caso, si assiste alla conservazione dell’energia. Una carica positiva è accelerata se V decresce, al contrario una carica negativa è accelerata se V aumenta. Considerando un campo elettrico uniforme si ha inoltre il caso:

Il principio di conservazione si può quindi scrivere come:

Grandezze da sapere

• La carica, Coulomb, [C]
• ε₀ = 8,85×10⁻¹² [C²/Nm²]
• Il campo E, Newton/Coulomb [N/C]
• Potenziale elettrico (e Forza elettromotrice), Joule/Coulomb [J/C = Volt (V)]
• Il campo E può essere riespresso come:

Capitolo 2 - Teorema di Gauss

Flusso del campo elettrico

Il campo elettrostatico di una carica puntiforme è un campo centrale e in quanto tale è conservativo. La sovrapposizione dei campi è conservativa e in particolare qualsiasi campo radiale e con modulo dipendente solo dalla distanza è conservativo. La legge di Gauss vale solo se la dipendenza del campo è di tipo r⁻². Definiamo il flusso del campo E attraverso una superficie:

Analizziamo ora i casi in cui il flusso di E è nullo:

• E radiale n || E → NULLO infatti se E è perpendicolare alla superficie il prodotto scalare è nullo
• E radiale n non è || E → NULLO. E è indipendente dall’angolazione della superficie e quindi abbiamo la situazione di prima, questo accade in quanto abbiamo che il flusso entrante eguaglia quello uscente.
• Nel caso in cui E sia radiale e i suoi contributi hanno lo stesso segno (va aggiunto che nei casi precedenti i contributi avevano anche segno opposto in quanto si prendevano due superfici identiche opposte però in verso) il flusso è NON NULLO.

Tutto dipende dal fatto della presenza o meno di cariche all’interno di tale superficie, infatti (Teorema di Gauss) ^ Riprendendo la formula della divergenza di E ed il fatto che E = -gradiente di V abbiamo:

Dove l’operatore a sinistra è il laplaciano ovvero la somma delle derivate seconde parziali.

Possiamo definire le linee di campo una rappresentazione per il campo elettrico. Esse hanno direzione tangente al campo, verso concorde alla forza su una carica positiva e più linee ci sono e più il campo è intenso. Definiamo superfici equipotenziali, linee lungo cui il potenziale è costante e perpendicolari alle linee di campo.

Applicazioni del teorema di Gauss

E esterno a una sfera uniformemente carica. Definiamo ora un punto di equilibrio che può essere stabile/instabile. Una condizione per avere un equilibrio stabile è l’avere il campo sempre rivolto verso C. Si fa riferimento al teorema di Gauss → se il vero è negativo → il flusso deve essere negativo → la carica deve essere negativa. Per una carica positiva servono vincoli fisici.

Se la sfera è carica solo in superficie con distribuzione sferica, il campo all’esterno è quello di una carica puntiforme, all’interno è nullo proprio perché non contiene carica. Se la carica ha una densità volumica uniforme, il campo all’esterno è quello di una carica puntiforme mentre all’interno decresce linearmente. Per calcolare il potenziale dobbiamo integrare.

E esterno a un filo carico. E esterno a piano indefinito carico uniformemente: Bisogna ragionare per simmetria e calcolare il campo di E generato da una carica distribuita con densità superficiale su un piano indefinito:

Si ha sui lati della superficie carica:

La componente di E perpendicolare al piano è discontinua e quindi:

La differenza di potenziale è invece:

Capitolo 3 - Conduttori

Conduttori in equilibrio

Definiamo conduttore un materiale con cariche libere di muoversi ma vincolate a restare nel materiale. Il campo elettrico interno è nullo perché sulla base della legge di Gauss, non c’è carica all’interno del conduttore. Se il campo elettrico interno è nullo:

• Il flusso all’interno sarà nullo
• Il potenziale costante in ogni punto del conduttore
• Il campo è ortogonale alla superficie in quanto essa è equipotenziale

Un conduttore carico infatti presenta una carica distribuita in superficie. In superficie il campo vale:

Se si pongono i conduttori a contatto, per esempio mediante un filo, abbiamo un unico conduttore e quindi si avrà V costante ovunque.

Conduttore cavo

Si considera ora un conduttore cavo. Nella massa del conduttore il campo E è nullo per equilibrio. È quindi nullo il flusso attraverso qualsiasi superficie chiusa. Dal teorema di Gauss la carica totale sulla superficie interna è nulla. Non è nemmeno possibile che sulle pareti ci siano cariche negative e positive allo scopo di annullarsi a vicenda in quanto all’interno esisterebbe una curva per cui:

In contrasto con il fatto che E è conservativo, quindi anche nel caso di un conduttore cavo la carica si distribuisce solo sulla superficie esterna e il campo interno è nullo.