Appunti di financial and actuarial sciences

Financial and actuarial sciences a.y. 2020/2021

Professori e corsi

Prof. Carleo Alessandra

• Actuarial mathematics, giovedì e venerdì (prima parte del corso)

Prof. Gheno Andrea

• Financial options, giovedì e venerdì (seconda parte del corso), presentazione personale

Prof. Russo Flavio

• Financial part, mercoledì

Testi consigliati

• Hans U. Gerber, Life insurance mathematics, Springer
• Annamaria Olivieri, Ermanno Pitacco, Introduction to insurance mathematics, Springer

Programma

• Actuarial mathematics
• Valore atteso di un reddito aleatorio
• Funzione di utilità
• Assicurazione sulla vita
• Tipi di contratti
• Formalizzare contratti assicurativi (benefici in capitale)
• Premio unico e premio periodico
• Riserve di premi nette
• Tabella di mortalità dell'ISTAT

Actuarial mathematics

I modelli matematici riguardanti l'assicurazione. La scienza attuariale è la disciplina che applica metodi matematici e statistici per valutare il rischio in assicurazioni, finanze e altri settori e professioni. Gli attuari sono professionisti qualificati in questo campo.

In Italia: art 1882 c.c. “Contratto col quale l’assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l’assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana.”

Principi base per la valutazione dei contratti

• Misurare i costi della copertura assicurativa
• Stabilire il prezzo o premio per la copertura assicurativa
• Gestione del premio durante la definizione del tempo e calcolo delle riserve

Considerazioni

• Questioni finanziarie: tempistiche differite del beneficio assicurativo
• Questioni probabilistiche: casualità nella gestione del rischio
• Modelli di probabilità discreti
• Modelli di probabilità continui
• Processi stocastici

Tipi di assicurazione = diversi tipi di modelli

Non conosciamo il valore, ma conosciamo le probabilità del valore che può assumere. Variabile casuale: funzione della probabilità che la mia variabile casuale sia inferiore a un valore definito. Variabile continua: numero casuale i cui valori possibili non sono descritti fisicamente (ad esempio il tempo), quindi non possiamo calcolare la probabilità del valore esatto ma solo di un intervallo. Processo stocastico: è una funzione casuale.

Classificazione

• Assicurazione sulla vita
• Assicurazione non-vita (proprietà e responsabilità civile)
• Assicurazione sanitaria
• Assicurazione sociale (industria pensionistica)

Assicurazione non-vita

Compensazione per:

• Danni materiali (a individui, a proprietà)
• Responsabilità

Pagamento casuale f(numero casuale di sinistri) e f(importo casuale da pagare per ogni sinistro).

• Quanti incidenti in un anno (numero casuale di sinistri) è una variabile casuale discreta (variabile casuale di Poisson) N^.
• L'importo da pagare per ogni incidente è una variabile casuale continua X^k.

L'importo totale che la compagnia paga è uguale a: ∑k=1NS = Xk. La copertura viene generalmente fornita su un periodo rinnovabile (come un annuale).

Assicurazione sulla vita

La verifica di eventi specifici riguardanti la vita (“lifetime”) di una o più persone. L'importo di denaro pagato dipende da:

• Elemento casuale "se"
• Elemento casuale "quando"
• Importo determinato o determinabile "quanto"

Termine medio-lungo (min. 10-20 anni).

Assicurazione sociale

Copertura assicurativa fornita da:

• Sistemi pubblici (Stato, istituzioni pensionistiche, istituzioni sanitarie)

“Fondi pensionistici” o “Regimi pensionistici” per professioni comprese: pensioni di anzianità, pensioni di reversibilità, indennità di invalidità, benefici per malattie professionali, benefici per malattia.

Assicurazione sanitaria

Compensazione per incidenti e malattie.

Operazione finanziaria casuale

Scambio di importi monetari in tempi diversi, essendo gli importi e/o i tempi variabili casuali. Operazione semplice:

-S +X|---------------|0 T

T e X sono variabili casuali

Questioni: differimento (fin.) e incertezza (prob.)

Esempio: assicurazione non-vita. Se si verifica l'evento E, si verifica il danno di importo y conseguentemente. π.

Contratto assicurativo: hai diritto a ricevere y se E si verifica contro il pagamento di un premio. Punto di vista assicurativo: posizione casuale π, incassa paga y se E con probabilità p o 0 se non E con probabilità 1-p.

Punto di vista dell'assicurato: Posizione iniziale casuale + contratto casuale = posizione finale certa π-y π se E paga y se E paga paga π π se non E paga 0 se non E paga paga.

Esempio: assicurazione sulla vita. Assicurazione a termine di durata n. Prevede il pagamento di C unità alla fine dell'anno di morte solo se la morte si verifica entro n anni, contro il pagamento di un premio A.

Punto di vista assicurativo: contratto casuale. Incassa A, paga C a T se T≤n o 0 se T>n (essendo t il tempo casuale della morte).

Punto di vista dell'assicurato: contratto casuale, posizione finale casuale.

Decision making: misura sintetica del reddito casuale. Indice di preferenza: numero reale che consente di ordinare le diverse opzioni di investimento.

Valore atteso di un reddito casuale

Scelta di un modello probabilistico per l'operazione finanziaria da valutare. Ordinamento dell'operazione finanziaria attraverso il criterio dell'aspettativa. Considerando due importi casuali X_i e X_j:

• E(X_i) = E(X_j) equivalenza
• E(X_i) ≥ E(X_j) i migliore o equivalente j

Considerando un importo casuale X:

• E(X) > 0 Favorito
• E(X) = 0 Indifferente
• E(X) < 0 Non favorevole

Altre misure

Migliore indice di preferenza (I=indicatore): Φ(E(X_i), Var(X_i)) “contiene” misure di posizione e dispersione.

• Φ crescente in E(X_i)
• Φ decrescente in Var(X_i)

Paradosso di San Pietroburgo (Bernoulli)

Gioco in cui vinco se lanciando una moneta ottengo testa. Se scommetto 2€ e alla n-esima lancio ottengo testa, vinco 2ⁿ€.

L'aspettativa di questo gioco è uguale a: E(X) = ∞

Se usiamo l'aspettativa per valutare questo tipo di operazione finanziaria, dovremmo avere il valore di questa operazione estremamente alto, il che significa che posso pagare qualsiasi somma di denaro per giocare a questo gioco e nessuno pagherebbe.

Non solo l'aspettativa non è efficiente perché non considera affatto il rischio associato a un importo casuale, ma non possiamo nemmeno usare l'aspettativa in alcuni casi quando l'aspettativa non esiste. Questo gioco ha dato a Bernoulli l'opportunità di esprimere diverse teorie con cui ha valutato importi casuali che sappiamo essere la teoria dell'utilità che evita il problema del fatto che non possiamo calcolare questo valore.

Funzione di utilità

U = u(x). Funzione reale di una variabile reale per cui a qualsiasi importo x può essere associato esattamente un valore reale o utilità U=u(x).

Di solito, si assume:

• U(x) crescente
• U(x) continua
• U(x) differenziabile con le prime k derivate esistenti

X = E(X) + [X - E(X)]

Se il valore tra parentesi è negativo, la funzione di utilità è decrescente; se il valore tra parentesi è positivo, la funzione di utilità è crescente. La funzione di utilità dipende dall'individuo.

Avversione al rischio

Se la funzione di utilità è decrescente, per un'aggiunta di un importo di X, l'aumento nella funzione di utilità sarà minore dell'aumento in X. Se la funzione di utilità è decrescente, una diminuzione in X sarà minore della diminuzione nella funzione di utilità.

Propensione al rischio (giocatore)

Se la funzione di utilità è crescente, un aumento in X sarà minore dell'aumento nella funzione di utilità. Se la funzione di utilità è crescente, una diminuzione in X sarà minore della diminuzione nella funzione di utilità.

Indifferente al rischio (lineare)

U’(X) >0. U”(X) = 0.

La diminuzione dell'utilità marginale corrisponde a una funzione di utilità concava (u”(x)<0), condizione standard ma non richiesta.

Se valuto la mia operazione solo con il valore atteso (p=1/2) e le operazioni di 50€ e 150€ (p=1/2) sono uguali, ma se considero anche l'utilità, vediamo che avremo un risultato diverso. Infatti, il valore atteso della funzione di utilità è uguale a [U(50) + U(150)] /2.

La decisione su quale operazione sia la migliore dipende dall'individuo e dalla sua avversione al rischio; se la funzione è decrescente, la prima operazione sarà migliore della seconda perché vediamo che X_c (che è l'importo di denaro che corrisponde a E[U(X)]) è minore di 100 o possiamo vedere che U[E(100)] > E[U(X)].

Tipi di funzioni di utilità

• u(x) = ax + b Lineare
• u(x) = x - a/2x² Quadratica
• u(x) = a log x/b Logaritmica
• u(x) = a(1 - e^-bx) Esponenziale
• u(x) = √x Bernoulli-Cramer

Utilità di importi casuali

Importi casuali Random utility X variabile casuale:

1. Discreta {x_i, p_i}
2. Continua {x, f(x)}

Utilità stesso tipo di r.v.

U(X):

1. Discreta {U(X_i), p_i}
2. Continua {U(X), f(X)}

Utilità attesa: l'utilità attesa dell'importo casuale X è l'aspettativa dell'utilità casuale u(X).

• U(X) = E[u(X)]
• U(X) = ∑u(x_i) p_i X Discreta
• U(X) = ∫u(x)f(x)dx X Continua

X_c = equivalente certo dell'importo casuale X (rispetto alla funzione di utilità u(X)) se: U(X_c) = U(X)

Massimizzazione dell'utilità attesa

Secondo questo criterio di selezione, gli individui razionali cercano di massimizzare l'utilità. Non considereranno gli importi attesi, ma l'utilità attesa di importi casuali.

U(X) = U[E(X)] se utilità lineare

Di solito, l'utilità attesa di un importo casuale differisce dall'utilità del valore atteso dell'importo casuale. Il segno della differenza U(E(X)) - U(X) dipende dalla concavità o convessità della funzione di utilità.

Disuguaglianza di Jensen

• U(E(X)) – U(X) > 0 Concava: gli importi casuali valgono meno del loro valore atteso, l'incertezza è percepita come una negatività, avversione al rischio
• U(E(X)) – U(X) < 0 Convessa: gli importi casuali valgono di più del loro valore atteso, l'incertezza è percepita come una positività, amore per il rischio
• U(E(X)) – U(X) = 0 Lineare: utilità attesa uguale all'utilità del valore atteso, indifferenza al rischio

Perché gli individui pagano premi caricati?

B importo iniziale posseduto dall'individuo. L'individuo può subire una perdita y se l'evento E si verifica con probabilità p. π è il premio caricato.

π > py con (py=P)

L'individuo quindi possiede un importo casuale Z

• Z = B-y se E con prob. p
• Z = B se non E con prob. 1-p

La persona assicurata possiede un importo certo B-π. La persona acquista la polizza assicurativa se: U(B-π) > U(Z)

In effetti, anche se è: E(Z) = p(B-y) + (1-p)B = B-py > B-π, potrebbe essere: U(Z) < U(B-π)

Immagina la stessa distribuzione di probabilità (1/2).

Quindi abbiamo che se non compro il contratto ho B-y o B (importi) con la stessa probabilità, il che significa che la mia aspettativa in termini di quantità di denaro è B-P. Se compro il contratto, pago un π, un prezzo certo, quindi in termini di aspettativa non è mai conveniente acquistare un contratto assicurativo perché l'aspettativa di acquistare il contratto è inferiore all'aspettativa di rimanere nella posizione casuale (B-∏<B-P) ma se valuto questa operazione finanziaria lavorando con le utilità e non più con le somme di denaro → se non acquisto il contratto assicurativo, mi trovo in una posizione casuale che corrisponde a u(B) con probabilità ½ o a u(B-y) con probabilità ½. La mia utilità attesa è U(Z) quindi se non acquisto il contratto ho un'utilità attesa U(Z) che è equivalente alla quantità certa B-∏. Se il prezzo del contratto assicurativo è ∏ per me è indifferente acquistare il contratto o meno perché acquistando il contratto ho B-∏ che è esattamente la quantità di denaro che secondo me, data la mia avversione al rischio misurata dalla funzione di utilità, corrisponde alla stessa quantità di denaro che corrisponde all'utilità attesa. Quindi questa quantità di denaro produce la stessa utilità di avere un importo casuale di denaro ma se il prezzo ∏ è inferiore a questo livello, che è il prezzo massimo possibile che potrei pagare acquistando il contratto → avrò ∏>P ma produce un livello di utilità che è maggiore del livello di utilità che attribuisco alla posizione casuale quindi se la compagnia fissa il prezzo in questo intervallo di valori (B-∏ -- B-P) per la compagnia c'è convenienza perché il prezzo è superiore a P e per l'individuo è conveniente perché l'utilità attesa è maggiore dell'utilità di non fare nulla che è U(Z); ovviamente se il prezzo fosse esattamente uguale al valore atteso l'utilità dell'individuo sarebbe l'utilità massima possibile ma con:

• B-P c'è convenienza per l'individuo ma non per la compagnia assicurativa;
• B-∏ c'è convenienza per la compagnia assicurativa ma non per l'individuo;
• B-∏ -- B-P il contratto sarà conveniente sia per la compagnia che per l'individuo.

La stipula del contratto assicurativo è svantaggiosa per l'assicurato e conveniente per l'assicuratore.

Assicurazione sulla vita

In base a un contratto di assicurazione sulla vita, un beneficio verrà pagato in futuro al verificarsi di eventi specifici riguardanti la vita (“lifetime”) contro il pagamento di un premio. La casualità è causata da eventi riguardanti la vita umana.

La vita futura di una persona di età x (x) = persona di età x anni o vita di età x.

T = T(x) = T variabile casuale che rappresenta la durata della vita futura di una persona di età x.

x + T età alla morte della persona. xT variabile casuale che descrive la vita futura di un bambino.

Funzione di distribuzione di probabilità:

• (t) = prob(Tx≤t) =- G q PROBABILITÀ DI MORTE x /t x
• 1 - G (t) = prob(Tx>t) = 1 - q = p PROBABILITÀ DI SOPRAVVIVENZA x /t x t x

G (t) continua e differenziabile x prob(Tx≤t) = q/t x prob(Tx>t) = 1 - q = p/t x t x q + p = 1/t x t x.

Funzione di densità di probabilità:

• (t) = G’- g (t)x x
• g (t)dt = prob(t<Tx<t+dt)x G(t) = prob(T<t)(t) = G’(t) gx(t) • dt ≈ 0 g x.

Esempio ≤20) la probabilità che una persona di 40 anni muoia in un intervallo di tempo di 20 anni q = prob(T/20 40 40p = prob(T >20) la probabilità di sopravvivenza di una persona di 40 anni per 20 anni 20 40 40|-----------------------------|40 60 ETÀ 0 20 TEMPO • Probabilità p = prob(T >t) probabilità che una vita di età x sarà vivo all'età x+t, cioè sopravviverà almeno t anni.

t x x ≤t) probabilità che una vita di età x morirà prima di età x+t, cioè morirà q = prob(T entro t anni./t x x • Probabilità di un anno. Se t=1 p (= p) la probabilità che una persona di età esattamente x sopravviva un anno all'età esatta (x+1), cioè la probabilità di sopravvivere un anno (probabilità di sopravvivenza di un anno).

q (= q ) la probabilità che una persona di età esattamente x muoia prima dell'età esatta (x+1), cioè la probabilità di morire l'anno successivo (probabilità di morte di un anno).

|----------------------------|0 1 ANNI x x+1 ETÀ • Probabilità di morte differita ≤s+t) q = prob(s<Ts/t x x Sotto la barra c'è il numero che esprime la lunghezza della durata del tempo (t) e sopra la barra c'è un numero che ci fornisce un'informazione sul periodo di differimento da cui iniziare a calcolare il tempo t (s). Questa è la probabilità di morte di una persona di età x in un intervallo di tempo t a partire da s anni da ora.

q è la probabilità che la vita di età x sopravviva s anni e successivamente muoia entro t anni, s/t x cioè muore tra le età (x+s) e (x+s+t), cioè muore entro t anni dall'età x+s. |---------------------------|------------------------| →  →0 s s t s+t ANNI →  →x s x+s t x+s+t ETÀ. Se s=0 q è uguale a q .0/t x /t x ‘s’ è il ‘PERIODO DIFERITO’ Il periodo •q = p qs/t x s x /t x+s ≤s+t) ≤s) = G(s+t) –= prob(T - prob(T G(t) = q - q x x /s+t x /s x &=ndash;= prob(T >s) - prob(T >s+t) = p px x s x s+t x • Probabilità condizionale p = prob(T >s+t | T >s)t x+s x x Probabilità condizionale che la persona di età x sopravviva altri t anni dopo aver raggiunto l'età x+s. ≤s+t | T q = prob(T >s)/t x+s x x Probabilità condizionale di morire entro t anni, dato che è stata raggiunta l'età x+s.

Altre identità

• p = p ps+t x s x t x+s

Applicando ripetutamente per intervalli di un anno:

• p • p • … • pp = pt x x x+1 x+2 x+t-1

Vita media attesa

La vita media attesa o aspettativa di vita completa di una vita di età x è l'aspettativa di vita tenendo conto dell'intera vita dell'individuo:

• ∞) = ∫e° = E(T t g(t) dtx x 0

In termini di funzione di distribuzione:

• ∞ ∞) = ∫ = ∫e° = E(T [1-G(t)]dt p dtx x 0 0 t x

Forza di mortalità

La forza di mortalità di (x) all'età x+t è il tasso istantaneo al quale le persone stanno morendo:

• ln[1-G(t)] • lnµ = g(t) / (1-G(t)) = -(d/dt) = -(d/dt) px+t t x

Probabilità di morire nell'intervallo tra t e t+dt:

• prob(t<T<t+dt) = g(t)dt = [1-G(t)] µ dt = p µ dtx+t t x x+