Appunti di Econometria

06105 Lezione Ven1 - introduzione

PerPartiamo problema elasticità di domanda da1 bene dobbiamo misurare proprio un esempio economico consumo al prezzo,.. f- )(quantitadi P)diretta QDomanda 'di tra( linearedomanda relazioneèla Funzione l' prezzo elasticità una : = prezzo. ← ↳ quantità da 'IEap Eapdove tt es= ◦ <- '.dp q deidomanda aldella tuttareattivitàriguardo variareda'?Perché prezzi la' NB Elasticità informazione da interessante misurare non:.( diAdomanda beni di benzina trattamodostessosensibile si diallo prezzoè alla energia rincaro rincaro per esempio o ,)tipo di questo è domanda elastica necessita quanto'1º unaper poco ., scegliere modello.

Problema e curva di domanda

2. è economico Problema Rappresentare necessario per un il : negativamente bpQ inclinata domandabquanto didove ' Curva a + poiché caso < 0in= ,,PbEap scala= .- Q coefficiente angolare di domanda inversa Curva grafico :P 52 perfettamente p Eaprigida curva -0>=elasticaèdunquee disi non a variazioni prezzo E • e ,P ° E, , Qà è situazione costante monopolio mercato di rimane di potere di i perciò domanda un pieno esempio questo ma la anche prezzi offerta varia In caso . , ,, monopolista ' Maker il quindi e Price .P limite domanda perfettamente 'orizzontale di di domanda curva una e caso un )di elastica Siamo concorrenza ( più aziende caso perfetta un in concorrono.

Elaborazione statistica

.domanda5 Qmodello di Statistico elaborazione un3. b Pt UQ disturbo dit Terminea errore := OForma funzionale-"" variabile omesse variabili proxy -: misurata approssimata di misura errori-errore con . )economiche( variabili sulle/ osservazioni 4. Dati variabili le possono essere : Tt nel variabili tempo cambiano 1che =→ , . ..., variabili individui i tra che cambiano N1→ = ... ,., " " individui intesi lato persone come senso in non, "time" considerando series Es di sto tempo PIL prendo nel una Pllz Paese: un Cross Seaton, -Diversi tra Paesi di anno Pil Pll prendo un; di Pllit quindi tempo il che anche' Paese il capitare avere varia sia può ,parametri/costanti b PtQt T Ipotizzando tUt una a + storica serie t t== ,. .., variabili nel tempo che A-non variabili osservabili variabili tutte osservabili sono uguali non e: ( )Pt (Qt )Vt ma essere possono stimati, IStimare 5. di Parametri serviremo obiettivo ci Quindi stimatori: .

Stimatore statistico, stime e previsioni

Stimatore statistico A.V. Strumento → ,Applicando stima dati stimatore AIOttenuto valore affidabilità /delle 6. Stime ipotesi delle prova previsioni 7. Qt-atbp.lt tmodello Ut ,TalTorniamo -1- ....- 17Qt .it-1=1Dati su e , ... èI 7 t+ dove0.5 ,Tt= = - =, ...,bStimatore aper e- statistico atti faccio il modello? Voglio Usostimare cosa,tbè Ptt Tttil tempo al T1- tempo previsione → per=+1 ,¥ LE_ statistico valido ipotesi Il modello al tempo t è tempo 171valido → al anche dell'il ipotizziamo esplicativa 17+1 conosciamo valore0→diModello regressione lineare.

Modello di regressione lineare

Il t it=P ..., versione scalare(1) =PYt ✗ 132 B Ut✗ BK+ tzt ✗✗ ++t +ti ; ;, tu+. ... ..è UtBr ✗ non osservabile variabile t= + r1✓ = variabili variabile esplicativa dipendente ,parametri noti non costanti o( ) ft ipotesi intercetta ✗ T=P1: ti = ...,, ◦ Yt13 di parametri marginale dei ✗ interpretazione Br effetto YtSUtj=: ; 2 Xtlj11=2Caso B UtBaitaYt ++✗= t ,, IIB + ut+132×+2Yt = ,↑ ↑ ↑ ↑Qt PtbaMATRICIALEVERSIONE ✗(2) 13 tuY = TXK txtTXT text- ' ''Y - ✗1 ✗- -- ✗13U 13 1K12, .., _,D= B¥ === ↑ ✗I I92 ✗i ✗22132 23 . 2k..u ,ex , e, ',× : : ;' ::↳ B ✗?Up × ?÷-12; . . .YT ✓ BK XT XTKXTZ1T } -. . .- .. . .. .

Ipotesi classiche sugli errori

" " sugli ✗classiche ipotesi Ue errori sulla EIU] ][F- V-t-t.i.it1 UtO 0- -_ ,. TXITXI variabile casuale][E-2 'UU =. TXIIXT applicare dire ciascun VUOI a elemento 'di UU Val Atteso il . -- 42 Viva UIUT'UU matrice è. simmetrica..= unaTXIIXT v2 1- ≠conUtus s..'2 ;" u ]# [ Ut -0" èUF ]/ ≥ ]questo UÌ[)' (perché #varlut E) ]EUt [ Ut=- -,- -- -. . [. . ]E. 4-" Us ]Gluteus- i. -- -.][* , [ di]uu [ 'UU è varianze matrice la e covariante= Allora. " "ECU ]! " Varlut)= .I .l .l \ -- ._TI- -0 0. ..{Iè tti( ]E- ft)( degli' Vt omoschedasticità VU var ' errori ☐== -2 ,u , " Covllfvg ltt degli=/) incorrelazione S errori. =D ,. " Tft- _/✗ )random stocastica componente( deterministica modello del non3 non. Ì' fra linearmente matrice la Ed ✗dire K) T colonne che le(( '✗ ' equivale' ESISTE quindi ✗ a ✗× ✗✗✗✗ singolare perciò4 <rg e non= ,. " " indipendenti )CLRM (di modello ipotesi modelli linear regressioni classica41-Regressione /si Il dice lineare Soggetto alle = quadrati dei13 minimi stimare per criterio criterio : richiamo :T ÙUEUI B)Ca'aMin a→ == ZB1-B ' TTX '=/ ✗ AB)P'( Zapa -iParametriK dB""èèè;I " "" °condizioni ordine del (primo ¥9" "a → = ,213 → ve{ all' U -1¥riffa a43 ytplxipUXPD= ' B)(U (ÙU B)NB XPY+ y' 'yiy p'Y: ✗ ✗, Y xp- ✗-kcondizioni -di - - =sistema - -I KKXTIU 1TXT IXTTXKKXTTXT) TXT✗ KXI Kxttxnkxi( yg ' +2×1×13=-2×19+2×413'✗ y ✗0 y- "-=all' 'U Y' )( XPap= ☐ I' '✗ y213h a-1×1all' U ' ordine condizioni' di delle13✗ primo ✗FOC compatta forma ✗ 9=0: -= " I✗"" text, " text@ }| - ,, ×KXI ' '13 "normali ✗✗✗ Y di cosiddette "equazioni sistema K= " '1-' y( ✗✗13 ✗= "NXT moltiplicare (Posso ipotesisxa poiché esiste per ' 4per è "XÌ 'perciò ( ' ✗ ordinari (Y quadrati )✗ dei stimatore minimi OLS=, KXI random commento sono non 13th la ✗y = ↑è T''' 1-_ '' ' '' )( ()( 1-' ( il ✗(13 'Ptu✗ '× ✗✗ y +✗✗ ' + ✗=p ✗✗ U✗✗ ✗== = è VARuna casuale ↳XÌX1^3=13 §'(' 'però U✗ casuale t una di variabile Uè c. LRisulta che .↓ "1^3-13 '-( ) U✗' X✗ bias sample →=-scarto è TRA digrado non STIMARE STIMATORE lo QUESTO CHE significa in ≠ 0 ,strumento statistico modo parametri in Esatto 13 di vettore il devo stimare che e QICS /MARIO 05 Lezione 2- least ordinario """OLS "" negli' proprietà stimatori stimatori il ottenuti metodo con quadrati )(dei OLS minimi.

Proprietà degli stimatori OLS

Distorsione

1 Distorsione non. EIÀ ] B= stocastica non ] 'è 'Il -) '(# EIU]1- 'EC B) '' ✗✗ ×U✗ ✗ o✗ ===- ✓↓ ipotesi o per=perciò stocastica classica è ]E[ -13 0=è è][ [F- [] B)F- E =p- "p.

Efficienza

Efficienza 2. è "è matrice 1-/pi[ }Ì) ']( 'E '( ( (B)cov B) v''E (✗✗ '✗ v. ✗ ✗✗ un= =- -KXK I' ' 'T' XÌ' ! _)1- [ ( (] Jj ('(UU '' 'E- ✗( 'I' '✗' ✗✗✗ 0✗ ✗ ×✗× ✗✗✗=matrice == ,di VARE - ✓§di covariante T' piFf )([ It ( ' Var jIpotesi → classiche 1✗ Kè n= =' ( ' , ,...✗ I✗✗ ✗ jj2 E 3 . ,\Alternativo OLS a stimatore :è è 'LY IY( ) _' ✗× AY✗= = =, ." T TX /✗tizi A=stocastica matrice non è )(=L LXB LUPtu✗ +=, èEI ] ][E LXP [ ] distorto E- dunque ≠LU+ LXB è13= =è èperò ]( ) [In distorto affinché 13F-LX modo ipotesi non questo in=) == → ,,, bias Et sample è Carlà è ]El è è( '() B) )B) (=L LXB LUPtu BLU✗ Lu=p+ +--= = - --- ,sample bias EILU L' )] (distortotuEIVV ] 13 lineari stimatore=LV' '' LL OLS da ≠yL generico non per in → e.= . =. TE modo seguente nel L allora riscriviamo :' '_)( qualsiasi1) matrice ✗ stocastica' non( ✗ t× →=Moltiplico per matrice ciascuna a sx µ'1- ''(LX DX✗✗ +✗✗= Dè DXIn DXInIn 0LX ++ == =InPCR Ipotesi confronto ÌD ''D) { ]' 'LL' [ ' )(( -) _ '' × ✗✗+✗✗ ×= i ''' ' _' ( _)- D' ()( 1- ' ')'(' ' ' ✗✗ ✗ DX✗ ×✗ t ✗×✗✗× + DD+= "" 'Id )( DX= =D'( ) '' _ DD✗ ×= +' moltiplico' }- '( ' )LI membri entrambi ✗ DD✗ i+ T= per' ') }% DD_(TI definita' 'LL semi ✗ Ti✗ += positiva Colpi colpi ) ¥0) QUESTO significa che Covlpi corpi)) ≥o- teorema importante Questo dici consente enunciare un :Gauss-Markov di teorema - è OLS più stimatore ( qualsiasi" )di lo più efficiente lineare altro stimatore matrice var e Pippetto"cov non Eapiccola distorto B per ""OLS ' Blueena.nl ? e desTlMAT0RUNl -RACTUAl/Fl TED/RESlDUAlS{↓best osservati actual Y valori:• TXI èI ✗=previsti valori fitted :◦ TXI ITXK In ✗Ù §RESIDUALS y residui: = -• TXI TXI TXI dal non spiegata Modello ↑Ù§ è9+-9^+1Y perciò tt+ .it1= =- , . . .↓osservata modello dal di y spiegata parte.

Actual, fitted e residuals

• Best osservati actual Y valori: • TXI èI ✗=.
• Previsti valori fitted: ◦ TXI ITXK In ✗Ù §.
• Residuals y residui: = -• TXI TXI TXI dal non spiegata Modello.

Matrici di proiezione e annichilatrice

"Proiezione di Matrice definita " previsti valori dei Y matrice di calcolare consente la matrice fitted applicata essa alla ne, ,è PYD= y✗ == PTXT.

Residuals annichilatrice matrice : osservati applicata matrice ne Yalla dei valori D=Ù ,)Y ( Yy Ppy It ottengo y residui i del modello= - ☐=-=_definito perciò abbiamo :'(P 1- di'✗ '✗ ×✗ proiezione matrice= )M ( Id P= annighllatrice matrice- Pe' M delle matrici proprietà MIM1. 'P simmetria =P e =: )( I PM = -' 'D= ( ' )✗ _✗ ×✗ ' 'M'' PI1) P I'( MP' '' () '( )' _ ==p✗✗ ✗ ×✗ - ✗× - -✗ = === ↓↓ entrambe matrici simmetriche= P idempotenza PXP2 MM M: ✗ =. , )( ) (' ' ''l' ftp.I-P-MI( MM P_ I PI P I)( PI_ P' P'✗ ✗✗ +✗ ✗ =p✗ ✗ × = =-- -= - -=- =P per I potenza Idem µ 'ortogonalità 3. MP =D:)( xpPIt =P PP P=P 0- =- -M ✗Corollario 0: =( ')PI -✗ '( XixX-P ) ✗✗ ✗ ✗ ✗✗✗ 0=- = =- =-9=5+0↓ parte