Appunti completi Statistica 2

Statistica II

Popolazione

Popolazione - Collettività dei possibili esiti:

• Finita - unità statistiche realmente esistenti che possono essere rilevate
• Infinita virtuale - insieme potenziale delle osservazioni connesse alla ripetizione, teoricamente illimitata, di un esperimento casuale condotto nelle stesse condizioni

Non sappiamo a priori quante n → potenzialmente ∞

Modello - rappresentazione numerica della popolazione

Campione - sottoinsieme finito degli elementi della popolazione, n-pla di variabili aleatorie i.i.d.

Inferenza statistica - insieme di tecniche statistiche che a partire dal campione cercano di inferire dei comportamenti a livello dell’intera popolazione.

Il modo di procedere induttivo → rischio di errore (e)!

La teoria della probabilità fornisce i modelli probabilistici che identificano le popolazioni di riferimento.

Campionamento casuale

Campionamento casuale (es. campionamento con reinserimento)

Il campione prima dell’estrazione è costituito da n variabili casuali X_i con i = 1, ..., n. X_i ha una distribuzione (f(x)) ↠ rappresenta il modello che descrive la popolazione.

Data la v.c. X oggetto di studio con f(x), un campione casuale è l'insieme di v.c. X₁, X₂, ..., X_n ↠ tra loro i.i.d. (indipendenti e identicamente distribuite) n° osservazioni.

1. Il campione selezionato è solo 1 dei possibili campioni estraibili dalla popolazione.

Spazio campionario - insieme dei possibili campioni di numerosità prefissata estraibili dalla popolazione.

Statistica = stima/approssimazione dei dati campionari ↠ valore numerico calcolato sulla base del campione osservato, è una funzione.

Stimatore - particolare statistica per approssimare il parametro della popolazione e il valore che fornisce è una stima.

In corrispondenza dei k-esimi campioni ottengo ≠ x̄ ≠ x̄ → le statistiche campionarie dipendono dai campioni su cui sono calcolate e sono affette da variabilità.

Esempio

Esempio: Popolazione formata da 3 unità, dove X può assumere valori 0, 1, 2 voglio estrarre con reinserimento un campione di unità 2 → n = 2.

Statistica II

Popolazione

Popolazione - Collettività dei possibili esiti:

• Finita = unità statistiche realmente esistenti che possono essere rilevate
• Infinita / virtuale = insieme potenziale delle osservazioni connesse alla ripetizione, teoricamente illimitata, di un esperimento casuale condotto nelle stesse condizioni

Non sappiamo a priori quante n = potenzialmente ∞

Modello - rappresentazione numerica della popolazione

Campione - sottoinsieme finito degli elementi della popolazione, n-pla di variabili aleatorie i.i.d.

Inferenza statistica - insieme di tecniche statistiche che a partire dal campione cercano di inferire dei comportamenti a livello dell'intera popolazione.

Il modo di procedere induttivo → rischio di errore (e)!

La teoria della probabilità fornisce i modelli probabilistici che identificano le popolazioni di riferimento.

Campionamento casuale

Campionamento casuale (es. campionamento con reinserimento)

Il campione prima dell'estrazione è costituito da n variabili casuali X_i con i = 1, ..., 10. X_i ha una distribuzione (F_Xi) → rappresenta il modello che descrive la popolazione ⇒ Data la v.c. X oggetto di studio con f(x), un campione casuale è l'insieme di v.c. x₁, x₂, ..., x_n tra loro i.i.d. (indipendenti e identicamente distribuite) n° osservazioni!

Il campione selezionato è solo 1 dei possibili campioni estraibili dalla popolazione.

Spazio campionario = insieme dei possibili campioni di numerosità prefissata estraibili dalla popolazione.

Statistica = stima/approssimazione dei dati campionari → valore numerico calcolato sulla base del campione osservato → è una funzione.

Stimatore = particolare statistica per approssimare il parametro della popolazione e il valore che fornisce è una stima.

In corrispondenza dei ≠ campioni ottengo ≠ X̅ → le statistiche campionarie dipendono dai campioni su cui sono calcolate e sono affette da variabilità.

Esempio

Esempio: Popolazione formata da 3 unità dove X può assumere valori 0,1,2.

Voglio estrarre con reinserimento un campione di unità 2 → n = 2.

Prima dell'estrazione: X₁, X₂.

Uno dei possibili campioni estraibili è 0,1. Ma quanti sono i possibili campioni estraibili?

X₁ può assumere valori 0,1,2. X₂ può assumere valori 0,1,2.

Probabilità di realizzazione di 1 campione.

Esempio 2

Esempio 2: Stesso esempio di prima ma senza reimmissione ⇒ possibili campioni sono 6.

Descrizione dello spazio campionario:

Una volta estratta la prima pallina dall'urna ne rimangono solo 2 perché non c'è reimmissione.

Probabilità di ottenere un generico campione = P(X