Appunti Algebra e Logica

Logica e Algebra lez. 1 - 01/03/2021

Generalità sugli insiemi

Generalità sugli insiemi raccolta = Jef " "" " è insieme di collezione oggetti una un: o} } { { Notazione ha proprietà P a P 1. 2. 3 oppure ne = se:: : = ... . . . - elementi P ai insieme A a' aA ; ' € s; = c- aa aa tTT t appartiene appartiene contiene Non non contiene.

Paradosso Russell di : } { è E2- t.ci insieme:-. . * 2- Se 2-2- 2- ¢ vale non E >*= > => è Se 2- insieme • davvero allora un >=, ' se 2- 2-2-2-E vale > e >= = *".

Jef famiglia Si " in indicizzato dice indici di insieme insieme oggetti a di dato da un un: , { } raccolta " ti ai I A I del tipo dove ai una c- c-; e =, , , .

Inclusione tra insiemi

Inclusione tra insiemi " f è 'A. Si Def insiemi sottoinsieme olice a di B B che O: : è " fa BA " EB a sourainsie( a di > > B) = ⇐ Eoe me. Il è a in contenuto B a) B contiene.

N.B. A è E a B Se incluso B in non B) ¢ aB) Itoc- NON laa >B < ⇐ > Non >e E c- == a. IAao E B ¢> Q- = o.

Note : "" eti ) al 1 a. insiemi aa EBB B B C > si ha < ==: "" esiste unico un { } = 2) indicato " insieme insiemi speciale anche detto - vuoto ; o con ,,.. ha E elemento insieme E o nessun ; non c- { } " Il ' Def tl = E insieme FPIE FE insieme delle si ) dice insieme parti E: : =, ,.

Esempi : 0 (1) PIE PLE E E) E ); }} { E 0 0 il PCE elementi )= > (2) numero = di = { } { } { } è 0 e pie parti insiemi degli delle e > ) e = = una = , } { } } { } {{{} e la E la PIE potenza 2 > e e la ) di = = = ., , .. .,. intersezione ati.

Operazioni tra insiemi

Operazioni tra insiemi insiemi a. nB: B } { A B) (intersezione B.n A) • ire = le e ese ^: A B " unione " oppure = # } { A B) (y (4 unione a) v13 • e ✓ y e: =: A B { } A B) (differenza A) ( differenza B ¢ 2- 2-n2-° E: =: ← e CE complementare EE la (A) • =: AE) di a in /) A a Differenza BB AB simmetrica • stesso + u =:: . cosa ! (A ) ( anB a , v13: = cioè V-A.BE Nota EC-APCE B) se: , BEa an B aa UB PIE ④ 113 ) ;; , { } " b) l' " Def ti B insieme a. aea.beB prodotto cartesiano B. insiemi dicesi : a. ✗ =: - più definirsi B insiemi N n di U per ✗ possono Owe:. , ,.

Esempi : { } beBxc Iaea( CECA c) Bb. • =: ✗ a. ., } : { NIKE a) (An ) Bnc B) C° ^ke: se ese A disgiunti: "" Def A. an B si disgiunti B dicono insiemi Due se : =: B.

Proprietà delle operazioni

Proprietà delle operazioni in PIE ) :

• ④ 1) n Sono U commutativa ovvero :, ,, fa B insiemi :, a • Bnanb = { { }} a yllyeb) v13 • A (yBua a) (B) lyea) v13 = y c- c- = ✓ y > a 13 = 13 ④ B) a aa ⑦ Bla ④ • D = ) > u (Bla a13 ⑦ ) > a Bu =.
• 2) n U ⑦ Sono associative :,. la • B) (nc a Bn C) = n n ( (a aB) C) • UC BuU = ula B) ⑦ C ⑦ a ⑦ (° ⑦ C) B =.
• 3) a EPIE elementi insieme t.co speciali ). è A Ea elemento E Era PIE ) neutro in = n = per • na a va • == u 0--0 = 0 a • san 0 a ④ aa • ④ == EA Eva ° E = = u Y insiemi Proprietà a.
• 4) B. distributiva C ::- (( ) a (B a C) C ) Ban = U un n (B ( • C) (ma Bsa ) Cna ) = v u (a' ) ( (aBs BC) aw = c ) Uu nIbne va ( (C) Bua ) A) C = Un Ma' viceversa a ④ laIB ilC) ④ C) B) ( an non = n n.
• Formule 5) Morgan De di : a (113- B) (al aC) C) \ = u n (a al ( alB) (' 1 B C) C) = un ti 2- In 4 2- particolare 4. × C- × con: ,.) Cz ( Czv4 (Y)) ((✗ × = nz (4) Cz ( )) ( ( Y (✗ n X u 2-.

Logica e Algebra lez. 02 - 04/03/2021

Corrispondenze

Corrispondenze " ti ' Def A. B qualunque insiemi corrispondenza dice AxbB si sottoinsieme Ada di un ; : a cioè P AE B ✗ graficamente : ' b) QQ ,, b , > P ② 2 ba a- B >--- -Q3 b > } É Ì lP Con fb13b) Ela < > ⇐ a ai > .¥ f P Def f a B sia e corrispondenza dice B: > : ✗--- ,.

Dominio a fa) di : = Bb) f Codominio di : = { } ' ' fa ' b ' Joieca immagine laa = pA p : (B là ebc- : per di c-ci : =, , { } ti ' ') '' '' f-' il d) A b 113B E ) il B bB immagine contro B di per e ::-. = ec-a a.- :,.

Esempio : } { '' a as.aea = b° . ,.' , } q {9, bla' bcbs' ) ba = } > ,,, Q : b } ac }, b > 4 {' } B bibbeQS ib = } > ,, ,, } { ' f- ora. (a) @ = a,.

Classi speciali

Classi speciali il Def a corrispondenza B si una dice > :: _R a relazione in Ba se: = to funzione beA 9BBF ao bsea : E :: - Ea.. . ..

Esempi : ti B) a. PIA01 A insiemi BB E- ✗ ✗ ,, totale Ba: = ✗ > 7 corrispondenza > = ' vuota 0: = insieme a relazione identica corrispondenza stesso 2) data di sea in da : ÷- , } { { "} ' "" a aa ' ' Ida e =: aa. ae = aa = a a ✗ ., , a ya # = . " " Ida diagonale si dice I ) . i " " insieme lt la relazione inclusione 3) corrispondenza E :-, , IC- APP (E) (E) IR: > =--- . { } " ' E "' PLEE PCE E) EE ) Oleata E c-oca :-. x,.

Costruzioni sulle corrispondenze

Costruzioni sulle corrispondenze '1) " Costruzioni insiemi sti che : U Capotra corrispondenze ntra a B possiamo operare • cone : + ,, . . f.

Inversione f PIA 2) a PB B) E-: ---: ✗ ' ' f- '" f- a) A PIBB detto corrispondenza inversa e >- - ✗--: , .. } { b) "l b a) ( B eAE c-a. ✗ : = , ' P f- NOTA corrispondenza corrispondenza: ' funzione 9 f- funzione # uguali Tit.

Composizione a Ot 3) : B corrispondenze B di c: -: - --- --- , ! 0 te a0 C Corrispondenza GtaI = da > o * -: -- -- , { c) 60 la b.b) 3- OTe ba t c-Bio E CC) E:E: = n × . . , ' ti A ' l ' haaB AN E immagine si per di : :. , { }) C' )) '' AO TIO0oz aa ' = te = C) ioec Ea e : o- . .

Proprietà notevoli della composizione

Proprietà composizione notevoli della : t è la 1) a B0 composizione C Dt B associativa CU -: > -: :-: --- -- , , ) (IO ) I IU 0U = oo oo ) TU 0 o ° V00gT Y idb- Ca - -- -> - -- - --- - - 7 70 To U 0 Io ☐.

Elementi 2) neutri À il : È ha disPf 9Idsi p I > =: = a-_- .: .,... . . idb Ida analogo N B 1 × o = ✗ × : × = a : ; + .- cioè l' è 0oz.

3) Non T = / generale composizione 0 commutativa indi operazione o, IPuò ] io che ) contrario il anche essere zo (Te oma ot.

Inversione Got 7 aa o 4) CBt : B c-: >--: : = ------ -- , ' '' - g-: (Si I_ha ) o oz = o.

Logica e Algebra lez. 03 - 08/03/2021

Funzione e famiglia indicizzata

" fp funzione cioè NOTA 9 A B ) PLB corrispondenza le stesse contiene una - : >> : ---: -, ' - informazioni e di { } fpia li' tratto PLB ' = p ) a c- ba) : > } { ' = p " Qi ' b come a a un > > " ' b > elemento solo " ff famiglia Def = insieme funzione E- E indicizzato dicesi di in ogni oggetti I : da > : - .. { } ti fii Si famiglia ) la lei descrive Con > li anche Iie c- : =: I.

Esempio : { È È È } è s { } { } Ef E funzione I alla * corrispondono I 1.2 3,4 0 con × :- =:-.: , , .., . , , I E > 1 : * 2 { } ° 1mL: f) * o = , 3 ✗ 4.

Funzioni speciali

Funzioni speciali funzione f. Def a dicesi B una > :: " { } " " fa ' f ' ' fia ficafb ".

• Iniettiva ha b 1) B 1 si = / ) ) a ae = / @ > : =, .' { } { f- } fb In (f) 1 ha b fra.
• 2) AB Si b Suriettiva B Bc- E a = c- : - > =: ' { } f- 1BEB.
• 3) Biettivo b suriettiva = iniettiva contemporaneamente e ; :.

ti f. A Prop ha B si > : : ' funzione è fbiiettiua f-la a < corrispondenza : B > inversa una ---- ' { } { } f-f ^ Dim {b f f- } biettivo BEB Contro 1 b immagine b di = di immagine per per : < > ; =. , ^ è funzione ⇐ f- > la una corrispondenza.

NOTAZIONE : f f- iniettiva A B -: : ff- B suriettiva a :: > > f f biieltiua' a B -:: ' f- è f funzione è Nota a se : B allora biettivo ed a biiettiua suo volto B > : > : a --- .., . * " è If f-' è Infatti funzione-f- Perbiiettio proposizione la: > = . *

' f- ( (b a) f < b) e E > a. =, "" f ^ ( f-a) (b) b. EE < a. > = ' te _ ' cioè Questo ' è vale = pa anche B: -- -- ,.

Logica e Algebra lez. 04 - 10/03/2021

Funzioni invertibili

Noto funzioni è h a la: BB corrispondenza a-koh cK c sua > composta: a > : > . -- ,, Ya funzione ( Kohtla ) a) volta Klhla con una = e) ' f f Def funzione : B funzione a invertibile tale aB una dicesi se che > una -: > : '' f' funzione f Tale fof fof idp si inversa * dice iota = di = e . '' è è f f' f Se f invertibile allora invertibile N.B. inversa anche con =: , , ' è f è f f: D f Nota a invertibile B inversa: B se di allora unica: - > , , .

FLfi funzioni Infatti da proprietà se Bo le allora A cone : * . , offfifio' iaaofj.FI' fiof fà' f f fofidpg > = = === = o, a, " fs è " E Def funzione insieme dice E si E stesso in E invertibile permutazione ogni di : > : . { } " 5 " (E) simmetrico = E permutazioni: = su di gruppo.

' ff. proprietà è ti proposizione f Inlea seguenti inversa la talvalenti qui B ( caso di - sono :: , f ^ è f-invertibile ) 1) inversa corrispondenza f è biettivo 2) . " è f la funzione 3) inversa corrispondenza una (3) (2) I11 Dim Dimostriamo 3 => 132: 1 => 2 < > ; ; = (1) Già visto biiettiuo def dii )..

' f' ' f è f fof è fof infatti ] t.co Allora iota la : B a iniettiva (2) io invertibile Per 11 > = > e = B = . . , '' fica '' floi " f- ( (ff- " ") ") fiaf- ( of)) (" alla A) la fla' Ida è se "lallora 'la io )) A )) ==) 'Q = =) ac- a = . a = == ) ☐ , , ) ' f' (( f) ) fof (è perché bf ) suriettiva (flafb ] b infatti = b b.ca areaidbB b) (e ) c- = a = =: , , , ' '' è perché f-f- è ff. offunzione Infatti funzione Ida Per inversa (3) tale 3) = allora una per ,, , (' '' ' f- f- (f- f- f-f- fo) ( f) (b) (a) ' fa perché /fla fb b) ( = f- f- ) a ( BIda ) (b) = (= E = o io == c- ; =) aa } ☐ , , f- b (a) IOIB = == { } { }) ( f Def E2 b insieme 2 funzione E E funzionedic.