Appunti Algebra e Geometria Lineare

Revisionato il 08/09/2026

di scudy00

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Appunti molto ordinati, chiari e ricchi di commenti, comprendono definizioni, teoremi, dimostrazioni ed esempi di tutto il programma richiesto per il superamento dell'esame, tenuto dal …

Esame algebra e geometria lineare

Facoltà Ingegneria

Università Università degli Studi di Bergamo

A.A. 2019-2020

74 pagine

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Lezione 19/3/2020

Compitino: 7 parole forse.

Esame: 1 prova scritta (il più par).

Tratti consuetati: Vedi Drive su mail giulio.scudeletti00@gmail.com per trovare appunti lezione.

Numeri complessi

1. Numeri complessi -> Aspetti algebrici: risoluzioni eq. che con i numeri reali non si possono risolvere -> Aspetti geometrici: legame tra operazioni algebriche e trasformazioni geometriche.

Insieme N complessi ℂ_t = {(x;y), x,y ∈ ℝ} -> un numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali → ℂ = ℝ² = ℝ x ℝ.

esempio(z; 1)

Operazioni

Somma: (x₁; y₁) + (x₂; y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)
Sottrazione: (x₁; y₁) - (x₂; y₂) = (x₁ - x₂; y₁ - y₂)
Prodotto: (x₁; y₁) x (x₂; y₂) = (x₁x₂ - y₁y₂; y₁x₂ + y₂x₁)
Opposto: (x; y) → (x'}; y') = (-x; -y)
Inverso: (x; y) ≠ (0;0)(xy)⁻¹ = (x'; y') = ( ^x/_{x² + y²} ; ^-y/_{x² + y²} )

Denominatori ≠0 (almeno 1 tra x e y ≠0).

Cosa succede se(x; y)·(x}; y}⁻¹ = (x; y) · (x'; y') = (xy)·(^{x⁻¹ + x²)}- ^y/_{x² + y²} )x : ^xy/_{x² + y²} ) = (1; 0) → Verifico↓

Quindi (x; y) èl'elemento neutro(x; y) · (1; 0) = (^{x· 0 - o}/_{+ 0; o ± 0 +/-}) = (x'; y')

I numeri complessi sono un campo, ovvero una struttura algebrica con certe proprietà.

Proprietà

Commutativa (somma e prodotto): (t₁, x₁), (t₂, x₂) = (x₂, t₂) + (x₁, t₁)

Associativa (somma):t₂ = (x_i, x_i) ∈ ℂ

(prodotti): t₂ = (x_i, x_i) ∈ ℂ

Elementi neutri e simmetrici (somma e prodotto)

Elemento finale che moltiplicato o sommato per un elemento iniziale da quell'elemento iniziale (vedi sopra)

Elemento opposto (somma)

Elemento inverso (moltiplicazione)

Distributiva (somma e prodotto):t₁ (t₂+t₃) = t₁, t₂, t₃

Dimostro

t₂ = (a, i, b) t₂ = (c, d) t₂ = (c, e; s)(a, b); ((c,d); (e; s)) = (ac +(c + e) - bd - bs; ad + as + bc + be)(ax +(b in); c + (cωb); e; s) = (ac - bd; ad + be) + (ae - bs; ai + as + bc +be)

Prodotti notevoli

(t₁+t₂) · (t₁-t₂) = t₁² - t₂²

t₁i - t₂i -t₂i + t₂e- b₂t_i,

Cancello perché vale la proprietà commutativa, se non vale? –> Non sono più veri prodotti notevoli.

(t₁+t₂)² = (t₁, t₂) (t₁, t₂) = t₁² + 2t₁ t₂ + t₂²

Esercizi proposti

Calcola la somma tra Z₁=(2;-1) e Z₂=(0;-2). Rappresentali insieme alla loro somma nel piano di gauss. Se ad ogni numero complesso associ un vettore avente coda in (0;0) e punta nel numero in questione, cosa osservi per la somma?

Z_s(2;-3) è la somma dei vettori.

Sia Z₃=(-1/2;3). Verifica che Z₁ x Z₂ = (2;-4), Z₁ x Z₃ = (2²;13/2), Z₂ x Z₃ = (6;1).

Verifica esplicitamente che (Z₁+Z₂) x Z₃ = Z₁ x Z₃ + Z₂ x Z₃

Z₁=(2;-1); Z₂=(0;-2); Z₃=(-1/2;3)

Z₌=(Z₁+Z₂)(z₃) = z₁ z₃ + z₂ z₃(Z₁

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