Appunti Aerodinamica Supersonica

Aerodinamica supersonica: flussi comprimibili e non viscosi

25 gennaio 2018

Indice

1 Aspetti preliminari 1

1.1 Ripasso termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Legge dei gas perfetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Energia interna ed Entalpia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 Primo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Secondo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . 3

1.1.5 Relazioni isoentropiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Definizione di comprimibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Equazioni fondamentali del moto del fluido . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Equazione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 Equazione di bilancio della quantità di moto . . . . . . . . 4

1.3.3 Equazione dell'energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Equazioni per flussi comprimibili e non viscosi . . . . . . . . . . . 5

1.5 Definizione delle condizioni di ristagno (o totali) . . . . . . . . . 6

1.6 Onde d'urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Onde d'urto normali 9

2.1 Equazioni per onde d'urto normali . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Velocità del suono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Forma speciale dell'equazione dell'energia . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Quando un flusso è comprimibile? . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Calcolo delle proprietà per onde d'urto normali . . . . . . . . . . 16

3 Onde d'urto oblique ed onde di espansione 20

3.1 Relazioni per onde d'urto oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

− −θ β Mach

3.2 Equazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Flusso supersonico su cunei e coni . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Rifrazione e riflessione di onda d'urto . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Espansione finita di Prandtl-Meyer . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

shock-expansion theory

3.6: applicazione ai profili supersonici . . . . 32

3.7 Coefficienti di portanza e resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1

4 Flussi comprimibili e subsonici: Teoria linearizzata 34

4.1 Equazione del potenziale della velocità . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Linearizzazione del potenziale della velocità . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Correzioni per flussi comprimibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Correzione di Prandtl-Glauert . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.2 Correzione di Karman-Tsien e di Laitone . . . . . . . . . 37

4.4 Numero di Mach critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Drag divergence Mach Number

4.5: il muro del suono . . . . . . . . . 40

4.6 La regola delle Aree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.7 Profili alari supercritici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Teoria linearizzata per flussi supersonici 44

5.1 Coefficiente di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 Applicazione ai profili alari supersonici . . . . . . . . . . . . . . 45

2

1 Aspetti preliminari

1.1 Ripasso termodinamico

1.1.1 Legge dei gas perfetti

Un gas è un complesso di particelle (molecole, atomi, ioni, elettroni, ecc) che si muovono di un moto randomico. A causa della struttura elettronica di queste particelle, un campo di forze pervade lo spazio circostante. Il campo di forza dovuto a una particella si estende e interagisce con la particella vicino, e viceversa; queste forze che vengono a crearsi sono chiamate forze intermolecolari.

Tuttavia, se le particelle del gas sono abbastanza distanti, l'influenza della forza intermolecolare è piccola e può essere trascurata. Un gas in cui le forze intermolecolari sono trascurabili, prende il nome di gas perfetto.

p, ro, T

Per un gas perfetto, dipendono dall'equazione:

p = ρRT

Dove R è la costante specifica del gas, che assume valori differenti valori in base a differenti gas. In condizioni standard, per l'aria, R=287 J/(kg*K). Mentre, Ro è la costante universale del gas, che vale: Ro = 8.314 J/(mol*K). Si può anche scrivere come:

pν = RT

Dove nu è il volume specifico: ν = 1/ρ

1.1.2 Energia interna ed Entalpia

Consideriamo una singola molecola di un gas, questa si muove nello spazio in modo casuale, scontrandosi occasionalmente con una molecola vicina. A causa della sua velocità, la molecola genera energia cinetica.

Inoltre, ogni molecola ha un movimento di traslazione (atomi collegati lungo vari assi) e un movimento rotatorio nello spazio. L'energia cinetica di questa rotazione contribuisce all'energia complessiva della molecola. L'energia totale è data dalla somma delle energie traslazionali, rotazionali, vibrazionali ed elettroniche.

Consideriamo un volume finito di gas contenente un gran numero di molecole. La somma delle energie di tutte le molecole del gas è definita come energia interna e del gas, denominata come:

h = e + pnu

Dove h è l'entalpia specifica.

e h

Per un gas perfetto, e sono solo funzione della temperatura:

e=e(T), h = h(T).

In forma differenziale, le equazioni diventano:

de = c dT v

dh = c dT p

c c

Per un gas specifico, e , sono legati dall'equazione:

p v −c c = R p v

Dividendo l'equazione per, otteniamo:

p −1 (c /c ) = (R/c ) v p p

Definendo: γ = c /c p v,

−1 1/γ = R/cp

⇒ −c = γR/(γ 1) p

⇒ −c = R/(γ 1) v

1.1.3 Primo principio della termodinamica

Il primo principio della termodinamica è un risultato empirico, confermato anche dall'esperienza:

δq + δw = de

e

In questa equazione, solo è una variabile di stato, ovvero dipende solo dalle condizioni iniziali e finali del sistema.

de

Per una data ci sono una infinità di modi differenti per andare a lavorare sul sistema. Noi ci concentriamo principalmente su tre di questi:

1. Processo adiabatico: non ci sono scambi di calore tra il sistema e l'esterno.

−pdν

δw =

−δq pdν = de

2. Processo reversibile: non ci sono processi dissipativi (effetti viscosi, conducibilità termica, diffusione di massa).
3. Processo isoentropico: processi sia reversibili sia adiabatici.

In forma entalpica, il primo principio della termodinamica diventa:

−de = δq δw = δq + pdν

ma: h = e + pν

→ dh = de + d(pν) = de + νdp + pdν

−de = dh νdp + pdν

− − −δq pdν = dh νdp pdν

⇒ dh = δq + νdp calore specifico

Con un processo a volume costante, definiamo c, come

C = δq/dt

→ δq = de + pdν

⇒de = δq = c dT de = c dT v v

Invece, con un processo a pressione costante:

−δq = dh νdp = dh

dh = c dT p

2

1.1.4 Secondo principio della termodinamica

Definiamo l'entropia s, come:

ds = δq /T [J/K] rev

Inseriamo l'entropia nel I principio della termodinamica:

−δq pdν = de

−T ds pdν = de

T ds = de + pdν

−T ds = dh νdp

Per i gas perfetti otteniamo:

dT + p(dν/T )ds = cv T

−ds = c (dT /T ) (νdp/T )p

Richiamando l'equazione dei gas perfetti, otteniamo l'equazione:

T pZ ZdT dp2 2− −cs s = Rp2 1 T pT p1 1

T p2 2⇒ − −s s = c ln( ) Rln( )2 1 p T p1 1

νT 22⇒ − ) + Rln( )s s = c ln(2 1 v T ν1 1

1.1.5 Relazioni isoentropiche

ds = 0

T p2 2− −s s = c ln( ) Rln( )2 1 p T p1 1

p T pc p T Tcp γ22 p 2 2 2 2 )()(→ →→ln( ln() = ) = ( ) = ( ) γ−1Rp R T p T p T1 1 1 1 1 1

T ν2 2−s s = c ln( ) + Rln( )2 1 v T ν1 1

ν c ν T ρ Tcv 12 v 2 2 22−( )→ −( → →ln( ) = )lnT T = ( ) = ( ) γ−1R2 1ν R ν T ρ T1 1 1 1 1

T ρ pγ2 2 2γ⇒ ( ) = ( ) =γ−1T ρ p1 1 1

3

1.2 Definizione di comprimibilità

Definiamo:

• Fattore di comprimibilità (definizione generica): 1 dν− = ν dp
• Fattore di comprimibilità isotermo (T = cost): 1 dν− =T ν dp T =cost ν
• ∂q =0 = 0 Fattore di comprimibilità isoentropico ( , ):ρ dν1− =s ν dp s

1.3 Equazioni fondamentali del moto del fluido

1.3.1 Equazione di continuità

Zd dm = ρ dν = 0dt dt ν(t)

In forma integrale ottengo:

Z Zd ∂m = ρ dν + ρ~v d~s = 0dt ∂t ν S

Mentre, in forma differenziale:

∂ρ ∇ρ~v+ = 0∂t

Dρ + ρ∇~v = 0Dt

1.3.2 Equazione di bilancio della quantità di moto

dQ d= m~v = R [N ]~Fdt dt ext

In forma integrale:

Z Z Z Z∂ ~−ρ~v dν + ρ(~v d~s)~v = p d~s + ρ f dν + F viscose∂t ν S S ν

In forma differenziale:

4

• Derivate parziali

∂ρu ∂p∇(ρu~v −+ ) = + ρf + (F )x x viscose∂t ∂x

∂p∂ρv ∇(ρv~v −+ ) = + ρf + (F )y y viscose∂t ∂y

∂ρw ∂p∇(ρw~v −+ ) = + ρf + (F )z z viscose∂t ∂z

• Derivate sostanziali

Du ∂p−ρ = + ρf + (F )x x viscoseDt ∂x

Dv ∂p−ρ = + ρf + (F )y y viscoseDt ∂y

∂pDw −= + ρf + (F )ρ z z viscoseDt ∂z

1.3.3 Equazione dell'energia

−de = ∂q ∂w J

dE = Q + W [ ] = [W ]dt S

Dove:

• Q̇ := rateo di calore dall'esterno/interno sul volume di controllo
• Ẇ := rateo di lavoro dall'esterno/interno sul volume di controllo
• dE := rateo di variazione dell'energia totale
• dt
• Forma integrale:

2 2Z Z Z Z Z∂ v v ~−(e+ )dν+ (ρ~v d~s)(e+ ) = q̇ρdν+ Q̇ (pd~s)~v + ρ f dν~v +Ẇviscoso viscose∂t 2 2ν S ν S ν

• Forma differenziale (derivate parziali)

2 2∂ v v ~∇[ρ(e − ∇(p~v[ρ(e + )] + + )]~v = ρq̇ ) + ρ( f~v ) + Q̇ + Ẇviscoso viscoso∂t 2 2

• Forma differenziale (derivate sostanziali)

2vD(e + ) ~2 − ∇(p~vρ = ρq̇ ) + ρ(f~v ) + Q̇ + Ẇviscoso viscosoDt

1.4 Equazioni per flussi comprimibili e non viscosi

Si basano sull'ipotesi di fluidi non viscosi > spariscono tutti i termini viscosi dalle equazioni

1. dp + ρ∇~v = 0dt

5

2. ∂u ∂p−ρ −= + ρfx∂t ∂x

∂v ∂p−ρ −= + ρf y∂t ∂y

∂p∂w −−ρ = + ρfz∂t ∂z

3. 2vd(e + )2 − ∇(p~vρ = ρq̇ )dt

4. p = ρRT

5. e = c Tv

1.5 Definizione delle condizioni di ristagno (o totali)

Per flusso incomprimibile, abbiamo:

→ρ

• = cost T,e = cost
• Flusso stazionario
• Non viscoso
• Trascuriamo le forze di volume

Equazione di Eulero: dp + ρV dV = 0

Dove V è il modulo medio della velocità.

p vZ Z2 2dp + ρ v dv = 0p v1 1

22 vv 12 −− )=0p p + ρ(2 1 2 2

2 2v v1 2p + ρ = p + ρ1 22 2

2vp + ρ = cost = po2

Per flusso comprimibile:

→ρ

• = var T,e = var
• Non viscoso
• Trascuriamo forze di volume
• Flusso adiabatico −∂q = 0 = ∂h νdp

6

−dh νdp = 0

dh + νρV dV = 0

h vZ Z2 2dh + vdv = 0h v1 1

2 2v v2 1− −h h + =02 1 2 2

2 2v v v2 1 →h + = h + h + = cost = h2 1 02 2 2

h

Dove è l'entalpia totale (o di ristagno)0

2v = cost = c Tc T + p 0p 2

2v = coste + νp + 2

1.6 Onde d'urto

Flussi supersonici:

ρ

• = var
• Equazione energia
• Onda d'urto
• Flusso a monte non risente del flusso a valle (finché non incontra l'onda d'urto)

Ritornando a regimi differenti, si può notare come il flusso subsonico comprimibile sia qualitativamente (ma non quantitativamente) lo stesso che nel caso incomprimibile. Un flusso subsonico con un modello lineare semplificato, dove il flusso è lontano dal corpo, è avvertito dalla presenza del corpo e inizia a regolarsi di conseguenza. Mentre, per un flusso supersonico è diverso: il flusso è dominato dalle onde d'urto, e il flusso sopra il corpo non risente la presenza di quest'ultimo finché non incontra il leading-edge dell'onda d'urto. Infatti, qualsiasi flusso con una regione supersonica è soggetto a delle onde d'urto.

Un'onda d'urto è una regione estremamente sottile, tipicamente dell'ordine di −510 cm, attraverso la quale le proprietà del fluido possono cambiare drasticamente: ci sarà un incremento di pressione, densità, temperatura ed entropia, ed un abbassamento del valore di numero di Mach, velocità e pressione totale, mentre l'entalpia rimane sempre la stessa.

Solitamente, l'onda d'urto, ha un angolo di attacco obliquo, ma comunque ci sono molti casi in cui l'onda d'urto è normale al flusso.

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Figura 1: Paragone tra flusso (a) non adiabatico, (b) adiabatico, (c) non isoentropico, (d) isoentropico

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Figura 2: Esempi di applicazione delle onde d'urto normali

2 Onde d'urto normali

Un'onda d'urto che è normale al flusso a monte risulta essere un caso particolare. Nella figura possiamo notare due esempi di onde d'urto normali presenti in natura: nell'immagine a sinistra è mostrato un flusso supersonico su un corpo smussato, mentre a destra è rappresentato un un flusso supersonico all'interno di un ugello.

Figura a sinistra: è presente una forte onda d'urto ad arco davanti al corpo. Sebbene l'onda sia curvata, la regione di shock più vicina al naso è normale al flusso. Inoltre, la linea di corrente che passa attraverso questa porzione normale all'arco di shock, in seguito colpisce il naso del corpo e controlla i valori di pressione e temperatura di ristagno al naso.

Figura a destra: è presente un flusso supersonico all'interno di un ugello, dove la pressione iniziale è abbastanza alta a causa dell'onda d'urto normale che sta nell'ugello. Le condizioni sotto le quali questa onda si verificherà e la determinazione delle proprietà del flusso, sono due cose importanti da scoprire.

2.1 Equazioni per onde d'urto normali

Considerando lo schema in figura, notiamo che la regione 1 ha un flusso uniforme a monte dell'onda d'urto e la regione 2 ha un flusso uniforme a valle dell'onda d'urto, ma diverso.

Nella regione 1 troviamo:

• La pressione p 1
• La densità ρ 1
• La temperatura T 1
• Il numero di Mach M 1
• La velocità u 1
• La pressione totale p 0,1
• L'entalpia totale h 0,1
• La temperatura totale T 0,1
• L'entropia s 1

9

3.jpg

Figura 3: Schema di un'onda d'urto normale

p ρ T M u

Mentre nella regione 2, le stesse variabili sono denominate: , , , , ,2 2 2 1 2p h T s, , , .0,1 0,1 0,1 2

abcd

Consideriamo il controllo di volume rettangolare dato dalle linee tratteggiate in figura, come si può vedere l'onda d'urto è all'interno del volume di controllo. Il lato è il punto di vista della facciata sinistra del controllo di volume, questa facciata è perpendicolare al flusso. Il lato è il punto di vista della facciata destra del controllo di volume, anche questa facciata è perpendicolare al flusso.

Applichiamo le equazioni di conservazione a questo controllo di volume, e nel processo osserveremo quattro importanti aspetti fisici dati dal flusso:

∂

1. Il flusso è stazionario, ovvero ∂t
2. Il flusso è adiabatico: q̇ = 0
3. Non ci sono effetti viscosi sul volume di controllo. L'onda d'urto stessa è una regione sottile di elevati gradienti di velocità e temperatura.
4. Non ci sono forze di massa f = 0.

• Equazione continuità:

Z Z∂ ρdν + ρ~v d~s = 0∂t ν S

∂→ =0

Poiché il flusso è stazionario: ∂t

⇒ −ρ u A + ρ u A = 01 1 2 2

ρ u = ρ u1 1 2 2

• Equazione di bilancio quantità di moto:

Z Z−(ρ~v d~s)~v = pd~sS S