Analisi - Differenziale

Differenziale

Si chiama differenziale di una funzione y = f(x) in un punto x, il prodotto tra la derivata della funzione, calcolata in x, e l’incremento della variabile indipendente.

In simboli: d f(x) = d y = f'(x) · ∆x.

f'(x) = 1.

Questo vuol dire che il differenziale della variabile indipendente x è uguale a:

In particolare, se f(x) = x, allora d y = ∆x, poiché f'(x) = 1, e si scrive: d x = ∆x.

Il differenziale di una funzione f(x) è uguale al prodotto tra la derivata della funzione, calcolata in x, e il differenziale della variabile indipendente x.

In simboli: d y = f'(x) · d x.

Da quest’ultima definizione, è possibile affermare che la derivata di una funzione f(x) è uguale al rapporto fra il differenziale della funzione f(x) e il differenziale della variabile indipendente x.

In simboli: f'(x) = ^dy / d x.

Dal punto di vista geometrico, il differenziale di una funzione f(x) in un punto x rappresenta l’incremento della variabile dipendente calcolata sulla retta tangente (non sulla funzione).

f'(x) = tan α

0 Q R

P H

∆x

x x + ∆x

Infatti, in ogni triangolo rettangolo la tangente di ogni angolo interno è uguale al rapporto tra la misura del cateto opposto all’angolo e la misura di quello adiacente; quindi, nel triangolo rettangolo PHR, si ha che:

tan α = HR / PH, da cui HR = PH · tan α e, poiché PH = x + ∆x – x = ∆x e tan α = f'(x),

si può concludere che HR = f'(x) · ∆x.