Analisi 1 (sunto)

Applicazione tra insiemi

Un’applicazione tra insiemi A e B è una legge di natura qualsiasi che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di B. Si immagina cioè tramite la legge un passaggio da A a B.

Dominio

Insieme di definizione per il quale la funzione ha significato.

Codominio

Insieme delle immagini/immagine del dominio/immagine della funzione. L'insieme dei valori che la funzione può assumere.

Insieme di arrivo

Insieme dei valori contenuti nell’insieme dei valori assunti da f(B) ⊆ (F).

Funzione suriettiva

Una funzione si dice suriettiva se ogni elemento dell’insieme di arrivo è l’immagine di almeno un elemento dell’insieme di partenza B. f(A) = B. ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A : f(a) = b

Funzione iniettiva

Una funzione si dice iniettiva se due elementi del codominio si formano ad al più un elemento del dominio. ∀ a₁, a₂ ∈ A, a₁ ≠ a₂ → f(a₁) ≠ f(a₂)

Funzione biunivoca

Una funzione si dice biunivoca quando è sia iniettiva, che suriettiva. Una funzione biiettiva si dice invertibile. f(a) : f : a ↔ b, ∃ f⁻¹

Funzione strettamente crescente/decrescente

f(x) si dice crescente se e solo se per ogni x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ allora f(x₁) < f(x₂). f(x) è decrescente se e solo se per ogni x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ allora f(x₁) > f(x₂).

Funzione pari

Una funzione è definita pari se f(-x) = f(x) {simmetrico rispetto all’asse delle y}.

Funzione dispari

Una funzione è definita dispari se f(-x) = -f(x) {simmetrica rispetto all’origine}.

Appunti veloci

Applicazione tra insiemi

Un'applicazione tra due insiemi A e B è una legge di natura qualsiasi che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

Dominio

Insieme di definizione per il quale la funzione f ha significato.

Codominio

Insieme delle immagini/immagine dell'insieme/immagine dell'unione dell'insieme di definizione e del valore (f(a)).

Insieme di arrivo

Insieme dei valori assunti da f: B (f(A)).

Funzione suriettiva

Una funzione si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.

Funzione iniettiva

Una funzione si dice iniettiva se due elementi del codominio si associano ad al più un elemento del dominio.

Funzione biiettiva

Una funzione si dice biiettiva quando è sia iniettiva che suriettiva. Una funzione biiettiva è anche invertibile.

Funzione strettamente crescente/decrescente

f(x) si dice crescente se e solo se per ogni x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ allora f(x₁) < f(x₂). f(x) è decrescente se e solo se per ogni x₁, x₂ ∈ A, x₁ < x₂ allora f(x₁) > f(x₂).

Funzione pari

Una funzione f si definisce pari se f(x) = f(-x), e proietta rispetto all'asse delle y.

Funzione dispari

Una funzione si definisce dispari se f(x) = -f(x), è simmetrica rispetto all'origine.

Insiemi e limiti

Insieme limitato superiormente/inferiormente

Si definisce un insieme limitato superiormente/inferiormente quando ∀x ∈ E ⊆ ℝ, ∃ l ∈ ℝ tale che x ≤ l (superiormente) o l ≤ x (inferiormente).

Minorante/maggiorante

Si definisce minorante/maggiorante quel valore rispettivamente minore/maggiore di tutti gli elementi dell'insieme.

Insieme limitato

Un insieme E si definisce limitato quando ∀x ∈ E ⊆ ℝ, ∃ K ∈ ℝ: x ∈ K.

Estremo superiore/inferiore

L'estremo superiore di E è il più piccolo dei maggioranti. ∀x ∈ E ⊆ ℝ tale che x < l + ε. L'estremo inferiore è il più grande dei minoranti.

Minimo/Massimo

Si definisce minimo/massimo quel valore m/M tale che ∀x ∈ E, x ≥ m ≤ x ≤ M.

Teorema (estremo superiore/inferiore)

(ipotesi) E ⊆ ℝ, E est.sup. = extr.inf. (tesi) id e hon sono unici.

Teorema (massimo minimo)

(ipotesi) E ⊆ ℝ, E variazione f miniti (tesi) ∃ m/M assoluti.

Intorni

Si definisce un intorno di x un qualunque intervallo aperto che contenga x₀: ∀x ∈ E ⊆ ℝ, x ∈ ℝ.

Punto di accumulazione

∀H_i, x_i ∈ E ⊆ ℝ ∀x₀: x ∈ π, x = x₀ ∈ π(x₀). Punti di accumulazione non sono gli unici dove è possibile studiare i limiti.

Teorema (punti di accumulazione)

(ipotesi) ... (tesi) ...