Analisi matematica 1 – Esercizi vari svolti
(Tutti gli esercizi che seguono sono stati presi da varie esercitazioni e tutorati – CDL in Matematica)
Es 1
Sia 1 + √3 ∈ ℂ, z = 1 + 2i.
Calcolare e scrivere il numero in forma trigonometrica ed esponenziale.
In generale si ha: |z| = √(a² + b²) → z = |z|(cosθ + isinθ).
Forma trigonometrica: z = r(cosθ + isinθ)
Forma esponenziale: z = r exp(iθ)
Nel nostro caso, abbiamo:
- a = 1, b = √3
- |z| = √(1² + (√3)²) = √4 = 2
- tanθ = b/a = √3/1 = √3
- Forma trigonometrica: z = 2 (cos(π/3) + isin(π/3))
- Forma esponenziale: z = 2 exp(iπ/3)
Es 2
Sia z calcolare con z > 0, z ∈ ℝ, z = ̅z.
Passiamo alla forma esponenziale:
z = Re(z exp(iθ))
Quindi si ha: z⁴ - 3 = 0 → z(exp(4iθ) - exp(-iθ)) = 0.
Per z = 0, z = 0
exp(4iθ) = exp(-iθ)
Due numeri complessi in forma esponenziale sono uguali se e solo se i due numeri hanno lo stesso modulo, mentre gli argomenti differiscono di 2πk.
Quindi:
- z = √3
- Possibili soluzioni: θ = π/5 + 2kπ con k ∈ ℤ
- 0 ≤ θ ≤ 2π → 0 ≤ π/5 ≤ 2π → 0 ≤ θ ≤ 2π
In forma trigonometrica:
z = 2 (cos(π/5) + isin(π/5))
Es 3
Calcolare la somma della serie ∑n=2+∞ (2n² + 7n + 19).
La serie parte da n = 2, per calcolare la somma dobbiamo farla partire da n = 0.
Questo comporta il ricalcolo dei termini da n = 0 a n = 1 e poi proseguire con la somma infinita. Ad esempio:
- Per n = 0: 2(0)² + 7(0) + 19 = 19
- Per n = 1: 2(1)² + 7(1) + 19 = 28
Quindi, sommare i valori calcolati a partire da n = 2 per ottenere la somma della serie completa.
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