Algoritmo ricorsivo per il calcolo di pi greco partendo da poligoni regolari

Cristiano Teodoro

teodorocristiano@tiscali.it

Per il calcolo di π

Algoritmo ricorsivo

Partendo da poligoni regolari viene illustrato un algoritmo per il calcolo approssimato di π, con il quale.

Sommario: partendo da un poligono regolare si considera la successione di poligoni regolari dello stesso tipo, ognuno dei quali presenta un numero doppio di lati rispetto al precedente, approssimando sempre di più il loro perimetro alle circonferenze dei due cerchi concentrici, uno inscritto nel poligono preso in considerazione e l’altro circoscritto al suddetto poligono. I poligoni di partenza presi in considerazione sono il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono e l’esagono regolari.

Si consideri un poligono regolare avente un perimetro p di lunghezza uguale a 2.

Chiamati con r ed R i raggi rispettivamente del cerchio inscritto nel poligono e del cerchio che lo circoscrive, è evidente che il perimetro del poligono risulta maggiore di 2πr e minore di 2πR.

Si ha pertanto 2πr < 2 < 2πR, da cui, isolando π, si ottiene:

1 / R < π < 1 / r

Si prendano in esame ora quattro tipi di poligoni regolari: indicando con L il valore del lato si ha L = p / x, dove con x si indica il numero dei lati. Per ognuno dei quattro tipi di poligoni valgono le seguenti condizioni iniziali:

r₀

R₀

Per il triangolo equilatero, chiamati r₀ il raggio del cerchio inscritto ed R₀ il raggio del cerchio che lo circoscrive, tenendo presente che il valore del suo lato è L = p / x, si ricava tramite facili considerazioni di geometria elementare che valgono i seguenti valori:

R₀ = 3 / 3 = 2∙r₀ = 3 / 9 (1)

Risulta evidente che, partendo da tale poligono, il secondo poligono della successione risulta essere l’esagono regolare, per il quale, se si parte da esso, vale quanto più sotto esposto.

Per il quadrato, chiamati r₀ il raggio del cerchio inscritto nel quadrato ed R₀ il raggio del cerchio che lo circoscrive, tenendo presente che il valore del suo lato è L = p / x = 1 / 2, si ricava tramite facili considerazioni di geometria elementare che valgono i seguenti valori:

R₀ = 1 / 4; r₀ = 1 / 4 (2)

Per il pentagono regolare, chiamati r₀ il raggio del cerchio inscritto nel pentagono regolare ed R₀ il raggio del cerchio che lo circoscrive, tenendo presente che il valore del suo lato è L = p / 5 = 2 / 5, tramite opportune considerazioni di geometria elementare e prendendo in considerazione la sezione aurea, si ricava che valgono i seguenti valori:

Nota 1: L = p / 5 = 2 / 5

φ = (1 + √5) / 2

R₀ = 2 / 5; r₀ = 3 / 5; R₀ = 2∙φ / 2 (3)

Per l’esagono regolare, chiamati r₀ il raggio del cerchio inscritto nell’esagono regolare ed R₀ il raggio del cerchio che lo circoscrive, tenendo presente che il valore del suo lato è L = p / 6 = 1 / 3, si ricava anche qui, tramite facili considerazioni di geometria elementare, che valgono i seguenti valori:

R₀ = 1 / 6; r₀ = 3 / 3 = 1 / 3 (4)

Considerando per ognuno dei 4 tipi di poligoni regolari suddetti la successione dei poligoni aventi un numero di lati doppio rispetto al poligono che lo precede, con una lunghezza del perimetro sempre uguale a 2, e iniziando detta successione dalle formule indicate in (1) per il triangolo equilatero, in (2) per il quadrato, in (3) per il pentagono e in (4) per l’esagono, si può dimostrare (vedi [(En] che valgono per tutti i suddetti tipi di poligoni le seguenti relazioni:

raggio del cerchio inscritto nell’(n+1)-esimo poligono: r_n+1 = √(r_nR_n) (5)

Raggio del cerchio circoscritto all’(n+1)-esimo poligono: R_n+1 = 2r_n+1R_n / (r_n+1 + R_n) (6)

Per n = 0, 1, 2, 3, ……… dove i valori di r₀ e di R₀ sono quelli riportati in (1), in (2) e in (3).