Algebra lineare

Matematica 2 algebra lineare

Oggetti di dimensione > 1

y = F(x) -> numeri

x = [-2, 0, 3] -> è un vettore

-> è un numero reale

Se c'è solo un numero è ancora reale.

Sono 3 componenti ordinate (componenti del vettore).

Dimensione di questo vettore = 3 (ho 3 numeri).

Cambiando l'ordine dei numeri cambia il significato.

Esempi pratici di vettore: coordinate udo, listro fresci.

Rappresentazione del vettori

Es: x = [3, 2] x₁, x₂

1/sqrt(2) -> punto sulla retta

x₂

2(x₂) -> è definito punto sul piano

x₁

2 vettori sono uguali quando componente per componente è uguale.

x₁ [-2, 0, 3] != x₂ [0, -2, 3]

R² x in R² -> insieme di tutti i possibili vettori con 2 componenti

R³ x in R³ -> insieme di tutti i possibili vettori con 3 componenti

x₁, x₂ in Rⁿ

Matematica 2 algebra lineare

Oggetti di dimensione > 1

y = f(x) -> numeri

x = -203 -> è un vettore

-> è un numero reale

Se c'è solo un numero è una reale.

Sono 3 componenti ordinate (componenti del vettore).

Dimensione di questo vettore = 3 (ho 3 numeri).

Cambiando l'ordine dei numeri cambia il significato.

Esempi pratici di vettore: coordinate udo, listro freesi.

Rappresentazione del vettori

Es: x = 32 x1 x2

1/2 -> punto sulla retta

x22 (x2)

3 (x1) -> è definito punto sul piano

2 vettori sono uguali quando componente per componente è uguale.

x1 = -203

x2 = 0-23

R² x è R² -> insieme di tutti i possibili vettori con 2 componenti

R³ x è R³ -> insieme di tutti i possibili vettori con 3 componenti

x1, x2 e Rⁿ

Confronto tra vettori

Se esiste

x = y (le componenti coincidono => x_k = y_k k = 1,2,3,4,...,n

x > y (la 1° componente di x > della 1° componente di y)

(la 2° componente di x > della 2° componente di y)

(la 3° componente di x > della 3° componente di y)

x > y <=> x_k > y_k k = 1,2,3,...,n.

• Es 1: x = [10/3] y = [15/3] y > x
• Es 2: x = [10/3] y = [15/2] x e y non sono confrontabili, non c'è relazione
• Es 3: x = [10/3] y = [15/8] y > x

Rappresentazione in IR²

x = [3/2]

non confrontabili

vettori y>x

vettori y<x

non confrontabili

Somma dei vettori

x = [103]

y = [152]

x + y = [10+153+2]

• Es 1: x = [32] y = [21] x + y = [53]

disegnare x e y e x+y

- è un parallelogramma -- regola del parallelogramma.

NB: si somma a livelli analoghi di componenti -> x [23] e y [321] non si sommano.

Somma -> R² x R² -> R² è un'operazione che parte da R² e a R² e trae fuori R² (proprietà di chiusura).

x+y è un vettore

(x+z)+y -> posso usare la proprietà associativa/commutativa

È esistenza dell'elemento neutro.

opposto di x = [32]

-x = [-3-2]

Se si somma -> x + (-x) = 0

Prodotto scalare

Prodotto scalare -> prodotto di un vettore per un numero

Es: ho fatturato 2500 del 1° prodotto e 1800 del 2° in dollari, devo cambiarli in €

[25001800]

€ 1 = 1,10 $

q.t certezza

$ 1 = 0,909 €

q.t incerta

(sono reciproci tra di loro)

[2500 . 0,9091800 . 0,909]

x ∈ R² - [a . x₁a . x₂]

a ∈ R

x ∈ Rⁿ

Es x ∈ R²

(3 . 2) © [58] = [3068]

Rappresentazione prodotto scalare

es: x = [32]

a = 3

3x = [96]

Ho fatto crescere il vettore 3 volte, ho moltiplicato 3 volte la sua lunghezza

se avessi moltiplicato 0 avrei [00]

es 2

-2x ?

x = [32] o -2-2 o x = [-6-4]

Il " fa ribaltare tutto!

Spazio vettoriale

Spazio vettoriale -> (Rⁿ, +, o, Pⁿ) -> insieme non vuoto di oggetti matematici, che rispettano queste proprietà

Rappresentazione R³

x ∈ R³

x = [214] x₁ x₂ x₃

Sottospazio vettoriale

Il sottospazio vettoriale è un sottinsieme di IRⁿ che abbia le caratteristiche di spazio vettoriale IRⁿ.

In IR²

• Es 1: x in IR² non è sottospazio vettoriale perché se sommo o moltiplico esco dal sottinsieme.
• Es 2: x in IR² e non è sottospazio vettoriale perché il prodotto è verificato, la so