Algebra e Geometria - Schema/Diagramma delle Definizioni

Ideale di un anello

Struttura algebrica { ( S ; * , … , opn ) }

1 Sia H un sottoinsieme non vuoto del sostegno {cioè la A dell’anello} di un anello A.

Classe di equivalenza { [a] }

Insieme quoziente { Ins. classi equivalenza }

Una struttura algebrica (con n operazioni sull’insieme S) è una (n+1)-pla {costituita da (n+1) elementi } (S;*1,…,opn) {* oppure op} dove *1...opn sono operazioni, esterne o interne di S.

1) (H;+) è un sottogruppo di (A;+)

A {l'insieme quoziente, considerando la divisione di interi per 2, sono le classi [0], [1]} tutti gli elementi di A che mediante f, sono equivalenti ad a. Si indica con [a].

∈ S si dice Sostegno della struttura algebrica (S;*1,…*n).

2) h H , a A si ha che a · h H , h · a H ∀ ∈ ∀ ∈ ∈ ∈

L’insieme quoziente è l’insieme di tali classi di equivalenza.

{ Esempio: A = {708, 2325, 329, 324, 42, 7502, 2, 29, 3} f = prima cifra iniziale uguale

Anello { (A;+) Gr. abeliano, (A; · ) Semigr., distridutiva }

Se considero f(324) avrò che [324] = {324, 329, 3} }

Una struttura algebrica (A, +, · ) è un anello, se + e · sono operazioni interne ad A per cui:

• (A;+) è un gruppo abeliano; {operazione + è commutativa}

Sottoanello

Sottoanello { Chiuso rispetto + , · }

Relazione di equivalenza

Semigruppo { op. interna associativa }

• (A; · ) è un semigruppo; {(A; · ) gode di proprietà associativa}

Se (A, +, · ) è un anello e B A allora B è un sottoanello di A, se le operazioni +, · sono interne in B e B è un anello rispetto a tali operazioni.

Una relazione binaria R su un insieme A è un sottoinsieme di A x A. ⊆

Gruppo quoziente { [a][b] = [ab] = [c] }

Un semigruppo è una struttura algebrica (S;*) con * operazione interna associativa.

- x, b, c A ∀ ∈

Una relazione di equivalenza è una relazione binaria riflessiva, simmetrica e transitiva tra elementi di un insieme A e valgono le seguenti proprietà:

Un gruppo quoziente è formato dalll'insieme delle classi di equivalenza, ricavate da delle congruenze.

x ( b + c ) = (x · b) + (x · c) {distr sx}

Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

( b + c ) x = (b · x) + (c · x) {distr dx}

x ~ x x A ∀ ∈

Le congruenze sono relazioni di equivalenza che però mantengono l’operazione del gruppo quindi deve valere che: a R b e c R d allora (ac)R(bd) implica che: [a][b] = [ab] = [c]

x ~ y implica y ~ x x,y A ∀ ∈

Esempio: congruenza “resto modulo 3”.

x ~ y e y ~ z implicano x ~ z x,y,z A ∀ ∈

A è il sostegno dell'anello.

Monoide e anello commutativo

Monoide { elemento neutro }

Anello commutativo { Op. · commutativa }

Un semigruppo (S;*) dotato di elemento neutro si dice monoide. {(N;°) è monoide con l’elemento neutro 1. (N;+) non è monoide}

Se l’operazione · è commutativa, l’anello A si dice commutativo.

Anello unitario { Op. · , Elem. Neutro }

Un anello è unitario se esiste l’elemento neutro rispetto a · (che è l'elemento 1).

Sottogruppo

Sottogruppo { ≠ * interna, gruppo }

∅,

Sottogruppo generato { < W > }

(G;*) è un gruppo; H G {H è un sottoinsieme}. H è un sottogruppo di G se valgono le seguenti proprietà: ⊆

Gruppo { ogni elemento simmetrizzabile }

Dominio d’integrità { a ≠ 0, b ≠ 0 → a · b ≠ 0 }

Il sottogruppo generato da W (che è sottoinsieme di G), è il sottogruppo più piccolo tra quelli che contengono W (si indica con <W> )

Un monoide (G;*) è un gruppo se ogni suo elemento è simmetrizzabile.

Se A è un anello commutativo allora A è un dominio di integrità se accade che:

• H ≠ ∅
• a,b H , a*b H {operazione * interna ad H} ∀ ∈ ∈

Un gruppo G è una struttura algebrica (G;*) dotata di una op interna * t.c. :

• * associativa: equivalentemente: ∀!g , g , g !!!!!!!g ∗ g ∗ g = g ∗ g ∗ g

- x H si ha che H ! ! ! ! ! ! ! ! ! ∀ ∈ ∈

Se un elem. di G è generato dal prodotto di elementi di W allora tale elemento <W> ∈

N.B.: Ogni elemento x genera un sottogruppo ciclico < x >.

Un anello unitario, si dice corpo SE ( A – {0}; · ) è un gruppo quindi se ogni elemento ≠ 0 di A, è invertibile.

{B è dominio di integrità e il suo sottoinsieme B-{0} è stabile rispetto alla moltiplicazione}

a ≠ 0, b ≠ 0 → a · b ≠ 0.

• Elemento neutro u: ∃!u ∈ G ∶ ! ∀g ∈ G!!!!!!!!!!g ∗ u = u ∗ g = g!
• Ogni elemento è simmetrizzabile:! ! !∀g ∈ G!!!∃g ∈ G ∶ !!g ∗ g = u = g ∗ g!-1

Sottogruppo normale e gruppo ciclico

Sottogruppo normale { gh g € H }

Gruppo ciclico {(N;+) non è un gruppo; (Z;+) è un gruppo }

Dato un gruppo (G;*) e H sottogruppo di G, H è detto sottogruppo normale se:

Campo { Op. · commutativa }

Un gruppo G si dice ciclico se un elemento g G (g è il generaore) tale che G è l'insieme: ∃ ∈

∀g ∈ G,!!!!!!gH = Hg!

Un corpo si chiama campo se il prodotto · è anche commutativo.

n(notazione moltiplicativa) delle potenze ad esponente intero di g: G = {g : n Z }

- cioè le classi laterale sinistra e destra coincidono. ∈

Campo: (A; +) si dice campo se valgono le seguenti proprietà:

(notazione additiva) dei multipli: G = {ng : n Z}

- Se H è commutativo, H è sempre un sottogruppo normale. ∈

Gruppo abeliano

Gruppo abeliano { op. commutativa }

! !{!!è!! !"#. !"!!"!#$%&", ! + !! ∙ !!"#"!!"!!"#$!!ℎ!!!"!!"##"$"!!"#$%&'&!!"#! !"#!$%$}!

Classe laterale destra : La classe laterale destra di H in G è rappresentata dal sottoinsieme:

1 2 3 Se l’operazione * è commutativa, il gruppo (G;*) si dice abeliano.

{ Ad esempio: G ={ e,g ,g ,g } allora G è ciclico }

• (A; + ) è commutativo ( abeliano con elemento neutro 0)

!" = {!ℎ! ∶ !ℎ! ∈ !!}!!dove!, ! ∈ !!è!il!!laterale!destro.!

- ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {associativo}

Il sottogruppo <g> (generato da g) coincide con G → G = <g>

Classe laterale sinistra : La classe laterale sinistra di H in G è rappresentata dal sottoinsieme:

• a + b = b + a {commutativo}

Ordine di < S >: l’ordine di un sottogruppo generato è il minimo numero naturale n per cui:

!" = {!!ℎ ∶ !ℎ! ∈ !!}!!dove!, ! ∈ !!è!il!!laterale!sinistro.!

• 0 + a = a + 0 = a {elemento neutro 0}

na = e (notazione moltiplicativa)

- -1- Deve valere che: gh g € H g G h H ∀ ∈ ∀ ∈

• a + a' = 0 = a' + a {elemento simmetrico}

na = e (notazione additiva)

• (A - {0}; · ) è commutativo ( abeliano con elemento neutro 1)
• ( a · b ) · c = a · ( b · c) {associativo}
• a · b = b · c {commutativo}
• 1 · a = a · 1 = a {elemento neutro 1}

-1 -1 -1- a ≠ 0 a : a · a = a · a = 1 {elemento simmetrico} ∀ ∃

Se l'ordine è infinito allora n non sarà mai uguale ad e.

• La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma. {distributivo}

Struttura algebrica

Struttura algebrica { ( S ; * , … , opn ) }

1 - La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma. {distributivo}

Autovalore, autovettore

Autovalore, Autovettore

Data f endomorfismo, esistono:

Forma bilineare { f: VxW → K }

Spazio vettoriale { (V;+) Gr. abeliano, (A; · ) Monoide, Distridutiva }

Omomorfismo (di gruppi) { f (a*b) = f (a)°f (b) }

un vettore v V , v ≠ 0 → autovettore

Si dice forma bilineare su due spazi vettoriali V e W, un applicazione bilineare sul campo K:

Sia K un campo. Uno spazio vettoriale su K è una struttura algebrica ( V; + ; · ) con l'operazione ∈

E' un tipo di funzione applicata a dei gruppi, che preserva le operazioni.

uno scalare λ K → autovalore