Algebra e Geometria Lineare

Algebra e geometria

Davide Mario Solimeo

January 18, 2019

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Chapter 1

Vettori, matrici e sistemi lineari n

1.1 Spazi a n-dimensioni in R

1.1.1 I vettori

Un vettore è una copia di numeri reali associata ad un punto su un piano cartesiano.

~ ~Sia quindi il vettore rappresentato, sarà definito come; OP OP x~ =OP y~E con | | si indica la Norma del vettore, oppero la distanza del punto OP dall’origine, è possibile calcolarla facendo riferimento a triangolo generato fra i punti e, calcolando quindi l’ipotenusa che come ovvio x, y corrisponde al vettore.

~ p 2 2| |= +OP x y

34 Chapter 1. Vettori, matrici e sistemi lineari

1.1.2 Operazioni

La prima operazione semplice fra due vettori è la somma, questa può essere risolta facendo riferimento alla cosı̀ detta Regola del parallelogramma.

x w Siano e due vettori del tipo = e = la loro somma sarà v~ v~ v v1 2 1 2y z uguale a.. +x w+ =v~ v~1 2 +y z

Graficamente la apparira nel seguente modo..210 0 1 2

Per i vettori esistono due tipi di moltiplicazione, Prodotto per scalare e prodotto scalare.

~ 2Per il primo siano ∈ un generico scalare e un generico vettore in, λ VR R x ~ ~ovvero della forma, il loro prodotto · o sarà uguale a..λ V λVy ·λ x~ =λV ·λ y

In poche parole moltiplico per ogni elemento del vettore, ed il risultato λ sarà di nuovo un vettore.

Per il prodotto scalare invece il discorso è un po’ più ampio, la prima differenza è che mentre il prodotto per scalare è il prodotto fra uno scalare ed un vettore il prodotto scalare è prende come termini due vettori e restituisce uno scalare, ~ ~ 2 quindi siano e due vettori in il loro prodotto scalare indicato come V W R~ ~h i sarà..V , W ~ ~h i = (x · ) + (y · )V , W x yv w v wN 5

1.1 Spazi a n-dimensioni in R

Il prodotto scalare ci fornisce informazioni importanti anche sull’angolo compreso fra due vettori, questo è facilmente dimostrabile rimaneggiando leggermente la formula del calcolo del prodotto scalare come segue :

~ ~ ~ ~~ ~ V cos θ W cos θ V sin θ W sin θ h i = · + ·V , W W V W Vx x x xV W V W

~ ~ ~ ~h i =| |·| | ·[(cos · cos ) · (sin · sin )]V , W V W θ θ θ θW V W V

~ ~ ~ ~h i =| |·| | · cosV , W W V ω

Graficamente possiamo notare come da tale formula, oltre ad un modo alternativo per ricavare il prodotto scalare, ci permette induttivamente di ricavare l’angolo compreso fra due vettori.

Dalla formula quindi si può ricavare l’angolo compreso..

~ ~h iV ,Wcos =ω ~ ~| |·| |V W

~ ~h iV , W = arccosω ~ ~| |·| |V W

L’angolo sarà uguale all’arcoseno del rapporto fra il prodotto dei due vettori fratto il prodotto delle norme dei due vettori.

p 2 2| |= +v x y

p 21 2| |= +w x y 1·x)+(y ·y)(x√ √1 1 2 22 2( x +y )·( x +y )1 1

6 Chapter 1. Vettori, matrici e sistemi lineari

1.1.3 Vettori nello spazio

Se introduciamo un sistema di riferimento cartesiano possiamo mettere in corrispondenza biunivoca i vettori dello spazio con l’insieme, che descrive lo spazio.

3rispondenza biunivoca i vettori dello spazio con l’insieme, che descrive lo R spazio.

2101 0 1 223 3 3= (x, ∈y, z)R Rn o~ ~3∈ | (x, ∈V y, z) VR

p 2 2 2= (x, | |= + +~v y, z), ~v x y z n

Esiste un insieme di vettori che definisce qualsiasi spazio, tali vettori Rn vengono definiti versori di e sono;R

     0 010 1 0= , = , =î ĵ k̂     0 0 1

Sono moduli ordinari che seguono il verso degli assi del piano.

100 0 11 N 7

1.1 Spazi a n-dimensioni in R 3

1.1.4 Operazioni sui vettori in R

Le operazione fra vettori mantengono le stesse proprietà indipendentemente dallo spazio vettoriale in cui ci troviamo;

• Somma + = (x + + + )~v w~ x , y y , z zv w v w v w
• Prodotto per scalare  λx~ = λyλ V  λz
• Prodotto scalare · + · + ·h~v = =| || | · cosx x y y z z, wi~ ~v w~ ωv w v w v w

   xx 1e w = , il loro prodotto Dati due vettori v = y y

Prodotto vettoriale 1   z z1

Vettoriale, · detto anche v vettor w è un vettore tale che;~v w,~~ ~

• | |=| || | · sinV x W ~v ~v ω
• | | → è perpendicolare al pianoV x W = (y − ) + (x − ) + (x + )~v x w~ z y z î z x z ĵ y x y k̂1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1

8 Chapter 1. Vettori, matrici e sistemi lineari

1.2 Matrici

Una matrice nxm, n-righe e m-colonne, è una tabella numerica che esprime una funzione che prende in input un k-insieme numerico, fissato e si indica come M di elementi i,j dove ≤ e ≥ e indicano gli indici, degli elementi i n j m nxm all’interno della matrice.

m m1,1 1,j M =nxm   m mi,1 i,j

1.2.1 Operazioni

Date N,D ∈ M allora la loro somma N + D è la matrice R tale che rnxm nxm i,j= n + di,j i,j

   n n d d1,1 1,j 1,1 1,j   N = + D =nxm nxm      n n d di,1 i,j i,1 i,j

 + +n d n d1,1 1,1 1,j 1,j R =[N+D] =nxm   + +n d n di,1 i,1 i,j i,j

La somma di due matrici quindi è uguale ad una terza matrice avente come entrate la somma degli i,j-esimi element delle matrici sommate.

1.2.2 Moltiplicazione per uno scalare

Dati uno scalare e una matrice M, sia una matrice aventi λ λM λm nxm nxm i,j entrate;

 λm λm1,1 1,j M =λ· nxm   λm λmi,1 i,j

Casi particolari di matrici

• N = 1 → vettore riga
• M = 1 → vettore colonna
• N x n → matrice quadrata
• N = m = 1 → numero

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1.2 Matrici

1.2.3 Prodotto fra matrici

Date due matrici M e N il loro prodotto M · N è una matrice R ∈ Mnxn nxm nxm le d entrate saranno definite come;i.j nP{ · | (1 ≤ ≤ ∧ (1 ≤ ≤m n i m) j m)}i,k k,jk=1

Quindi;

  n nm m 1,1 1,j1,1 1,j   = DxM x N = nxmnxn nxm     m m n ni,1 i,ji,1 i,j

Proprietà

• Il prodotto fra due matrici è ammesso se e solo se il numero m di colonne du una matrice è uguale al numero n di righe dell’altro
• Le matrici quadrate, per ragioni di dimensioni sono le uniche elevabili a potenza    m m m m1,1 1,j 1,1 1,j2    [M ] = ·nxm       m m m mi,1 i,j i,1 i,j

Che è traducibile come; 2 n 2P[M ] = mnxm i,kk=0

1.2.4 Matrice trasposta

Tmxn la sua trasposta, le cui entrate Sia M una matrice, chiameremo Mnxm Tj,i saranno m .

   m m m m1,1 1,j 1,1 i,1   TmxnM = → Mnxm       m m m mi,1 i,j 1,j i,j

La trasposizione gode di alcune importanti priorità;

• (N+M) = N + MT T T
• (N·M) T T= N M
• Se M = M , allora M è una matrice quadrata, allora M si dice matrice simmetrica rispotto alla diagonale

10 Chapter 1. Vettori, matrici e sistemi lineari

1.2.5 Determinate di una matrice

Ad ogni matrice quadrata M, a coefficienti reali, è possibile associare un nxn numero detto determinante, generamentel il determinante viene indicato come detM.

Il determinante di una matrice è riconducibile a quello di una matrice M di rango inferiore, adottando un approccio ricorsivo.

• Sia M una matrice quadrata tale che n = 1 allora il determinante della matrice sarà; detM=m mi.j 1,1
• Sia M una matrice quadrata tale che n ∈ ∧ 0, allora il detM sarà;n >R

 m m1,1 1,j M =nxn   m mi,1 i,j

1 2detM = detM + detMn−1·n−1 n−(n−1)·n−(n−1)1 2

Dove M ed M sono due sotto matrici, prodotte dalla cancellazione riga per colonna all’interno della matrice, definita come complemento algebrico dell’elemento m -esimo. Dove il determinante di ogni sotto matrice i,j n è uguale alla differenza fra il prodotto del primo elemento (n−1)x(n−1) della prima colonna per il secondo elemento della seconda colonna e il prodotto del secondo elemento della prima colonna e il primo elemento della seconda.

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1.2 Matrici

1.2.6 Regola di Sarrus

La Regola di Sarrus è un altro modo per calcolare il determinante di una matrice, sia M una matrice quadrata 3x3, il suo determinante sarà, secondo la regola di Sarrus, calcolabile in 2 passaggi;

• Si ricopiano le prime due colonne fuori dalla matrice.. m m m m m1,1 1,2 1,3 1,1 1,2M = m m m m m2,1 2,2 2,3 2,1 2,2 m m m m m3,1 3,2 3,3 3,1 3,2
• Il determinante sarà uguale alla somma del prodotto fra le tre diagonali principali di ogni sotto matrice derivata [M, M ,M ] meno la differenza del prodotto di ogni diagonale secondaria di ogni sotto matrice

detM = (m · · ) + (m · · ) + (m · · )m m m m m m1,1 2,2 3,3 1,2 2,3 3,1 1,3 2,1 3,2−(m · · ) − (m · · ) − (m · · )m m m m m m1,3 2,2 3,1 1,1 2,3 3,2 1,2 2,1 3,3

Esistono 6 proprietà che permettono di velocizzare l’operazione di calcolo del determinante..

• Se la matrice ha una riga o una colonna nulla, allora il determinante è nullo
• Se le righe o le colonne sono vetori linearmente indipendenti, allora il determinante è nullo
• Se due righe o due colonne sono uguali, allora il determinante è nullo
• Scambiando 2 righe o 2 colonne della matrice il determinante non cambia
• Se ad una rica o ad una colonna si aggiunge una combinazione lineare delle altr il determinante cambia
• Se la matrice è triangolare allora il determinante è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale

12 Chapter 1. Vettori, matrici e sistemi lineari

1.2.7 Determinanate di matrici di ordine superiore

Applicando le proprietà [4,5,6] del determinante possiamo manipolare la matrice di modo che diventi più facile il calcolo del determinante, deando una matrice triangolare inferiore, prendiamo per esempio una matrice del tipo..

   4 1 1 −25 1 1 −2 0 −1 1 52 −1 1 5    I→ M =M =    0 2 −1 1−1 2 −1 1    0 −4 2 02 −4 2 0

   4 2 −2 14 2 1 −2 0 1 5 10 1 1 5    IIII → M =→ M =    0 0 1 −10 0 −1 1   0 0 0 20 0 2 0

Tale metodo consiste nello scambio di righe e colonne a volte opportunamente manipolate.

• I) Sostituisco la 1* colonna con la differenza fra la 1* colonna e la 3* colonna cambiata di segno
• II) Sostituisco la 2* colonna la differenza fra la 2* ed il doppio della 3*
• III) Sostituisco la 3* con la 4* colonna

Le mosse ci portano ad ottenere solo zeri sotto al primo elemento ma non cambia sostanzialmente la matrice, la seconda, come la prima, secondo le proprietà del determinante espresse da Sarrus, non modifica il determinante.

La terza mossa cambia il determinante nel seguente modo..

IIIdetM = -detM

Quindi, dato che, per matrici triangolari il determinante è uguale a..

IIIdetM = [4 · 1 · 1 · 2] III

Quindi il determinante sarà l’opposto del determinante di M

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1.2 Matrici

1.2.8 Rango di una matrice

Il rango di una matrice rappresenta il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti, indicato come ker(M).

{0 ≤ ) ≤ker(M min(m, n)}

In altre parole il rango di una matrice è l’ordine massimo di un minore non nullo, dove con minore si intende il determinante di una sottomatrice quadrata ottenuta intersecando k-righe e k-colonne della matrice primaria.

Sia M una matrice 3x4 con minori di ordine 1, 2, 3..

 3 2 3 2II 1 4 1 0M =  2 −1 5 9

Si procede calcolando i determinanti di ogni sottomatrice di ordine inferiore..

Determinanti di ordine 2 3 2

• Det 1 4 4
• Det −1 5

Determinanti di ordine 3

 2 3 24 1 01. det −1 5 9

Quindi una matrice M ha un rango k senxm

• Esiste un minore di ordine K
• Non esiste minore di ordine K+1, se esistono sono nulli
• Se trovo quindi un minore di ordine p non nullo, allora il rango è maggiore uguale a p

1.2.9 Teorema degli Orlati

Affinchè una matrice M abbia una rango K è necessario che valgano le 2 nx, seguenti proprietà;

• Esiste un minore di ordine K non nullo
• Sono nulli tutti i minori di ordine K+1 ottenuti da precedente orlando la corrispondente sottomatrice con una qualunque altra riga o colonna

14 Chapter 1. Vettori, matrici e sistemi lineari

1.2.10 Algoritmo di Gauss

Una matrice si definisce ”a scala” o a gradini se;

• Le eventuali righe nulle si trovano in basso nelle ultime righe
• Al di sotto del rimo elemento non nullo di una riga e sotto tutti gli elementi uguali a zero che lo precedono ci sono zeri

 2 0 110 4 0 0 3

In una matrice a scala il primo elemento non nullo di una riga è detto pivòt, ciò significa che il numero di pivòt è ugale al numero di riche non nulle, e di conseguenza riduecendo una matrice a scala, il numero di pivòt è uguale al rango della matrice..

Per ottenere una matrice a scala si procede analogamente al calcolo del determinante per matrici di ordine superiore, ovvero si manipola la matrice in modo tale da portarla alla forma da noi desiderata..

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1.2 Matrici

1.2.11 Matrici inverse ed invertbili

−Si definisce matrice inversa M di una matrice M, una matrice, se esiste, che moltiplicata per M dia come risul