Advanced International Trade - Appunti con passaggi algebrici

Advanced international trade

Dispensa a cura di Gabriele Pelli, tratta dal corso di Advanced International Trade del professor lecture notes Paolo Epifani (e dalle relative).

Dispensa a cura di Gabriele Pelli

Università Commerciale Luigi Bocconi

Indice

• 1 Preliminaries .................................................................. 5
• 1.1 Cobb-Douglas preferences ......................................................... 5
• Elasticità della domanda al prezzo ............................................ 7
• Elasticità di sostituzione ........................................................... 7
• Log-utility .................................................................................. 8
• Un continuum di beni ............................................................... 9
• Funzione di utilità indiretta ...................................................... 9
• 1.2 CES preferences ....................................................................... 10
• Elasticità della domanda al prezzo .......................................... 12
• “n” beni ................................................................................... 13
• Funzione di utilità indiretta .................................................... 14
• 1.3 Cobb-Douglas technology ........................................................ 15
• 1.4 CES technology ....................................................................... 20
• 2 Ricardo ........................................................................ 22
• 2.1 Il modello ricardiano con un continuum di beni ..................... 22
• Assunzioni ............................................................................... 22
• Implicazioni ............................................................................. 23
• Soluzione del modello .............................................................. 23
• Gains from trade ..................................................................... 26
• Funzione di utilità indiretta .................................................... 27
• 2.2 Applicazioni ............................................................................. 29
• Crescita e benessere in un’economia aperta ............................ 29
• Effetti sul benessere dell’immigrazione .................................... 30
• Algebra .................................................................................... 32
• Costi di trasporto .................................................................... 34
• Algebra con costi di commercio asimmetrici ........................... 36
• Effetti di una politica protezionistica unilaterale .................... 36

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• 3 Heckscher-Ohlin ........................................................... 37
• 3.1 Il modello di Heckscher-Ohlin 2x2x2 ....................................... 37
• Assunzioni ............................................................................... 37
• Implicazioni ............................................................................. 37
• Introduzione ............................................................................ 37
• Funzionamento ........................................................................ 38
• Factor Price Insensitivity (FPI) .............................................. 40
• Rybczynsky ............................................................................. 41
• Factor Price Equalization (FPE) ............................................ 42
• Stolper-Samuelson ................................................................... 43
• Magnification effect ................................................................. 44
• Dimostrazione delle implicazioni ............................................. 44
• Equilibrio di Autarchia ........................................................... 45
• Equilibrio in Free Trade con FPE .......................................... 47
• Gains from trade (GFT) ......................................................... 51
• Factor Price Difference (FPD) con costi di commercio .......... 52
• Continuum 3.2 Il modello di Heckscher-Ohlin con un di beni ....... 53
• Assunzioni ............................................................................... 53
• Equilibrio in Free Trade con FPD .......................................... 55
• Equilibrio di free Trade con FPE ............................................ 57
• 4 Krugman ..................................................................... 60
• 4.1 Introduzione ............................................................................ 60
• 4.2 Il modello ................................................................................. 60
• Assunzioni ............................................................................... 60
• Implicazioni ............................................................................. 61
• Equilibrio di autarchia ............................................................ 61
• Equilibrio di free-trade ............................................................ 65
• 4.3 The Home Market Effect ......................................................... 68
• 4.4 Una versione a due settori del modello di Krugman ............... 71

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• 5 Romalis ....................................................................... 76
• 5.1 Introduzione ............................................................................ 76
• 5.2 Assunzioni ............................................................................... 77
• 5.3 Implicazioni ............................................................................. 78
• 5.4 Analisi dell’equilibrio con costi di commercio ......................... 79
• Domanda ................................................................................. 79
• Equilibrio dell’industria ........................................................ 80
• 5.5 Simulazione numerica dell’equilibrio generale ......................... 83
• 6 Melitz .......................................................................... 87
• 6.1 Introduzione ............................................................................ 87
• 6.2 Assunzioni ............................................................................... 88
• 6.3 Implicazioni ............................................................................. 88
• 6.4 Equilibrio di autarchia ............................................................ 89
• Aggregazione e benessere ......................................................... 92
• 6.5 Equilibrio di libero scambio .................................................... 94
• 6.6 Equilibrio con costi di commercio ........................................... 94
• Aggregazione e benessere ......................................................... 97
• 6.7 Pareto distribution of productivity ......................................... 98
• Autarchia ................................................................................. 99
• Costi di commercio ................................................................ 100

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1 Preliminaries

1.1 Cobb-Douglas preferences

Assumiamo che il consumatore rappresentativo sia caratterizzato dalla seguente funzione di utilità Cobb-Douglas (CD):

( ) ( )* +

Denotiamo con il consumo del bene.

Il vincolo di bilancio (VB) sarà dato da: ( )

dove è il reddito e è il prezzo del bene.

( )

Per una generica funzione di utilità, la domanda (Marshalliana) per i beni e viene ottenuta dal seguente problema di massimizzazione vincolata:

( ) ( )

Per risolvere tale problema, usiamo la funzione Lagrangiana:

( ) ( ) ( ) ( )

Dove è il moltiplicatore di Lagrange (pari, in questo caso, all’utilità marginale del reddito).

Le condizioni del primo ordine (FOC) saranno date da:

( )

( ) ( )

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Dove è l’utilità marginale del bene. Facendo il rapporto tra la (5) e la (6) otteniamo la seguente condizione di ottimalità:

( )

dove è il saggio marginale di sostituzione nel consumo dei beni e ( ), che deve essere uguale a, cioè il prezzo relativo del bene.

La (7) si traduce nella condizione di tangenza tra la più alta curva di indifferenza e il vincolo di bilancio.

Con preferenze CD, abbiamo che:

( ) ( )

( ) ( )

Sostituendo la (8) e la (9) nella (7) e riarrangiando i termini, otteniamo la funzione di domanda relativa con preferenze CD:

( )

( )

Sostituendo la (10) nella (2) (cioè nel VB), otteniamo:

( )

Da cui ricaviamo la funzione di domanda per ciascun bene, cioè:

( )

( ){

Si noti che la quota di reddito spesa per ciascun bene è costante ed è pari all’elasticità dell’utilità rispetto a quel bene.

Questa è una proprietà molto utile della CD, perché implica che le quote di spesa sono esogene rispetto ai prezzi dei beni.

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Elasticità della domanda al prezzo

* +

L’elasticità della domanda al prezzo per il bene è data da:

( ) ( ) ( )

( )

Essa è quindi il valore assoluto del rapporto tra la variazione ( ) percentuale nella domanda del bene ( ) e la variazione ( ) percentuale del suo prezzo ( ).

Nel caso di preferenze CD, prendendo il logaritmo della (11) e differenziando, otteniamo:

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

,

( ) - ( ) ( ){

Il che implica che un aumento dell’1% nel prezzo di un bene si traduce nella diminuzione dell’1% della sua domanda, lasciando la spesa invariata.

Elasticità di sostituzione

L’elasticità di sostituzione nel consumo tra il bene e il bene è definita come:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Quindi, è il valore assoluto del rapporto tra la variazione ( )) percentuale della domanda relativa del bene ( e la ( )). variazione percentuale del suo prezzo relativo ( ( )

Con preferenze CD, prendendo il logaritmo della e differenziando, otteniamo:

. /( ) . / ( ) ( ). /

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Il che implica che un aumento dell’1% nel prezzo relativo del bene comporta una riduzione dell’1% della sua domanda relativa, lasciando inalterata la quota di reddito spesa in ciascun bene.

Quote di spesa costanti implicano quindi un’elasticità di sostituzione nel consumo unitaria.

Log-utility

Si consideri la seguente trasformazione logaritmica di una funzione di utilità CD:

( ) ( )

Da cui otteniamo:

( ){

Applicando la (7) avremo che:

( )

( )

E sostituendo nella (2) (nel VB) otteniamo infine:

( )

( ){

Quindi (a ulteriore conferma del fatto che le preferenze CD sono omotetiche), una trasformazione logaritmica delle preferenze non incide le funzioni di domanda assoluta e relativa, che sono le stesse viste in precedenza.

La ragione di questo fatto è che ogni trasformazione monotona della funzione di utilità non incide sul rapporto delle utilità marginali della (7).

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Un continuum di beni

Si consideri la seguente funzione di utilità CD su un continuum di, -beni:

∫ ∫ ( )

Vogliamo derivare la funzione di domanda per un generico bene, -. Il vincolo di bilancio sarà dato da:

∫ ( )

La funzione Lagrangiana è quindi data da:

( ) ∫ ( ∫ ) ( )

che implica un continuum di FOCs del tipo:

( )

Sostituendo la (21) nella (19) (nel VB) otteniamo:

∫ ∫

da cui:

( )

Funzione di utilità indiretta

La funzione di utilità indiretta (FUI) è definita come:

( ) ( ) ( )

dove e denotano il consumo ottimale dei due beni, i.e. il livello che massimizza la funzione di utilità.

rappresenta quindi il valore massimo dell’utilità.

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Inoltre, dato che il consumo dipende dal reddito e dal prezzo dei beni, la FUI è una funzione di, e ed è cruciale per le analisi di benessere.

Con preferenze CD, abbiamo che:

( )

( ) ( ) ( )

. / . / . / . /

dove è il price index ideale associato a preferenze CD.

rappresenta la (minima) spesa necessaria per acquistare un’unità di utilità.

La FUI è quindi data dal reddito reale (e quindi spesa reale), che è una misura appropriata per l’analisi di benessere, dal momento che viene usato un price index “ideale”.

Infine, con un continuum di beni avremo:

∫ ∫ ( )

∫ ∫ ( )

1.2 CES preferences

Si consideri la seguente funzione di utilità con elasticità di sostituzione costante (CES):

( )

( ) ( )

Per derivare le funzioni di domanda dei due beni, procediamo come per le preferenze CD.

10 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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In particolare, avremo che:

( )

( )[ ]

( )

( )[ ]

Sostituendo la (27) e la (28) nella (7), quest’ultima diventa:

( )

( )

Da cui otteniamo:

( ) ( ) ( )

La (29) rappresenta la funzione di domanda relativa associata a preferenze CES.

Prendendo il logaritmo della (29) e differenziando otteniamo:

( ) ( )

Da cui, per la (14) otteniamo la seguente espressione per l’elasticità di sostituzione:

( ) ( )

( )

La (29) implica inoltre (moltiplicando per il prezzo relativo da ambo i lati) che il rapporto tra le quote di reddito spese nel consumo dei due beni sia dato da:

( ) ( )

Si noti che, per ( ), la spesa relativa per il bene è decrescente nel suo prezzo relativo (questo, chiaramente, perché l’esponente diventa negativo).

11 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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In questo caso, diremo che i due beni e sono sostituti nel consumo.

Per ( ), invece, la spesa relativa del bene è crescente nel prezzo relativo. In questo caso diremo che i due beni sono complementi.

Un caso estremo è quando le preferenze sono alla Leontief. In questo caso, ( ), e i due beni saranno perfetti complementi.

Infine, se ( ) torniamo al caso CD con elasticità di sostituzione unitaria, mentre se ( ), i due beni saranno perfetti sostituti.

Sostituendo la (29) nella (2) (nel VB), avremo:

( )

Da cui:

La funzione di domanda per il bene sarà quindi data da:

( )

Elasticità della domanda al prezzo

Prendendo il logaritmo della (32) e differenziando, otteniamo:

( ) ( )

Dalla (12) abbiamo che:

Poiché:

( )

12 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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Avremo che:

( )

( )

Da cui:

( )

( )

Cioè:

( ) ( )

“n” beni

Si consideri la seguente funzione di utilità CES con beni:

(∑ ) ( )* +

Dove denota il consumo del bene.

Il vincolo di bilancio è dato da:

∑ ( )

Consideriamo due beni qualsiasi e, quindi calcoliamo e e applichiamo la (7) ottenendo:

( )

Da cui ricaviamo la seguente espressione per la funzione di domanda relativa del bene:

( ) ( ) ( )

Il che implica che l’elasticità di sostituzione tra due qualsiasi beni è ancora pari a.

13 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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Sostituendo dalla (38) nella (36) (nel VB) quest’ultima diventa:

∑ ∑ ( )

Da cui otteniamo la funzione di domanda per il bene, cioè:

( )

∑

L’elasticità della domanda al prezzo è un’ovvia generalizzazione della (34), cioè:

( ) ( )

∑

Si noti che, se tutti i beni vengono venduti allo stesso prezzo, la (41) diventa:

( ) ( )

Se il range di beni disponibili è sufficientemente ampio, il secondo termine del lato destro diventa trascurabile e l’elasticità della domanda al prezzo può essere approssimata con l’elasticità di sostituzione, cioè.

Funzione di utilità indiretta

La funzione di utilità indiretta associata alla (26) è data da:

( )*( ) ( ) +. /

14 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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Poiché:

Avremo che:

. / . / ( ). / . /

Dove è il price index ideale associato a preferenze CES.

Con beni, la funzione di utilità indiretta è data da:

(∑ ) (∑ ( ) )

∑

Da cui:

( )

(∑ )

(∑ )

Dove è il price index ideale con preferenze CES ed beni.

1.3 Cobb-Douglas technology

Si consideri la seguente funzione di produzione Cobb-Douglas a rendimenti costanti di scala (CRS):

( ) ( ) ( )

15 Dispensa a cura di Gabriele Pelli

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Dove è l’output, è la total factor productivity (un parametro tecnologico), e e sono i fattori produttivi usati per produrre.

Vogliamo trovare la funzione di domanda condizionale per i fattori (condizionata al livello dell’output da produrre), la factor-intensity (i.e. la domanda relativa dei fattori) e le funzioni di costo totale e unitario associate a questa funzione di produzione.

( )

Per una generica funzione di produzione le funzioni di costo sono il risultato del seguente problema di minimizzazione vincolata:

( ) ( ) ( )* + ( )

dove è la remunerazione del fattore e è il costo totale.

La funzione Lagrangiana per questo problema è data da:

. ( )/ ( )

dove il moltiplicatore di Lagrange è il costo marginale del bene shadow price (i.e. lo di produrre un’unità di output in più).

Le FOCs saranno date da:

( )

( )

( )