Di seguito vedremo come effettuare la scomposizione di un polinomio applicando più regole note. Vediamo il testo dell'esercizio.
Testo dell'esercizio
Scomporre in fattori il polinomio seguente:[math] \frac{81}{4}a^3y-\frac{3}{4}b^3y [/math]
Svolgimento dell'esercizio
La prima cosa da effettuare è, considerato il polinomio, notare la presenza di eventuali fattori in comune.Nei monomi:
[math] \frac{81}{4}a^3y, \frac{3}{4}b^3y [/math]
[math] \frac{3}{4} y [/math]
[math] y [/math]
.Procediamo quindi con un raccoglimento totale:
[math] \frac{3}{4} y \left (27 a^3 - b^3 \right ) [/math]
In effetti,
[math] b^3 [/math]
è il cubo di [math] b [/math]
, ma siccome [math] 27 [/math]
è cubo di [math] 3 [/math]
e [math] a^3 [/math]
è, similmente, cubo di [math] a [/math]
, possiamo usare il metodo di scomposizione della differenza di cubi.Si ricorda che, una differenza di cubi si scompone come segue:
[math] X^3 - Y^3 = (X-Y)(X^2+Y^2+XY) [/math]
Calcoliamo quindi la scomposizione richiesta:
[math] 27a^3-b^3 = (3a)^3-b^3 = (3a-b)(9a^2+b^2+3ab) [/math]
[math]\frac{81}{4}a^3y-\frac{3}{4}b^3y = \frac34 y \left (3a-b \right ) \left ( 9a^2+b^2+3ab \right ) [/math]
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