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Svolgimento: 3a^2-2ab-3a+2b=3a(a-1)-2b(a-1)=(3a-2b)(a-1) .

Svolgimento: 15a^3+10a^2b-9a-6b=5a^2(3a+2b)-3(3a+2b)= =(5a^2-3)(3a+2b)=(sqrt5a+sqrt3)(sqrt5a-sqrt3)(3a+2b) .

Svolgimento: 15x-6y-10x^2+4xy=3(5x-2y)-2x(5x-2y)=(3-2x)(5x-2y) .

Svolgimento: 3x-3y+x^2-xy=3(x-y)+x(x-y)=(3+x)(x-y) .

Svolgimento: ax-ay+bx-by=a(x-y)+b(x-y)=(a+b)(x-y) .

Svolgimento: (2a-b)^2+(b-2a)=(2a-b)^2-(2a-b)=(2a-b)(2a-b-1) .

Svolgimento: La scomposizione in fattori è alquanto banale, infatti (x^2-3)=(x-sqrt3)(x+sqrt3) .

Svolgimento: int(1/(mx^2+n))dx=1/nint(1/(m/nx^2+1))dx= =1/nsqrt(n/m)int((sqrt(m/n))/((sqrt(m/n)x)^2+1))dx= =1/(sqrt(nm))arctg(sqrt(m/n)x)+c .

Svolgimento: int_(1)^(3)(1/(x(1+x)))dx=int_(1)^(3)((1+x-x)/(x(1+x)))dx= =int_(1)^(3)(1/x)dx-int_(1)^(3)(1/(1+x))dx= [log(|x|)-log(|1+x|)]_(1)^(3)=log(1)-log(2)-(log(3)-log(4))=log(4)-log(3)+log(2) .

Svolgimento: int((3x+2)/(4x+5))dx=1/4int((12x+8)/(4x+5))dx=1/4int((12x+15-7)/(4x+5))dx= =3/4int(1)dx-7/4int(1/(4x+5))dx= =3/4int(1)dx-7/(16)int(4/(4x+5))dx= 3/4x-7/(16)log(|4x+5|)+c .

Svolgimento: int(x/(1+x))dx=int((1+x-1)/(1+x))dx= int(1)dx-int(1/(1+x))dx=x-log(|1+x|)+c .

Svolgimento: Applichiamo la semplice regola d'integrabilità  e otteniamo int_(1)^(2)(1/x-1/x^2-3x^2+12x)=[logx+1/x-x^3+6x^2]_(1)^(2)= log(2)+1/2-8+24-(log(1)+1-1+6)=log(2)+21/2 .

Svolgimento: int(x^3/(sqrt(1-x^4)))dx=-1/4int((-4x^3)/(1-x^4)^(-1/2)D(1-x^4))dx= =-1/2sqrt(1-x^4)+c .

Svolgimento: Applichiamo la semplice regola d'integrabilità  e otteniamo int(x^4+3x^3-5x^2-10)dx=4x^3+9x^2-10x+c .

Svolgimento: int(1/(sinxcosx))dx=int(1/(tgxcos^2x))dx= =int((D(tgx))/(tgx))dx=log(|tgx|)+c .

Svolgimento: int(1/(1+e^x))dx=int((1+e^x-e^x)/(1+e^x))dx=int(dx)-int(e^x/(1+e^x))dx= =x-log(1+e^x)+c .

Svolgimento: Con la sostituzione x=e^t ed il metodo di integrazioni per parti, si ha int(cos(logx))dx=int(e^tcost)dt=1/2e^t(sint+cost)= =1/2x[sin(logx)+cos(logx)]+c .

Svolgimento: Con la sostituzione x=t^2 ed il metodo di integrazioni per parti, si ha int(arctg(sqrtx))dx=int(2tarctg(t))dt=t^2arctg(t)-int(t^2/(1+t^2))dt= =t^2arctg(t)-t+arctg(t)+c=xarctg(sqrtx)-sqrtx+arctg(sqrtx)+c .

Svolgimento: Eseguendo la sostituzione sqrt(1+x)=t , cioè x=t^2-1, dx=2tdt , allora, per x=1,t=sqrt2 e per x=8, t=3 . Pertanto: int_(1)^(8)((sqrt(1+x))/x)dx=int_(sqrt2)^(3)((2t^2)/(t^2-1))dt= =[2t+log((t-1)/(t+1))]_(sqrt2)^(3)=6-2sqrt2+log(1/...

Svolgimento: Ponendo t=cosx , risulta dx=-(dt)/(sqrt(1-t^2)) .Perciò: int_(0)^((pi)/2)(sqrt(1+cosx))dx=-int_(0)^(1)((sqrt(1+t))/(sqrt(1-t^2)))dt= int_(0)^(1)(1/(sqrt(1-t)))dt=[2sqrt(1-t)]_(0)^(1)=2 .