Risolvere la seguente disequazione goniometrica: (2 sin^2 x - sqrt2 sinx)(1 - 3 tg^2 x) ≥ 0

_francesca.ricci
di _francesca.ricci
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Erectus
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Risoluzione di una disequazione goniometrica, rappresentazione delle soluzioni sulla circonferenza goniometrica

Risolvere la seguente disequazione goniometrica:

[math] (2 \\sin ^2 x - \sqrt2 \\sinx){1 - 3 tg^2 x} ≥ 0 [/math]

Svolgimento

Poniamo le condizioni di esistenza:

[math] C.E. [/math]

[math] ∃ tg x : x ≠ π/2 + kπ [/math]

Ora, risolviamo la disequazione ponendo ciascun termine maggiore o uguale a zero:

[math] 2 \\sin ^2 x - \sqrt2 \\sinx ≥ 0 [/math]

Passiamo all'equazione associata e troviamo le soluzioni:

[math] 2 \\sin ^2 x - \sqrt2 \\sinx = 0 [/math]

[math] ( 2 \\sin x - \sqrt2 ) \\sinx = 0[/math]

Applicando la regola di annullamento del prodotto:

[math] \\sin x = 0 ∨ \\sin x = frac(\sqrt2){2} [/math]

Poiché la disequazione è maggiore 0 uguale a zero, le soluzioni sono date dagli intervalli esterni alle radici:

[math] \\sin x ≤ 0 ∨ \\sin x ≥ frac(\sqrt2){2} [/math]

Passiamo alla seconda disequazione:

[math] 1 - 3 tg^2 x ≥ 0 [/math]

Anche in questo caso, passiamo all'equazione associata:

[math] 1 - 3 tg^2 x = 0 [/math]

[math] 3 tg^2 x = 1 [/math]

[math] tg^2 x = 1/3 \to tg x = \pm frac(1)(\sqrt3) [/math]

La disequazione è maggiore 0 uguale a zero, ma il termine di secondo grado è negativo, quindi le soluzioni sono date dagli intervalli interni alle radici:

[math] - frac(1)(\sqrt3) ≤ tg x ≤ frac{1}(\sqrt3) [/math]

Rappresentiamo tutto sulla circonferenza goniometrica e studiamo il segno della disequazione:

Essendo la disequazione di partenza maggiore o uguale a zero, le soluzioni sono rappresentate dai seguenti intervalli:

[math] S : π/6 + 2kπ ≤ x ≤ π/4 + 2kπ ∨ [/math]

[math] 3/4 π + 2kπ > x ≤ 5/6 π + 2kπ ∨ [/math]

[math] π + 2kπ ≤ x > 7/6 π + 2kπ ∨ [/math]

[math] (11)/6 π + 2kπ ≤ x > 2π + 2kπ [/math]

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